第二章 单元质量评估(一).doc

第二章　单元质量评估(一)

一、选择题(每小题5分，共60分)
1．下列命题正确的是(　　)
A．a≠b⇒|a|≠|b|
B．|a|>|b|⇒a>b
C．a＝b⇔a∥b
D．|a|＝0⇒a＝0
解析：A错，a，b不相等，它们的大小不一定不相等．
B错，两个向量不能比较大小．
C错，两个共线向量不一定相等．
故选D.
答案：D
2．化简以下各式：①＋＋；②－＋；③＋＋－，结果为零向量的个数是(　　)
A．1　　　　　　　　 B．2
C．3 D．0
解析：由加减法的三角形法则易知，①②③均正确．故选C.
答案：C
3．已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件是(　　)
A．λ＝0 B．e2＝0
C．e1∥e2 D．λ＝0，或e1∥e2
解析：若a与b共线，则存在μ，使e1＋λe2＝μ·2e1，若e1，e2不共线，则λ＝0，当e1，e2共线时，上式仍然成立，故选D.
答案：D
4．设四边形ABCD中，有＝，且||＝
||，则这个四边形是(　　)
A．平行四边形 B．矩形
C．等腰梯形 D．菱形
解析：由＝，可知对边AB，DC平行但不相等，由||＝||，得AD与BC长度相等，所以四边形ABCD是等腰梯形．
答案：C
5．已知＝(4，－5)，＝(x，y)，＝(3，2)，且∥，则3x＋7y的值为(　　)
A．0 B．2
C. D．－2
解析：＝－＝－(＋＋)
＝－(7＋x，－3＋y)＝(－x－7，－y＋3)．
又∥，∴x(－y＋3)－y(－x－7)＝0.
化简得3x＋7y＝0，故选A.
答案：A
6．向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，(a＋b)⊥(2a－b)，则向量a，b的夹角为(　　)
A．45° B．60°
C．90° D．120°
解析：(a＋b)·(2a－b)＝0，
∴2|a|2＋a·b－|b|2＝0，
∴a·b＝0，∴a，b的夹角为90°，故选C.
答案：C
7．已知圆O的半径为R，A，B是其圆周上的两个三等分点，则·的值等于(　　)
A.R2 B．－R2
C．－R2 D．－R2
解析：如图，||＝R，与的夹角是，

∴·＝R·R(－)＝－R2.
答案：D
8．已知向量m，n的夹角为，且|m|＝，|n|＝2，在△ABC中，＝m＋n，＝m－3n，D为BC边的中点，则||等于(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：＝(＋)＝m－n.
∴||＝
＝＝1.
答案：A
9．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝|b|＝1，c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为(　　)
A．1 B.
C. D.
解析：设c＝t(a＋b)，|c＋a|2＝|(1＋t)a＋tb|2＝t2＋t＋1＝(t＋)2＋≥.
∴|c＋a|的最小值为.
答案：D
10．设A(a，1)，B(2，b)，C(4，5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相等，则a与b满足的关系式为(　　)
A．4a－5b＝3 B．5a－4b＝3
C．4a＋5b＝14 D．5a＋4b＝14
解析：由投影计算公式可得
＝，
即4a＋5＝8＋5b，即4a－5b＝3.故选A.
答案：A
11．设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：
①(a·b)c－(c·a)b＝0；
②|a|－|b|<|a－b|；
③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2中，
是真命题的有(　　)
A．①② B．②③
C．③④ D．②④
解析：①错，∵b，c不共线，
∴(a·b)c－(c·a)b≠0.
②对，|a|，|b|，|a－b|构成一个三角形的三边，故有|a|－|b|<|a－b|.
③错，∵[(b·c)a－(c·a)b]·c
＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，
∴(b·c)a－(c·a)b与c垂直．④对．
答案：D
12．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是(　　)
A．[0，] B．[，π]
C．[，] D．[，π]
解析：Δ＝|a|2－4a·b≥0⇒cosθ≤⇒≤θ≤π.故选B.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．已知a＝(1，m)与b＝(n，－4)共线，且c＝(2，3)与b垂直，则m＋n＝________.
解析：∵a∥b，∴1×(－4)－m·n＝0，
即mn＝－4.
又c⊥b，∴2n－12＝0，即n＝6.
∴m＝－，∴m＋n＝.
答案：
14．设p＝(2，7)，q＝(x，－3)，则p与q的夹角为钝角时x的取值范围为________．
解析：由已知p·q<0，且p与q不反向．
答案：(－∞，－)∪(－，)
15．已知|a|＝2，|b|＝4，且(a＋b)与a垂直，则a与b的夹角是________．
解析：(a＋b)a＝|a|2＋|a||b|cosθ＝4＋8cosθ＝0，
∴cosθ＝－，θ＝π.
答案：
16.

