第二章专题一.doc

专题一　函数图象与性质的综合应用

1．函数的性质
(1)函数的性质是高考的必考内容，它是函数知识的核心部分．函数的性质包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性与最大值、最小值等，在历年的高考试题中函数的性质都占有非常重要的地位．
(2)考查函数的定义域、值域的题型，一般是通过具体的问题(实际应用题与几何问题)找出函数的关系式，再研究函数的定义域与值域．
(3)中档题常考题型
利用函数的性质比较函数值的大小、求函数值、解不等式、求二次函数的最值问题，同时也考查考生能否用运动变化的观点观察问题、分析问题、解决问题.
(4)函数的最值问题在高考试题中几乎年年出现，它是高考中的重要题型之一，特别是函数在经济生活中的应用问题，大多数都是最值问题，所以要掌握求函数最值的几种常用方法与技巧，灵活、准确地列出函数模型．
2．函数的图象
(1)函数图象是高考的必考内容，其中作图、识图、用图也是学生必须掌握的内容．
(2)作图一般有两种方法：描点法、图象变换法．特别是图象变换法，有平移变换、伸缩变换和对称变换，要记住它们的变换规律．
(3)识图时，要留意它们的变化趋势，与坐标轴的交点及一些特殊点，特别是对称性、周期性等特点，应引起足够的重视．
(4)用图，主要是数形结合思想的应用.

题型一　函数求值问题
例1　设f(x)＝ 且f(1)＝6，则f(f(－2))的值为________．
探究提高　本题的难点有两个，一是准确理解分段函数的定义，自变量在不同取值范围内对应着不同的函数解析式；二是对数与指数的综合运算问题．解决此类问题的关键是要根据分段函数的定义，求解函数值时要先判断自变量的取值区间，然后再代入相应的函数解析式求值，在求值过程中灵活运用对数恒等式进行化简求值．
已知f(x)＝则f＋f的值为_________________．
题型二　函数与不等式问题
例2　设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数，且f(2)＝0，则不等式≥0的解集为____________．
探究提高　解决抽象函数问题的关键是灵活利用抽象函数的性质，利用函数的单调性去掉函数符号是解决问题的关键，由函数为奇函数可知，不等式的解集关于原点对称，所以只需求解x>0时的解集即可．
(2011·临沂一模)设函数f(x)＝若f(m)<f(－m)，则实数m的取值范围是____________．
题型三　函数的图象问题
例3　函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝21－x在同一直角坐标系下的图象大致是________(填图象序号)．

探究提高　本题的难点是在坐标系中并没有标出图象对应的函数解析式，需要我们根据图象的特征确定与其相应的函数解析式，并判断另一个图象是否与函数解析式对应．破解此类问题可从函数图象上的本质——点的集合入手，结合函数的单调性、奇偶性、周期性等性质，通过一些特殊点(常用函数图象与两坐标轴的交点)排除干扰项即可找到答案．
函数f(x)=axm(1-x)n在区间[0,1]上的图象如图所示，则m，n的值可能
是                    .
①m=1，n=1；　　②m＝1，n＝2；
③m＝2，n＝1; ④m＝3，n＝1.
题型四　函数的最值与不等式恒成立问题
例4　定义在R上的增函数y＝f(x)对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求f(0)；
(2)求证：f(x)为奇函数；
(3)若f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
探究提高　对于恒成立问题，若能转化为a>f(x) (或a<f(x))恒成立，则a必须大于f(x)的最大值(或小于f(x)的最小值)．因此恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解．若不能分离参数，可以将参数看成常数直接求解．
已知f(x)＝logax(a>0且a≠1)，如果对于任意的x∈[，2]都有|f(x)|≤1成立，试求a的取值范围．
题型五　以形助数数形结合问题
例5　已知不等式x2－logax<0，当x∈时恒成立，求实数a的取值范围．

探究提高　本题是函数与不等式的综合题，运用数形结合的思想及函数的思想，抓住函数图象的本质特征是解决本题的关键所在．
已知a>0且a≠1，f(x)＝x2－ax，当x∈(－1，1)时均有f(x)<，则实数a的取值范围是______________．

