基于替代模型的缆索承重桥梁固有频率预测.pdf

第 20 卷 第 7 期2023 年 7 月铁道科学与工程学报Journal of Railway Science and EngineeringVolume 20 Number 7July 2023基于替代模型的缆索承重桥梁固有频率预测马亚飞，付曙雯，何羽，鲁乃唯，王磊(长沙理工大学 土木工程学院，湖南 长沙 410114)摘要：大跨缆索承重桥梁空间组成复杂，影响参数多，结构动力分析具有显著不确定性。提出一种基于支持向量机的结构固有频率预测方法，采用遗传算法和交叉验证算法进行超参数寻优，实现了复杂高维结构参数与动力响应间的非线性映射建模。以南溪长江大桥为背景，采用ANSYS三维建模对悬索桥进行模态分析，选用拉丁超立方试验抽取样本数据保证结果的全面性，考虑参数敏感性和样本量对模型预测精度和效率的影响，利用MATLAB函数实现固有频率的回归预测。研究结果表明：遗传支持向量机替代模型样本量达350组时，均方误差值为7.848 2104基本收敛；样本量在501 000组范围内，经遗传算法参数寻优的预测误差随样本量增加的变化趋势与交叉验证算法较一致，但遗传算法精度更高；在350组样本量下，遗传算法单次寻优耗时仅为交叉验证算法的37.06%。准确预测基频后，进一步预测了南溪长江大桥第3阶、第5阶和第7阶固有频率，预测结果的均方误差和平均绝对误差均小于0.005，满足精度要求。研究成果可为复杂结构动力分析和安全状态评估提供一种精确高效的分析方法。关键词：桥梁固有频率；有限元分析；支持向量机；遗传算法；替代模型中图分类号：U446 文献标志码：A 开放科学(资源服务)标识码(OSID)文章编号：1672-7029（2023）07-2594-10Natural frequency prediction of cable supported bridges based on surrogate modelMA Yafei,FU Shuwen,HE Yu,LU Naiwei WANG Lei(School of Civil Engineering,Changsha University of Science&Technology,Changsha 410114,China)Abstract:The complex spatial composition and numerous influencing parameters will result in huge uncertainties in the mechanism dynamic analysis of long-span cable supported bridges.This paper proposed a natural frequency prediction method based on support vector machine.Genetic algorithm and cross-validation algorithm were used to optimize hyper-parameters,and the nonlinear mapping relationship between complex high-dimensional structural parameters and dynamic responses was obtained.A three-dimensional model of the Nanxi Yangtze River Bridge was established using ANSYS to perform modal analysis of suspension bridge.Latin hypercube sampling method was selected to ensure the comprehensiveness of the sample results,and the effects of parameter sensitivity and sample size on the model prediction accuracy and efficiency were also included.MATLAB function was used to realize the regression prediction of natural frequency.The results show that the 收稿日期：2022-07-28基金项目：国家重点研发计划项目(2019YFC1511000)；国家自然科学基金资助项目(52078055)；湖南省教育厅资助科研项目(20A003)通信作者：王磊(1979)，男，吉林榆树人，教授，博士，从事桥梁安全运维研究；E-mail：DOI:10.19713/ki.43-1423/u.T20221498第 7 期马亚飞，等：基于替代模型的缆索承重桥梁固有频率预测mean square error value