锐角三角函数专题训练1.doc

锐角三角函数与特殊角专题训练
一、 正弦与余弦：
1、 在中，为直角，我们把锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，
锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作.
.
若把的对边记作，邻边记作，斜边记作，
则，。
2、当为锐角时， ，（为锐角）。
二、 特殊角的正弦值与余弦值：
， ， ．
， ， ．
三、 增减性：当时，
sin随角度的增大而增大；cos随角度的增大而减小。
四、正切概念：
b
(1) 在中，的对边与邻边的比叫做的正切，记作。
即 （或）
五、特殊角的正弦值与余弦值：
； ；
六、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．
．
七、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
即 ， ．
八、同角三角函数之间的关系：
⑴、平方关系：⑵商的关系 ⑶倒数关系tana·cota=1

【1】 已知a为锐角①若sina=3/5，求cosa、tana的值。②若tana=3/4，求sina、cosa的值。③若tana=2，求（3sina+cosa）/（4cosa-5sina）
【2】 在△ABC中，角A, 角B,角C的对边分别为a、b、c，且a：b：c=9:40:41，求tanA,1/tanA的值.
【3】 求下列各式的锐角。
①2sina=1，②,2tana·cosa=根号3，③ tan2a+（1+根号3）tana+根号3=0
【4】 在△ABC中AB=15，BC=14，S△ABC=84.求tanc，sina的值。
【5】 等腰三角形的面积为2，腰长为根号5，底角为a，求tana。
【6】 锐角a满足cosa=3/4，则∠a较确切的取值范围（）
A.0°＜a＜45°B. 45°＜a＜90°C. 45°＜a＜60°D. C. 30°＜a＜45°
【7】计算：

【基础练习】
一、填空题：
1. ___________， 2. 。
3.若，且，则=_______，已知，则锐角=__________。4．在
5．在，
6．
7．在中，，，则=_________，=_________
8．在中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角的正弦值和余弦值（ ）
9．在中，若，，都是锐角，则的度数是（ ）
10.（1） 如果是锐角，且，那么的度数为（ ）
（2）．如果是锐角，且，那么的值是（ ）
11． 将，，，的值，按由小到大的顺序排列是_____________________
12．在中，，若，则=________
13．的值为__________，
14．一个直角三角形的两条边长为3、4，则较小锐角的正切值是（ ）
15．计算，结果正确的是（ ）
16．在
17．等腰梯形腰长为6，底角的正切为，下底长为，则上底长为 ，高为 。
18．在中，，，则的值为____________。
19.比较大小（用、、号连接）：（其中）
， ，
20．在Rt中，，则等于（ ）
二、【计算】
21. 22．。

23．

24. 25. ++2sin60°—

【能力提升】
1、如图，在于点D，AD＝4，
、的值。

2、比较大小：sin23°______sin33°;cos67.5°_________cos76.5°。
3、若30°<<<90°，化简
4、已知，则锐角=_________。
5、在那么n的值是___________。
6、已知 则m 、n的关系是（ ）
A． B． C． D．
7、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90o，AC=6，D是AC上一点，若taA
D
E
B

C
n∠DBA=，则AD的长为( )A.2 B. C. D.1
8、如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AB=a，AN平分∠DAB，8题

DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N．则DM+CN的值为（用含a的代数式
表示）( ) A．a B． C． D．
9、已知AD是等腰△ABC底边上的高，且tan∠B=,
AC上有一点E，满足AE:CE=2:3则tan∠ADE的值是（ ）
B
E
C
D
A
10、如图，在菱形ABCD中，已知AE⊥BC于E，BC=1，cosB=,求这个菱形的面积。

11、（北京市中考试题） 在，，斜边，两直角边的长是关于的一元二次方程的两个根，求较小锐角的正弦值.
12、（2010 武侯中考模拟）如图ΔABC中，AD是BC边上的高，tan∠B=cos∠DAC。
（1）求证：AC=BD
（2）若sin∠C=,BC=12，求AD的长．
A
B
D
C

F
G
E

12、在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔CD的高度．他们首先在A处安置测倾器，测得塔顶C的仰角∠CFE＝21°，然后往塔的方向前行50米到达B处，此时测得仰角∠CGE＝37°，已知测倾器高1.5米．请你根据以上数据计算出古塔CD的高度．
（参考数据：，，，）

AD
BAD
EBAD
FEBAD
QFEBAD
PQFEBAD
13、如图，大海中有A和B两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ上点E处测得∠AEP＝74°，∠BEQ＝30°；在点F处测得∠AFP＝60°，∠BFQ＝60°，EF＝1km．
（1）判断ABAE的数量关系，并说明理由；
（2）求两个岛屿A和B之间的距离（结果精确到0.1km）．
（参考数据：≈1.73，sin74°≈，cos74°≈0.28，
tan74°≈3.49，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）

A
D
C
B
14、已知：如图，在边上一点，且，DC = 6 。求。

15、如图，小唐同学正在操场上放风筝，风筝从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AQ延长线上B处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上.
（1）已知旗杆高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，A处测得点P的仰角为45°，试求A、B之间的距离；