3.作图用图要规范
试题：(14分)已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|
(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；
(2)若关于x的方程f(x)－a＝x至少有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围．
审题视角　(1)化简f(x)并作出f(x)的图象，由图象确定单调区间．
(2)方程f(x)－a＝x的根的个数等价于y＝f(x)与y＝x－a的交点的个数，所以可以借助图象进行分析．
规范解答
解　f(x)＝
作出图象如图所示． [2分]
(1)递增区间为[1,2]，[3，＋∞)，
递减区间为(－∞，1]，[2,3]． [4分]
(2)原方程变形为
|x2－4x＋3|＝x＋a，
于是，设y＝x＋a，在同一坐标系下再作出y＝x＋a的图象．
如图． [6分]
则当直线y＝x＋a过点(1,0)时，a＝－1；
当直线y＝x＋a与抛物线y＝－x2＋4x－3相切时，
由⇒x2－3x＋a＋3＝0. [10分]
由Δ＝9－4(3＋a)＝0，得a＝－. [12分]
由图象知当a∈时方程至少有三个不等实根． [14分]
批阅笔记　(1)函数图象形象地显示了函数的性质(如单调性、奇偶性、最值等)，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，因此常用函数的图象研究函数的性质．
(2)有些不等式问题常转化为两函数图象的上、下关系来解．
(3)方程解的个数常转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题来求解．
(4)本题比较突出的问题，是作图不规范．由于作图不规范，导致第(2)问的思路出现错误．

方法与技巧
1．利用复合函数求函数值是一类重要问题，解题关键是利用已知的函数值，通过解析式的变化特点进行代入求值，有时也可以利用周期性来解题．
2．抽象函数奇偶性的判断关键在于构造f(－x)，使之与f(x)产生等量关系，即比较f(－x)与±f(x)是否相等，此时赋值比较多的是－1、1、0等．
3．作图、识图和用图是函数图象中的基本问题．作图的基本途径：求出函数的定义域；尽量求出值域；变换(化简、平移、对称、伸缩等)出图象的形状；描点作图．识图就是从图形中发现或捕捉所需信息，从而使问题得到解决．用图就是根据需要，作出函数的图形，使问题求解得到依据，使函数、方程、不等式中的许多问题化归为函数图象问题．
失误与防范
1．函数求值问题一定要关注自变量的取值范围，尤其是分段函数，以防代错解析式．
2．对于抽象函数不等式向具体不等式转化的过程中，一定要注意单调区间，需将自变量转化到同一个单调区间上去．
3．识图要抓性质特征，关键点；作图要规范，一般从基本图形通过平移、对称等变换来作图．
课时规范训练
(时间：60分钟)