is 7.848 210-4 and converges when the sample size of the Genetic Algorithm Support Vector Machine alternative model reaches 350 groups.With the increase of the sample size,the variation trend of the prediction error optimized by genetic algorithm parameter optimization is consistent with that of the cross-validation algorithm,but the genetic algorithm has a higher precision when the sample size is in the range of 501 000 groups.With a sample size of 350,the single optimization time of genetic algorithm is only 37.06%of that of the cross-validation algorithm.After accurately predicting the fundamental frequency,the natural frequencies of the 3rd,5th and 7th orders of the Nanxi Yangtze River Bridge are also given.The mean square error and the mean absolute error of the prediction results are less than 0.005,which meets the accuracy requirement.The results can provide an accurate and efficient theoretical method for the dynamic analysis and safety assessment of complex structures.Key words:bridge natural frequency;finite element analysis;support vector machine;genetic algorithm;surrogate model 大跨缆索承重桥梁空间组成复杂，杆件数量繁多，长期处于复杂应力状态。此外，受复杂不利环境和持续增长交通荷载等影响，桥梁结构关键构件失效路径具有很大的不确定性，结构全寿命期整体安全评估面临重大挑战1。研究表明，固有频率是结构动力特性的关键衡量指标，结合模态振型分析可有效反映结构局部损伤与整体安全状态2。然而，对大型高维复杂结构进行动力可靠度分析时，需进行多次有限元迭代计算，传统方法计算耗时且难以满足精度要求3。近年来，人工智能技术不断发展，如何结合机器学习方法发展高效高精度的有限元替代模型，成为结构状态评估领域的关键问题之一。为快速和准确进行大跨桥梁安全性能评估，国内外学者主要采用基于传感数据驱动方法和数据模型混合驱动方法。数据驱动方法从海量实测信息中挖掘结构性能特征参数的时变特征。LI等4基于监测数据分析了结构固有频率的变化规律。HEARN等5研究了固有频率和模态阻尼系数与结构性能退化的关系。SALAWU6采用周期性频率监测数据作为评价结构健康状况的敏感指标。ZHAN等7采用频率响应函数准确识别了简支梁的损伤位置和程度。然而，数据驱动方法预测精度主要取决于已有训练数据，对结构性态演化考虑不充分。有学者提出了数据与模型融合的混合驱动方法，康志锐等8指出桥梁动力特性敏感指标可作为结构有限元模型修正的反馈信息。邬晓光等9采用一种综合灵敏度权重及动态系数的静动力联合修正法，对连续梁桥的梁格模型进行校准。GUAN等10结合加速度传感响应提取结构固有频率，对有限元模型材料参数进行了更新。结构固有频率与其组成形式、刚度、质量分布和边界条件等密切相关，然而，大跨缆索承重桥梁有限元模型复杂且修正参数多，结构刚度和质量矩阵庞大，进行结构可靠度迭代模拟计算十分耗时，亟需构建一种高效的结构固有频率预测模型。随着机器学习技术的新一轮崛起，一些学者已将其应用于可靠度计算等领域。蔡宁等11采用多项式响应面替代模型构建了求解边坡可靠度的稳定极限状态功能函数近似表达式。多项式响应面替代模型形式简单，但计算精度低，仅适用于简单、随机参数较少情况。秦仙蓉等12采用Kriging替代模型对岸桥结构进行有限元模型修正。Kriging替代模型具有较高的计算效率和拟合精度，但不适合处理小样本和非线性回归拟合。万华平等13采用高斯过程模型替代复杂桥梁有限元模型研究了固有频率的统计特性。高斯过程替代模型处理低维问题效率高，但随训练样本数的增多，训练用时呈数量级增长。