中考专题复习锐角三角函数.doc

中考专题复习 锐角三角函数

◆考点聚焦
1．了解锐角三角函数的定义，并能通过画图找出直角三角形中边、角关系，这也是本节的重点和难点．
2．准确记忆30°、45°、60°的三角函数值．
3．会用计算器求出已知锐角的三角函数值．
4．已知三角函数值会求出相应锐角．
5．掌握三角函数与直角三角形的相关应用，这是本节的热点．
◆备考兵法
充分利用数形结合的思想，对本节知识加以理解记忆．
◆识记巩固
1．锐角三角函数的定义：
如图，在Rt△ABC中，∠=90°，斜边为c，a，b分别是∠A的对边和邻边，则
sinA=______=_______；
cosA=______=_______；
tanA=______=_______．
2．填表：

30°
45°
60°
sin

cos

tan

注意：30°，45°，60°的三角函数值是中考的必考考点，其他数值是利用数形结合的方法推导的，要求在理解的基础上进行识记．
3．锐角三角函数间的关系：
（1）互为余角的三角函数间的关系：
sin（90°-）=____，cos（90°-）=_____．
（2）同角三角函数的关系：
①平方关系：sin2+cos2=_______；
②商数关系：=_______．
注意：对于互为余角的锐角三角函数关系，要求学生能利用定义，结合图形进行理解，并能灵活运用公式；对于同一锐角三角函数的关系，仅让学生了解，不作中考要求．
4．锐角三角函数值的变化：
（1）当为锐角时，各三角函数值均为正数，且0<sin<1，0<cos<1，当0°≤≤45°时，sin，tan随角度的增大而_______，cos随角度的增大而_______．
（2）当0°<<45°时，sin_____cos；
当45°<<90°时，sin______cos．
识记巩固参考答案
1．
2． 1
3．（1）cos sin （2）①1 ②tan
4．（1）增大 减小 （2）< >

◆典例解析
例1 在正方形网格中，∠的位置如图所示，则sin的值为（ ）
A． B．
C． D．
解析 本题主要考查锐角三角函数的概念，根据题意要求sin的值，想到将∠放在直角三角形中求解，故需构造直角三角形，由于该题放在网格中，直角三角形不难构造．若能结合图形特点求出∠=45°，则方法更为简便．
答案 B
例2 已知为锐角，且tan=，则代数式=______．
解析 方法一：在Rt△ABC中，∠C=90°，tan=，令a=，b=2，则此时c=．
∴sin===，cos==．
∴原式=
=．
方法二：∵tan==．
∴2sin=cos．
又∵sin2+cos2=1．
∴
=．
方法三：∵tan==，sin2+cos2=1．
∴原式=
=|tan-1|=|-1|=．
答案
例3 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=，点D在BC边上，且∠ADC=45°，DC=6，求∠BAD的正切值．
解析 过点B作BE⊥AD，交AD延长线于E．
∵∠C=90°，
∴sinB==．
∵∠ADC=45°，∴AC=DC=6，
∴AB=10，BC=8，
∴BD=2．
∵∠ADC=45°，
∴∠BDE=45°，
∴DE=BE=BD=．
又∵在Rt△ACD中，AD=DC=6，
∴AE=7，
∴tan∠BAD==．
点评 要求∠BAD的正切值，首先得将∠BAD转化到某一直角三角形中去，因此通过作垂线，构造直角三角形是解决这个问题的关键．

◆中考热身
1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=1，则cosA的值是（ ）
A． B． C． D．4
2．在△ABC中，∠C=90°，若AC=2BC，则tanA的值是（ ）
A． B．2 C． D．
3．计算：sin60°-cos45°+．

4．如图，点C是半圆O的半径OB上的动点，作PC⊥AB于点C，点D是半圆上位于PC左侧的点，连结BD交线段PC于点E，且PD=PE．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，PC=8，设OC=x，PD2=y．
①求y关于x的函数关系式；
②当x=时，求tanB的值．

◆迎考精练
一、基础过关训练
1．在△ABC中，已知AC=4，BC=3，AB=5，则sinA等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知直角三角形ABC中，斜边AB的长为m，∠B=40°，则直角边BC的长是（ ）
A．msin40° B．mcos40°
C．mtan40° D．
3．在Rt△ABC中，已知∠C=90°，BC=6，sinA=，那么AC的长是______．
4．在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AB=10，AC=6，则sinB的值是_______．
5．计算：
（1）cos260°-tan245°-2sin45°；

（2）cos45°+cos230°-sin30°·tan45°+tan30°．

6．如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA=，AC=15，求△ABC的周长和sinA的值．

二、能力提升训练
7．如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，BC=1，则BB′的长为（ ）
A．4 B． C． D．
8．如图，机器人从A点沿着东南方向行了4个单位到达B点后，观察到原点O在它的南偏西60°方向上，则原来A点的坐标为多少？

9．如图1，由直角三角形边角关系，可将三角形面积公式变形得：S△ABC=bcsinA， ①
即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦之积的一半．
如图2，在△ABC中，CD⊥AB于点D，∠ACD=，∠DCB=，∵S△ABC =S△ADC +S△BDC，
由公式，得AC·BC·sin（+）=AC·CD·sin+BC·CD·sin．
即AC·BC·sin（+）=AC·CD·sin+BC·CD·sin． ②
你能利用直角三角形边角关系，消去②中的AC，BC，CD吗？若不能，说明理由，能写出解决过程．

图1 图2

参考答案
中考热身
1．B 2．A
3．解：原式=×-×+2=-1+2=．
4．（1）证明：连结OD．
∵OD=OB，∴∠BDO=∠OBD．
∵PD=PE，∴∠PDE=∠PED=∠BEC．
∵PC⊥AB于点C，∴∠OBD+∠BEC=90°，
∴∠ODB+∠PDE=90°，
∴OD⊥PD于点D，∴PD是⊙O的切线．
（2）解：①连结OP．
在Rt△POC中，OP2=OC2+PC2=x2+192．
在Rt△POD中，OP2=OD2+PD2=48+y，
∴y=x2+144（0≤x≤4）．
②当x=时，y=147．
∴PD=7，∴EC=，而CB=3．
在Rt△ECB中，tanB==．
迎考精练
基础过关训练
1．A 2．B 3．2 4．
5．解：（1）原式=（）2-1-2×=--．
（2）原式=+（）2-×1+×
=+-+=
6．解：在△ABC中，∠C=90°，
sinA==，AC=15．
设BC=4x，则AB=5x．
由勾股定理，知AC=3x=15．
∴x=5，∴BC=20，AB=25．
∴C△ABC=15+20+25=60．
tanA==．
能力提升训练
7．D
8．解：过点B作BC⊥AO于点C，则由题意知AB=4，
∵∠BAC=∠ABC=45°．
Rt△ABC中，∠ABC==，
∴AC=4=BC，
∴∠OBC=90°-60°=30°．
在Rt△OBC中，tan30°=．
∴OC=BC·tan30°=，
∴OA=AC+OC=4+．
∴点A的坐标为（0，4+）．
9．解：能消去AC，BC，CD，过程如下：
在Rt△BCD中，CD=BC·cos．
在Rt△ACD中，CD=AC·cos．
∴等式②可化为
AC·BC·sin（+）=AC·BC·cos·sin+BC·AC·cos·sin，即sin（+）
=sincos+cossin．

- 10 -