A组　专项基础训练题组
一、填空题
1．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f＝______.
2．已知f(x)＝ 若f(2)＝1，则f[f()]＝________.
3．设函数f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出下列命题：
①b＝0，c>0时，方程f(x)＝0只有一个实数根；
②c＝0时，y＝f(x)是奇函数；
③方程f(x)＝0至多有两个实根．
上述三个命题中正确命题的序号为________．
4．设a>0，a≠1，函数f(x)＝loga(x2－2x＋3)有最小值，则不等式loga(x－1)>0的解集为______．
5．已知x2>x，则实数x的取值范围是________．
6．已知函数f(x)＝在R上是单调递增函数，则实数a的取值范围为________．
7．已知过点O的直线与函数y＝3x的图象交于A、B两点，点A在线段OB上，过A作y轴的平行线交函数y＝9x的图象于C点，当BC平行于x轴时，点A的横坐标是________．
二、解答题
8．已知a>0，且a≠1，f(logax)＝.
(1)求f(x)；
(2)判断f(x)的单调性；
(3)求f(x2－3x＋2)<0的解集．
B组　专项能力提升题组
一、填空题
1．设函数f(x)是定义在R上周期为3的奇函数，若f(1)<1，f(2)＝，则a的取值范围是______________．
2．设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f(x－2)＝f(x＋2)，且当x∈[－2,0]时，f(x)＝x－1，若在区间(－2,6]内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0 (a>1)恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是__________．
3．设函数F(x)＝f(x)＋f(－x)，x∈R，其中是函数F(x)的一个单调递增区间，将函数F(x)的图象向右平移π个单位，得到一个新的函数G(x)的图象，则G(x)的一个单调递减区间是__________．
4．已知函数y＝f(x) (x∈R)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)与y＝log5x的图象交点的个数为________．
5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是__________．
6．已知f(x)＝asin x＋b＋4 (a，b∈R)，且f[lg(log210)]＝5，则f[lg(lg 2)]＝________.
二、解答题
7．设函数f(x)＝x＋的图象为C1，C1关于点A(2,1)对称的图象为C2，C2对应的函数为g(x)．
(1)求g(x)的解析式；
(2)若直线y＝m与C2只有一个交点，求m的值和交点坐标．
8．已知函数f(x)＝loga (a>0，a≠1)的图象关于原点对称．
(1)求m的值；
(2)判断函数f(x)在区间(1，＋∞)上的单调性并加以证明；
(3)当a>1，x∈(t，a)时，f(x)的值域是(1，＋∞)，求a与t的值．
答案
题型分类·深度剖析
例1　12
变式训练1　3
例2　[－2,0)∪(0,2]
变式训练2　(－1,0)∪(1，＋∞)
例3　③
变式训练3　②
例4　(1)解　令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝0.
(2)证明　令y＝－x，
得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，
又f(0)＝0，则有0＝f(x)＋f(－x)，
即f(－x)＝－f(x)对任意x∈R成立，
所以f(x)是奇函数．
(3)解　由k·3x<－3x＋9x＋2，
得k<3x＋－1.
u＝3x＋－1≥2－1,3x＝时，取“＝”，即u的最小值为2－1，
要使对x∈R不等式k<3x＋－1恒成立，
只要使k<2－1.
变式训练4　解　∵f(x)＝logax，
则y=|f(x)|的图象如右图．
由图示，可使x∈[,2]时恒有|f(x)|≤1，
只需| f()|≤1，
即-1≤loga≤1，
即logaa-1≤log a≤logaa，
亦当a>1时，得a－1≤≤a，即a≥3；
当0<a<1时，得a－1≥≥a，得0<a≤.
综上所述，a的取值范围是(0，]∪[3，＋∞)．
例5　解　由x2－logax<0，
得x2<logax.
设f(x)＝x2，g(x)＝logax.
由题意知，当x∈时，函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方，如图，
可知
即
解得≤a<1.∴实数a的取值范围是.
变式训练5　∪(1,2]
课时规范训练
A组
1．－　2.8 3．①② 4．(2，＋∞) 5．x<0或x>1　6.[7,8)　7.log32
8．解　(1)令t＝logax (t∈R)，则x＝at，
且f(t)＝.
∴f(x)＝(ax－a－x) (x∈R)．
(2)当a>1时，ax－a－x为增函数，
又>0，∴f(x)为增函数；
当0<a<1时，ax－a－x为减函数，
又<0，∴f(x)为增函数．
∴函数f(x)在R上为增函数．
(3)∵f(0)＝(a0－a0)＝0，
∴f(x2－3x＋2)<0＝f(0)．
由(2)知：x2－3x＋2<0，∴1<x<2.
∴不等式的解集为{x|1<x<2}．
B组
1．a<－1或a>0 2．(，2) 3.　4.4 5．(－2,1) 6．3
7．解　(1)设点P(x，y)是C2上的任意一点，则P(x，y)关于点A(2,1)对称的点为P′(4－x,2－y)，代入f(x)＝x＋，可得2－y＝4－x＋，即y＝x－2＋，
∴g(x)＝x－2＋.
(2)由
消去y，得x2－(m＋6)x＋4m＋9＝0，
Δ＝(m＋6)2－4(4m＋9)．
∵直线y＝m与C2只有一个交点，
∴Δ＝0，解得m＝0或m＝4.
当m＝0时，经检验合理，交点为(3,0)；
当m＝4时，经检验合理，交点为(5,4)．
8．解　(1)∵函数f(x)＝loga (a>0，a≠1)的图象关于原点对称，
∴f(－x)＋f(x)＝0，即loga＋loga
＝loga＝0，
由＝1，得m2＝1，
∴m＝1或m＝－1.
当m＝1时，＝－1<0，舍去；
当m＝－1时，＝，令>0，
解得x<－1或x>1.
∴符合条件的m的值为－1.
(2)由(1)得f(x)＝loga，任取1<x1<x2，
f(x2)－f(x1)＝loga－loga
＝loga.
∵1<x1<x2，
∴(x2＋1)(x1－1)－(x2－1)(x1＋1)
＝2(x1－x2)<0，
∴0<<1，
∴当0<a<1时，loga>0，
即f(x2)－f(x1)>0，此时f(x)为增函数；
当a>1时，loga<0，
即f(x2)－f(x1)<0，此时f(x)为减函数．
(3)由(2)知，当a>1时，f(x)在(1，＋∞)上为减函数；
同理在(－∞，－1)上也为减函数．
当(t，a)⊆(－∞，－1)时，f(a)<f(x)<f(t)<0与已知矛盾，舍去；
当(t，a)⊆(1，＋∞)时，
∵函数f(x)的值域为(1，＋∞)，
∴f(a)＝1且＝0，解得t＝－1，a＝1＋.