（2）此时，在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°，若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC约为多少？（结果可保留根号）

16、小明家准备建造长为28米的蔬菜大棚，示意图如图（1）。它的横截面为如图（2）所示的四边形，已知米，米，，，到的距离为1米。矩形棚顶及矩形由钢架及塑料薄膜制作，造价为每平方米120元，其它部分（保温墙体等）造价共9250元，则这个大棚的总造价为多少元？（精确到1元）（下列数据可供参考）
A
B
C
D
E

图1
A
B
C
D
E
图2

[思维拓展训练]
1、已知a为锐角，且sin（a-10°）=/2，则a=( )。
2、已知锐角A满足关系式2sin2A-7 sinA+3=0，则sinA=( )。
3、已知关于x的方程3x2-4 xsina+2（1-cosa）=0有两个不相等的实数根，a为锐角，那么a的取值范围（ ）。
4、已知关于x的方程x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣3=0有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）已知a、b、c分别是△ABC的内角∠A、∠B、∠C的对边，∠C=90°，且tanB=3/4，
c﹣b=4，若方程的两个实数根的平方和等于△ABC的斜边c的平方，求m的值．
5、在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且c=5，若关于x的方程（5+b）x2+2ax+（5﹣b）=0有两个相等的实数根，又方程2x2﹣（10sinA）x+5sinA=0的两实数根的平方和为6，求△ABC的面积．
6、如图，已知P为∠AOB的边OA上的一点，以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB于M、N两点，且∠MPN=∠AOB=α（α为锐角）．当∠MPN以点P为旋转中心，PM边与PO重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MPN保持不变）时，M、N两点在射线OB上同时以不同的速度向右平行移动．设OM=x，ON=y（y＞x＞0），△POM的面积为S．若sinα=二分之根号三。oP=2．（1）当∠MPN旋转30°（即∠OPM=30°）时，求点N移动的距离；（2）求证：△OPN∽△PMN；
（3）写出y与x之间的关系式；
（4）试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围．
2题图
7、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21．动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形；（3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO=OB时，求∠BQP的正切值；
（4）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

8、如图：直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D在y轴上.直线CB的表达式为y=－x+，点A、D的坐标分别为（－4，0），（0，4）.动点P自A点出发，在AB上匀速运行.动点Q自点B出发，在折线BCD上匀速运行，速度均为每秒1个单位.当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动.设点P运动t（秒）时，△OPQ的面积为s（不能构成△OPQ的动点除外）.
（1）求出点B、C的坐标；（2）求s随t变化的函数关系式；
（3）当t为何值时s有最大值？并求出最大值.
O
x
y
A
B
C
D
P
Q
O
x
y
A
B
C
D
（备用图1）
90

9、如图，将矩形OABC放置在平面直角坐标系中，点D在边0C上，点E在边OA上，把矩形沿直线DE翻折，使点O落在边AB上的点F处，且tan∠BFD=．若线段OA的长是一元二次方程x2—7x一8=0的一个根，又2AB=30A．请解答下列问题：
(1)求点B、F的坐标： (2)求直线ED的解析式：
(3)在直线ED、FD上是否存在点M、N，使以点C、D、M、N为顶点的四边
形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

6题图

10、已知平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=10，BD=8．（1）若AC⊥BD，试求四边形ABCD的面积；（2）若AC与BD的夹角∠AOD=60°，求四边形ABCD的面积；
（3）试讨论：若把题目中“平行四边形ABCD”改为“四边形ABCD”，且∠AOD=θ，AC=a，BD=b，试求四边形ABCD的面积（用含θ，a，b的代数式表示）．

11、如图1，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接QE并延长交射线BC于点F．
（1）如图2，当BP=BA时，∠EBF=　_________　°，猜想∠QFC=　_________　°；
（2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明；
（3）已知线段AB=2，设BP=x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式．

12、已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点P从点A开始沿AC边向点C匀速移动，点Q从点A开始沿AB边向点B，再沿BC边向点C匀速移动．若P、Q两点同时从点A出发，则可同时到达点C．
（1）如果P、Q两点同时从点A出发，以原速度按各自的移动路线移动到某一时刻同时停止移动，当点Q移动到BC边上（Q不与C重合）时，求作以tan∠QCA、tan∠QPA为根的一元二次方程；
（2）如果P、Q两点同时从点A出发，以原速度按各自的移动路线移动到某一时刻同时停止移动，当S△PBQ=时，求PA的长．

13、如图，在直角梯形ABCD中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°， AB=6，AD=9，
点E是CD上的一个动点(E不与D重合)，过点E作EF∥AC，交AD于点F(当E运
动到C时，EF与AC重合巫台)．把△DEF沿EF对折，点D的对应点是点G，设DE=x，
△GEF与梯形ABCD重叠部分的面积为y。
(1) 求CD的长及∠1的度数；
(2) 若点G恰好在BC上，求此时x的值；
(3) 求y与x之间的函数关系式。并求x为何值时，y的值最大?最大值是多少?

9