基于Tracker的非光滑下滑轨道的最速降线研究.pdf

基于T r a c k e r的非光滑下滑轨道的最速降线研究魏王杰(云南师范大学物理与电子信息学院云南 昆明 ;云县第二中学云南 临沧 )刘垚(云南师范大学体育学院云南 昆明 )姚斌(云南师范大学物理与电子信息学院云南 昆明 )(收稿日期:)摘要:最速降线问题是物理学上的经典问题之一,该问题的研究结果可以应用在排水管道铺设、逃生轨道设计、粮食输运等方面本文提出可利用T r a c k e r辅助进行非光滑最速降线问题的研究在分析最速降线问题的基础上,制作非光滑下滑轨道实验装置,进行个轨道的下滑实验;利用运动轨迹分析软件T r a c k e r,从下滑视频中分析获得下滑过程的位移时间曲线,进而研究非光滑下滑轨道的最速降线问题关键词:最速降线;轨道;非光滑;T r a c k e r软件引言最速降线在逃生轨道、粮食输运轨道、过山车轨道、滑板场地、以及我国古建筑中的“大屋顶”排水系统中均有应用最速降线最初由伽利略提出,后经牛顿、洛必达、莱布尼茨等验证,在不考虑阻力时,它是一条下凹的圆摆线然而,在真实的物体下滑过程中,下滑物体总会受到诸如摩擦力、粘滞力等的作用(其中摩擦力受正压力影响,正压力又受物体自重、速度和所处下滑轨道位置的影响;而粘滞力则受速度、温度等影响,因此,这些力都是大小、方向均在变化的非线性力),使得对真实下滑过程的 研究变得异 常复杂T r a c k e r是一款视频分析和物理建模软件,利用它可以标记用户所指定的视频中的目标,从而进行位置追踪、旋转角度分析、动力学模型分析等操作因此,可利用该软件辅助进行非光滑最速降线问题的研究本文在分析最速降线问题的基础上,设计制作非光滑下滑轨道实验装置,进行个轨道的下滑实验;利用T r a c k e r软件分析获取下滑实验中小球的位移时间曲线,进而对比研究个非光滑下滑轨道的下滑时间,获得并验证其中下滑时间最短的下滑轨道曲线最速降线问题无阻力时的最速降线问题可表述为:在一竖直平面内有不重合的两点P和M,M位于P的斜下方,在该竖直平面内的所有连接P和M的路径里,找出一条路径,使得质点在只受重力作用下,从P点开始静止下滑,到M点的滑行用时最短该问题最早由伽利略在 年提出,后经众多学者分别利用常规数学变分法、斯涅尔定律等方法求解,得出一致结论:无阻力时的最速降线是一条下凹的圆摆线,其解的形式为 年第 期物理通报物理实验教学通讯作者:刘垚(),女,硕士,讲师,主要从事体育物理学研究xC(s i n)yC(c o s)()其中,C为常数,为引入的参量然而,在实际的下滑过程中,物体不仅受重力作用,而且还受其他阻力 如摩擦力等的影响,于是,最速降线将不再是圆摆线不过,经文献证明可知,当只考虑摩擦力时,最速降线中任意一点的切线方向与水平方向的夹角(记为)对时间的导数应为常数,即t图像应是一条直线在后文中,我们也将把这个因素作为判别是否是最速降线的一个标准实验装置设计及实验过程 实验装置设计为了利用T r a c k e r软件研究从P点到M点的最速降线问题,本文设计了如图所示的最速降线实验装置该装置由底座、起点挡板、终点挡板、雪弗板轨道、背景板、激光笔校准装置、校准条以及直径为 mm的红色小玻璃球构成其中,起点挡板高 c m,终点挡板高c m,两板水平距离 c m,P点和M点水平相距 c m,竖直相距 c m此外,制作雪弗板轨道的雪弗板长度、宽度和厚度分别为 c m、c m、c m,以保证其有足够的延展性可以弯成不同的轨道,且足以承载小玻璃球对轨道的压力,从而在小球滚下时轨道不发生明显弯曲,进而影响实验结果同时,为了使小球的运动轨迹在竖直平面上,沿着弯曲雪弗板轨道表面还粘贴了彼此平行的两条间距为 mm的雪弗板细条图最速降线实验装置实验还设置了激光笔校准装置实验时打开激光笔开关,调整其位置使小球在点P位置时激光均射在小球球心,以确保小球每次都能从点P开始运动,从而减小实验误差此外,实验装置中还有长 m的校准条,作为在T r a c k e r软件中建立标尺时的参照物另外,本实验之所以选择白色背板和红色小球,是为了提高小球和背景的对比度,便于利用T r a c k e r软件更准确的实时追踪小球,从而获得较为精确的小球运动轨迹 实验过程()个下滑轨道的获得为了寻找小球从P点自由下滑到M点时的最速降线轨道,在设计、制作实验装置(图)的前提下,还需选定条下滑轨道首先,把雪弗板轨道的下端固定在M点,然后拉直雪弗板轨道使其上端过P点,便得到了第一条过P点和M点的直线轨道(长度L m m);接着,在雪弗板轨道下端仍固定于M点的前提下,标记出雪弗板轨道被拉直时轨道上端搭在P点的位置,以这个标记的位置为基点,每次向下压c