支持向量机(support vector machines,SVM)基于传统学习理论和结构风险最小化原则，对小样本、高维和非线性回归拟合问题有较好适用性14。吕大刚等15提出一种新的基于移动最小二乘技术的支持向量机模型，在全局基本变量空间中具备自适应能力。DENG等16结合交通荷载数据和有限元分析，采用支持向量机建立了2595铁 道 科 学 与 工 程 学 报2023 年 7月悬索桥疲劳损伤与交通荷载参数间联系。汪磊等17采用支持向量机构建了膨胀土边坡防护工程的健康预测模型。上述实际工程应用表明支持向量机回归模型应用范围较广，但其精度和可靠性受超参数影响较大。为此，有学者提出将智能优化算法应用于支持向量机模型超参数寻优。遗传算法(genetic algorithm,GA)求解复杂组合优化问题时，具有收敛速度快、拓展性高和自主学习能力强等优点18。然而，如何结合遗传算法对上述支持向量机替代模型超参数进行优化尚需深入。本文基于遗传支持向量机替代模型，以南溪长江大桥为工程背景，对结构物理参数与悬索桥固有频率间非线性关系进行了分析。选用拉丁超立方抽样法保证样本结果的全面性，考虑参数敏感性和样本量对模型预测精度和效率的影响，采用交叉验证算法与遗传算法对比预测精度，进一步预测第3阶、第5阶和第7阶频率检验该方法泛化能力。本研究可为大跨桥梁的状态评估提供参考。1 GA-SVM替代模型1.1支持向量机理论支持向量机智能算法基于统计学习理论和结构风险最小化原则，在分类问题领域广泛应用，引入损失函数后可应用于回归问题14。SVM预测训练过程与神经网络类似，通过寻求输入样本与输出响应的映射关系建立参数间的关联模型。SVM可借助核函数将低维空间样本数据的非线性曲线转化至高维空间超平面来解决回归问题。图1为低维非线性样本的空间映射示意图。若 训 练 样 本 集 为D=(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)xi为输入值，yi为响应值，支持向量机模型可表示为14：f(x)=(x)+B(1)式中：f为决策函数；为权向量；(x)为非线性函数；B为偏置量。根据结构风险最小化原理14，函数估计可通过最小化风险函数得到，即：Rreg=122+C1ni=1nl(yi-f(xi)(2)l(y-f(x)=0|yi-f(xi)|yi-f(xi)-其他(3)式中：2为描述函数，反映函数的复杂度；C为误差惩罚因子，用于调整模型训练数据与实际数据之间的误差；为不灵敏损耗系数，决定不敏感带的宽度；l(yi-f(xi)为不敏感损失函数，反映训练误差的经验风险。引入拉格朗日乘子i，*i，j，*j求解严格的凸二次规划问题，式(2)可改写为19：maxQ(*)=-12ij=1n(i-*i)(j-*j)K(xixj)-i=1n(i+*i)+i=1n(i-*i)yi(4)针对凸问题，Karush-Kuhn-Tucker(KKT)条件是使一组解成为最优解的充要条件。利用KKT条件求出偏置量B，代入原方程，可得如下支持向量机回归方程：f(x)=i=1n(i-*i)K(xxi)+B(5)式中：K(x,xi)为核函数，其值为向量xi在特征空间中(x)和(xi)的内积。根据Mercer定理，任何半正定函数均可作为核函数。目前，常用的核函数有多项式、径向基函数(RBF)和 sigmiod函数等。本文选用 RBF作为核函数，其表达式为：K(xxi)=exp()-x-xi222(6)式中：为核参数，表示核函数的宽度。为定量分析预测结果，选用均方误差 MSE(Mean Square Error)、最大相对误差 MRE(Maximum Relative Error)和平均绝对误差 MAE(Mean Absolute Error)等指标19来评价支持向量机模型预图1低维样本空间映射示意图Fig.1Low-dimensional sample space mapping2596第 7 期马亚飞，等：基于替代模型的缆索承重桥梁固有频率预测测精度。1.2遗传算法缆索承重桥梁固有频率与结构参数的非线性关系复杂，一般线性方法较难实现超参数优化。因此，通常采用非线性优化算法搜索最优超参数。机器学习通过训练样本逼近真实值，其拟合精度受惩罚因子C和核函数参数g的影响较大。本文引入遗传算法协助SVM对惩罚因子C和核函数参数g的优化选择，发展了一种基于遗传算法支持向量机的超参数寻优算法。图2为遗传算法交叉及变异过程示意图。该算法优化过程包括初始种群的随机生成、个体种群评估、选择、交叉和变异操作产生后代。重复上述过程，不断提高群体中个体的适应度和平均适应度，直至最优个体的适应度达阈值或最大迭代次数18。1.3GA-SVM模型为提高复杂结构的分析效率，采用 GA-SVM模型替代缆索承重桥梁有限元模型，表征结构参数与固有频率间的非线性关系。GA-SVM替代模型基于统计学习理论，是一种专门针对小样本问题的机器学习回归分析方法。该方法在经验数据建模中使用归纳过程建立系统替代模型，以替代模型推断系统响应，采用智能优化算法求解目标函数，可减少复杂问题计算成本，提高计算效率。基于GA-SVM的缆索承重桥梁固有频率预测流程如图3所示。主要步骤包括：生成有限元模型样本数据库、初始化参数、更新种群和适应度函数值、确定最优参数、支持向量机训练和预测和模型性能评估。2 有限元建模及动力特性分析2.1工程背景南溪长江大桥为钢箱梁悬索桥，中跨为悬吊图2遗传交叉和变异过程Fig.2Genetic crossover and variation process图3GA-SVM模型构造流程Fig.3Construction process of GA-SVM model2597铁 道 科 学 与 工 程 学 报2023 年 7月结构，跨中设置中央扣。全长1 295.89 m，桥跨布置为：北岸引桥640 m30 m，主跨820 m(采用加劲梁结构)、南岸引桥540 m，双向4车道，桥面宽度为29.78 m。主缆采用预制平行钢丝，单根主缆由 87股平行钢丝组成，主缆矢跨比为 110。加劲梁为钢箱梁结构，分为65个梁段，其中60个为标准梁段，5个为特殊梁段。2.2有限元模型采用脊骨梁模型建立了南溪长江大桥的 ANSYS有限元分析模型，如图4所示。加劲梁及索塔采用BEAM 4空间梁单元模拟，加劲梁材料为低合金高强度的 Q345C 结构钢，弹性模量为 2.06105 MPa。索塔采用C50混凝土，弹性模量为3.45104 MPa。主缆和吊索采用 LINK 10 杆单元模拟，根据主缆和吊索的受力特性，设置为单向受拉，主缆为预制平行钢丝索股，弹性模量为 1.95105 MPa，吊索弹性模量为2.0104 MPa。桥面铺装及栏杆等采用MASS 21质量单元模拟。2.3动力特性分析现场环境激励测试和设计结果表明悬索桥部分实测振型的自振频率与设计值有较大偏差。李枝军等20分析了润扬长江大桥悬索桥动力特性，指出该桥建成之初，因主桥两端伸缩缝刚度较大，导致动力特性参数测试值和设计值有较大差异。由于实测模态具有变异性，与理论计算值存在误差，须根据悬索桥实测频率值、结构特性和受力特点等修正有限元模型。本文以主缆和加劲梁的弹性模量、截面惯性矩和主缆初应变为随机变量，以固有频率差为目标函数，通过迭代计算进行修正。由振动理论可知，对于多自由度振动系统，低阶固有频率对系统动力响应更大。因此，结合文献21修正后前5阶实测频率值，对南溪长江大桥有限元模型固有频率进行修正，结果如表1所示。修正后有限元模型前20阶频率如表2所示。图5为有限元模型前4阶振型。表1有限元模型频率修正值与实测值Table 1Frequency correction value of finite element model and measured value阶次12345实测频率/Hz0.131 00.178 10.220 80.310 60.407 4修正前频率/Hz0.101 90.128 50.198 60.276 60.302 3修正后频率/Hz0.132 10.165 00.201 90.341 20.417 6与参考模型误差/%0.087.358.569.852.50图4南溪长江大桥有限元模型Fig.4Finite element model of Nanxi Yangtze River Bridge表2有限元模型频率计算值Table 2Frequency calculation of finite element model阶次12345678910计算频率/Hz0.132 100.165 010.201 920.341 170.417 600.443 690.461 360.461 360.513 830.525 55振型描述1阶正对称横弯1阶反对称竖弯1阶正对称竖弯2阶正对称竖弯主缆振动主缆振动主缆振动主缆振动1阶反对称横弯2阶反对称竖弯阶次11121314151617181920计算频率/Hz0.542 060.543 800.588 830.618 480.794 510.794 610.806 180.809 870.823 100.909 42振型描述主缆振动主缆振动3阶反对称竖弯1阶对称扭转主缆振动主缆振动主缆振动主缆振动3阶正对称竖弯4阶正对称竖弯2598第 7 期马亚飞，等：基于替代模型的缆索承重桥梁固有频率预测2.4参数敏感性分析大跨度悬索桥结构复杂，影响动力响应的结构参数较多，替代模型若考虑所有结构参数会大幅增加计算成本。