m(即轨道长度增加c m),以增加过P点和M点的雪弗板轨道的长度,进而形成个不同曲率的下滑轨道即个轨道各自对应的轨道长度(设为L)分别为、c m()小球的自由下滑参看图,从轨道上端P点无初速度释放小球,使其沿雪弗板轨道自由下滑到M点释放小球前已先打开激光笔校准装置,使小球每次释放时激光都正射过小球的球心,以确保每次小球都从相同的位置释放()视频录制利用静止放置的手机以录像的形式记录下小球在各轨道上的运动过程为了能利用T r a c k e r软件准确抓取小球的运动过程,手机视频录制时设置视频的分辨率为 P,帧率 帧,视频编码的兼容性设置为最好,并在良好的光照条件下进行视频录制 年第 期物理通报物理实验教学数据提取及分析 利用T r a c k e r软件提取数据实验视频处理过程如图所示,详细步骤为:()如图(a)所示,找到所录制的小球下滑视频;()导入视频:如图(b)所示,打开T r a c k e r软件,将实验视频慢放 倍处理并导入;()建立坐标系:如图(c)所示,用“十”字定位针选取起点挡板的顶部为坐标原点,使坐标的横轴正向与底座平行并指向右,纵轴正向建立在竖直面内竖直向上()建立标尺:如图(d)所示,选择底板上的白色雪弗板校准条为参照物,并输入参照物的长度为 m;()建立质点:如图(e)所示,将小球中心设为质点;()追踪质点:如图(f)所示,逐帧分析小球运动的视频,找到小球从P点运动到M点的起始帧和结束帧,可获得小球的运动时间、位置坐标和速度等物理量图在T r a c k e r软件中处理实验视频的步骤 年第 期物理通报物理实验教学 实验数据分析()小球运动的个轨迹将T r a c k e r中小球运动的水平位移x和竖直位移y全精度导入O r i g i n,可得小球在轨道上的运动轨迹,分别如图(a)(f)所示图小球在个轨道上的运动轨迹()小球的运动时间小球在个轨道上的运动时间均少于s,用手动计时方法难以准确记录实验中采用逐帧追踪的方法,利用T r a c k e r追踪小球在每一帧的运动时间,再利用总帧数计算出小球运动的总时间为了进一步提高时间精度,导入T r a c k e r中时把视频进行了慢放 倍处理,使每帧对应的时间减少了一倍,即把时间精度提高了一倍图是利用T r a c k e r求解轨道上小球下滑的总时间图中右边数据框第一列为运动过程的帧数,此处为 帧,图右边数据框第二列为各帧所对应的时间,第 帧对应的时间为 s 由于视频被慢放了 倍,所以第 帧对应的实际时间为 s的,即 s 同理可以获得其他轨道的运动时间,个轨道的运动时间如表所示 年第 期物理通报物理实验教学图轨道的小球运动数据表各轨道上的小球下滑总时间轨道时间t/s ()小球运动最速下降轨道的寻找个轨道的下滑时间如表所示由此可得,小球在轨道和上的运动总时间都出现了极小值,因此,我们还需考虑这两条轨道的轨迹斜率是否具有匀变性,即在最速降线轨道上运动的物体其轨道切线方向与x轴的夹角随时间是均匀变化的,也就是t图像应该满足线性关系(是一条直线)利用O r i g i n软件绘出轨道和上小球运动的t散点图,并进行线性拟合,如图所示经计算,轨道的线性拟合度为 ,而轨道的线性拟合度仅为 因此,轨道更趋近于最速降线图轨道和的小球t线性拟合图()最速降线轨道与圆摆线轨道的比较将M点的位置坐标(,)代入圆摆线方程(),可解出C ,取,作出此摆线,并将雪弗板轨道弯成该摆线的形状,进而进行小球下滑实验同样,利用T r a c k e r分析小球的下滑视频,可得小球的运动轨迹如图所示,下滑的总时间为 s,比轨道的更长可见,对于非光滑轨道,圆摆线并不是最速降线,这也和现存文献的结论是一致的图圆摆线轨道上的小球运动轨迹 误差分析在利用T r a c k e r软件进行实验数据提取过程中,最主要的误差可能出现在把小球近似为质点所引起的误差这个误差来源于两方面,一方面是运动方式的不同(小球做的是滚动,包含一部分角动能,而质点的运动则不包含角动能),一方面是运动路径识别的时候,小球的球心高于实际轨道,也会引入一定的误差为此,本文还利用M a t l a b编程求解了光滑轨道时的最速下滑时间为 s,和非光滑轨道的最速(下转第 页)年第 期物理通报物理实验教学欧英雷光电计数装置在单摆实验装置中的应用J物理通报,():杨述武普通物理实验()M北京:高等教育出版社,:E x p e r i m e n t a lD e s i g na n dD i s c u s s i o no nM e a s u r i n gt h eV i s c o s i t yC o e f f i c i e n t o fL i q u i dU s i n gaS