因此，选用对动力响应敏感性表3结构参数概率分布特征Table 3Probability distribution characteristics of structural parameters随机变量弹性模量截面面积材料密度抗弯惯性矩E1/(Nm2)E2/(Nm2)E3/(Nm2)E4/(Nm2)A1/m2A2/m2A3/m21/(kgm3)2/(kgm3)3/(kgm3)4/(kgm3)IY/m4IZ/m4类型主缆吊杆加劲梁桥塔主缆吊杆加劲梁主缆吊杆加劲梁桥塔加劲梁加劲梁分布形式正态正态正态正态对数正态对数正态对数正态正态正态正态正态对数正态对数正态均值1.910111.910112.110113.510102.2571012.8271031.488.11038.11037.81032.61038.7521012.52标准差1.910101.910102.110103.51091.128 51021.4141047.41024.051024.051023.91021.31024.3761.26101(a)主梁1阶正对称横弯；(b)主梁1阶反对称竖弯；(c)主梁1阶正对称竖弯；(d)主梁2阶正对称竖弯图5有限元模型前4阶振型Fig.5Four types vibration models of finite element model2599铁 道 科 学 与 工 程 学 报2023 年 7月较高的结构参数来表征映射关系，可提高替代模型的计算效率。通过单参数敏感性分析，结合文献2223和回归分析法，本文选取13个与固有频率敏感度较高的结构特性分量作为每个样本的特征值。回归预测随机变量如表3所示。为考虑参数的不确定性，弹性模量变异系数为0.1，截面面积、材料密度和抗弯惯性矩变异系数为0.05。3 模型验证3.1样本库生成输入样本数量和质量将影响替代模型的准确性。样本数量较少，难有效建立映射关系，易出现欠学习现象；样本数量过多，计算效率低，易出现过学习现象；抽样范围覆盖小，难以保证低概率样本预测精度。拉丁超立方(LHS)是一种多维分层抽样方法，具有良好的一维投影和均匀分层特性，获取的样本点均匀分布在物理参数概率分布均值附近24。与简单随机抽样法相比，LHS根据抽样次数将每个变量的分布区间按概率分为若干个互不重叠子区间，提取样本在任一维度上的投影均服从均匀分布。LHS 基于分层抽样，可强制抽取偏远事件，有助于分析输入概率分布包含低概率结果的情况，保证了样本的全面性。3.2样本容量选择在LHS抽样基础上，利用MATLAB函数实现南溪长江大桥固有频率的回归预测。70%采样点用于拟合悬索桥的固有频率，剩余30%采样点用于评价替代模型的泛化能力。对比交叉验证算法与遗传算法寻优结果，共1 000组样本对，采用50组样本对等差递增，进行多次回归拟合。图6(a)为2 种算法的误差对比，图 6(b)为单次寻优耗时对比。由图6(a)可知，样本量在501 000组范围内，交叉验证算法和遗传算法的 MSE 值、MRE 值和MAE值均呈指数形式下降。遗传算法在样本量为350组，MSE值基本收敛，交叉验证算法在样本量为800组，MSE值基本收敛。遗传算法和交叉验证算法均在样本量为250组，MRE值基本达到收敛，但样本量在50250组范围内遗传算法的MRE值小于交叉验证算法。遗传算法在样本量为250组，MAE值基本收敛，交叉验证算法在样本量为 300组，MAE值基本收敛。样本量在501 000组范围内，遗传算法的MSE值和MRE值均小于交叉验证算法，表明遗传算法比交叉验证算法的参数寻优精度更高。由图6(b)可知，在350组样本量下，经50 次迭代，交叉验证算法单次寻优平均用时17.27 s，遗传算法单次寻优平均用时6.40 s，后者单次迭代耗时为前者的37.06%，表明遗传算法在计算大型复杂结构的参数优化问题时比交叉验证算法的效率更高。350组样本量下交叉验证算法与遗传算法的参数选择和训练预测过程如图 7所示。在该样本量(a)交叉验证算法与遗传算法误差对比；(b)交叉验证与遗传算法单次寻优耗时对比图6交叉验证算法与遗传算法对比Fig.6Comparison between cross-validation algorithm and genetic algorithm2600第 7 期马亚飞，等：基于替代模型的缆索承重桥梁固有频率预测下，交叉验证算法和遗传算法的样本初始值与预测值在训练过程中均吻合较好，遗传算法精度更高。因此，后续试验分析选用样本容量为350组，采用遗传算法进行超参数寻优。3.3结果验证与泛化在准确预测南溪长江大桥基频的基础上，对结构第3阶、第5阶和第7阶频率进行预测，训练过程和预测结果分别如图 8 所示，误差如表 4 所示。由图8可知，GA-SVM替代模型中样本预测值与初始值的偏差较小。由表4可知，第1-20阶频率的 MSE 值 和 MAE 值 均 小 于 0.005，满 足 精 度要求。(a)交叉验证；(b)遗传算法图7训练和预测过程对比Fig.7Comparison between training and prediction process(a)第3阶频率训练和预测过程；(b)第5阶频率训练和预测过程；(c)第7阶频率训练和预测过程图8训练和预测过程Fig.8Training and prediction process2601铁 道 科 学 与 工 程 学 报2023 年 7月4 结论1)基于多元非线性回归理论，提出一种改进的遗传支持向量机方法，建立了大跨缆索承重桥梁复杂高维结构参数与固有频率响应间的非线性关系，准确预测了结构固有频率。2)通过对比1 000组数据集，在50350组范围内，遗传支持向量机最大 MRE 值为 0.954%，MSE 值和 MAE 值均小于 0.005，满足精度要求。样本量达350组时MSE值基本收敛，表明支持向量机具有小样本学习优势。3)相同样本量下，遗传算法的MSE值和MAE值均小于交叉验证算法。在350组样本量下，对遗传算法和交叉验证算法进行 50次回归拟合迭代，发现单次迭代计算遗传算法平均用时仅为交叉验证算法的37.06%，表明遗传算法较交叉验证算法计算效率更高。4)在准确预测南溪长江大桥基频的基础上，进一步预测了第3阶、第5阶和第7阶频率，结果均满足精度要求，表明遗传支持向量机具有较好的泛化能力。本研究以悬索桥为例进行了频率预测，对于其他类型桥梁同样适用。本文仅考虑了结构自身特性，如弹性模量、截面面积、密度和刚度。结构形状、边界条件、二期恒载和车道荷载对固有频率的影响日后仍需进一步研究。参考文献：1王竹君,夏晋,金伟良.一种改进的工程结构全寿命设计理论指标体系J.建筑结构学报,2019,40(1):4048.WANG Zhujun,XIA Jin,JIN Weiliang.Modified life-cycle design index system of engineering structuresJ.Journal of Building Structures,2019,40(1):4048.2李嘉维,夏樟华,余印根,等.基于长期动力特性监测数据的大跨度桥梁安全性能评估J.福州大学学报(自然科学版),2014,42(4):596605.LI Jiawei,XIA Zhanghua,YU Yingen,et al.Safety assessment of long-span bridges based on long-term dynamic characteristics monitoring dataJ.Journal of Fuzhou University(Natural Science Edition),2014,42(4):596605.3王涛,李正良,范文亮.基于改进统计矩点估计法和最大熵原理的结构整体可靠度分析J.工程力学,2022,39(3):193200,211.WANG Tao,LI Zhengliang,FAN Wenliang.Global reliability analysis of structures based on improved statistical moment point estimation method and maximum entropy principleJ.Engineering 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71053.883 51044.629 01045.162 81045.994 71046.369 31045.952 31045.910 51048.444 6104阶数11阶频率12阶频率13阶频率14阶频率15阶频率16阶频率17阶频率18阶频率19阶频率20阶频率MSE1.419 51031.345 41038.995 91047.886 41041.025 61034.021 31046.037 81041.594 61037.697 51046.164 7104MRE/%4.243 90.140 90.171 80.797 30.749 10.148 81.847 00.111 52.496 12.099 0MAE1.057 81031.720 51049.644 91049.194 01041.003 91031.072 61031.134 01039.155 71041.386 11032.081 41032602第 7 期马亚飞，等：基于替代模型的缆索承重桥梁固有频率预测KANG Zhirui,ZHANG Wei,SONG Shuai,et al.Experimental research on FE model updating of PC composite box girder bridge with corrugated steel webs based on response surface methodJ.Journal of Railway Science and Engineering,2020,17(5):11861192.9邬晓光,刘英,冯宇,等.基于动态系数的静动力有限元模型修正研究J.铁道科学与工程学报,2017,14(3):543551.WU Xiaoguang,LIU Ying,FENG Yu,et al.Research on static and dynamics finite element model updating method based on dynamic coefficientJ.Journal of Railway Science and Engineering,2017,14(3):543551.10 GUAN Xuefei,HE Jingjing,JHA R,et al.An efficient 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