i n g l eP e n d u l u mZ HANGS h e n g y a o Z E N GZ h i q i a n g L I UF u t i WANJ u n j i e CHE NP e n g(D e p a r t m e n to fP h y s i c s,Y i b i nC o l l e g e,Y i b i n,S i c h u a n )A b s t r a c t:t h i sa r t i c l ed e s i g n e dan o v e le x p e r i m e n tt o m e a s u r et h el i q u i dv i s c o s i t y b a s e do nt h ed a m p e dv i b r a t i o no f as i m p l ep e n d u l u m I nt h i se x p e r i m e n tt h ev i s c o s i t yc o e f f i c i e n t so fa i r,w a t e ra n dr a p e s e e do i lw e r em e a s u r e da se x a mp l e st oi l l u s t r a t et h e m e a s u r e m e n tp r i n c i p l ea n dp r o c e s si nd e t a i l s T h ee x p e r i m e n tr e s u l t ss h o w e dt h a t t h ev i s c o s i t yc o e f f i c i e n t so f a i r,w a t e ra n dr a p e s e e do i lw e r e P as、P asa n d P as,r e s p e c t i v e l y T h u s,t h en o v e le x p e r i m e n td e s i g nc o u l dn o to n l ya v o i dt h ed i s a d v a n t a g e so fc o n v e n t i o n a lf a l l i n g b a l l m e t h o d,b u ta l s o b ea b l et oi l l u s t r a t et h ei n f l u e n c eo fl i q u i dv i s c o s i t yo n m o t i o ni n t u i t i v e l y I tw a sv e r yh e l p f u l t oe n h a n c e t h eu n d e r s t a n d i n ga n dc r e a t i v i t yo f s t u d e n t s i np h y s i c s t e a c h i n g K e yw o r d s:l i q u i dv i s c o s i t yc o e f f i c i e n t;s i m p l ep e n d u l u m;d a mp e dv i b r a t i o n(上接第 页)下滑时间 s(表)比较,我们的求解误差应远小于,应用在教学甚至研究中都较为可靠结论本文利用T r a c k e r软件辅助进行非光滑下滑轨道最速降线问题的研究在分析最速降线问题的基础上,制作了非光滑下滑轨道实验装置,进行了个轨道 的 下 滑 实 验,进 而 利 用 运 动 轨 迹 分 析 软 件T r a c k e r从下滑视频中分析获得下滑过程的位移时间曲线研究结果表明,利用T r a c k e r软件辅助,可以分析原本难以分析的复杂运动学问题,为物理教学提供了便利参 考 文 献张正华,赵祥涛,张明学,等最速降线在粮食仓储物流中的应用J粮食流通技术,():,赵晓峰,葛笛从黏滞阻力型最速降线看古建筑凹曲屋面成因J古建园林技术,():杨亦逸最速降线问题的历史与一种巧解J物理通报,():李玉峰,熊建文,杨友源视频分析软件在物理实验中的应用J实验室研究与探索,():艾利斯哥尔兹高等学校教学用书变分法M李世晋,译北京:人民教育出版社,欧斐君变分法及其应用:物理、力学、工程中的经典建模M北京:高等教育出版社,马文东从光学极值思想到最速降线问题J数学通报,():史友进,俞晓明库仑摩擦最速降曲线问题的讨论J盐城工学院学报(自然科学版),():年第 期物理通报物理实验教学