如图，正六边形ABCDEF中，有下列四个命题：
①＋＝2；
②＝2＋2；
③·＝·；
④(·)＝(·)．
其中真命题的代号是________．(写出所有真命题的代号)
解析：

如图．
＋＝＋＋，依平行四边形法则，
＋＝＝，∴＋＝2，命题①正确．
∵＋＝，∴＝2＋2，命题②正确．
∵(－)·＝·＝2||2≠0，
∴·－·≠0，故命题③不正确．
∵(·)＝(－2·).
＝－2(·)＝(·)
＝(·)，
∴命题④正确，故答案为①②④.
答案：①②④
三、解答题(共70分)
17．(本小题10分)

在平行四边形ABCD中，E，F依次是对角线AC上的两个三等分点，设＝a，＝b，试用a与b表示和.
解：＝＋＝－＋＝－b＋(a＋b)＝a－b，
＝＋＝－＋
＝－a＋(a＋b)＝－a＋b.
18．(本小题12分)已知向量a＝(3，－4)，求：
(1)与a垂直的单位向量c；
(2)将a绕原点逆时针方向旋转45°得到向量e，求e的坐标．
解：(1)由a⊥c，a＝(3，－4)，可设c＝λ(4，3)，
求得c＝(，)，或c＝(－，－)．
(2)设e＝(x，y)，则x2＋y2＝25.
又a·e＝3x－4y＝|a||e|cos45°，
即3x－4y＝.
由上面求得
e＝(，－)或(－，－)．
又e由a绕原点逆时针方向旋转45°得到，
∴e＝(，－)．
19．(本小题12分)在平面上建立了直角坐标系，O是原点，已知点A(16，12)，B(－5，15)．
(1)求||，||；
(2)求∠OAB.
解：(1)∵＝(16，12)，＝(－21，3)，
∴||＝＝20，
||＝＝15.
(2)·＝(－16，－12)·(－21，3)＝300，
∴cos∠OAB＝＝＝，
又∠OAB∈[0°，180°]，∴∠OAB＝45°.
20．(本小题12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点P(2sinx＋，sin2x)和点Q(sinx，－4)，其中x∈[0，π]，若向量与向量垂直，求x的取值集合．
解：由⊥，得·＝0，
即(2sinx＋)sinx－4sin2x＝0，
整理得－2sin2x＋sinx＝0，
解得sinx＝0，或sinx＝.
∵x∈[0，π]，
∴x＝0，或x＝π，或x＝，或x＝，
∴x的取值集合为{0，，，π}．
21．(本小题12分)已知a＝(－，)，＝a－b，＝a＋b，若△AOB是以O为直角顶角的等腰直角三角形，求向量b及△AOB的面积．
解：∵OA⊥OB，
∴a2＝b2，即|a|＝|b|＝1.
∴||＝|－|＝|2b|＝2.
∴|a－b|＝|a＋b|＝，∴a·b＝0.
设b＝(x，y)，则
∴b＝(，)或b＝(－，－)．
∴S△ABC＝×()2＝1.
22．(本小题12分)平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)．
(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(2)求满足(a＋kc)∥(2b－a)的实数k；
(3)设d＝(x，y)满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝1，求d.
解：(1)∵a＝mb＋nc，
∴(3，2)＝(－m＋4n，2m＋n)．
∴
(2)∵(a＋kc)∥(2b－a)，
a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，
∴2(3＋4k)＋5(2＋k)＝0，即k＝－.
(3)∵d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2，4)，
又(d－c)∥(a＋b)，|d－c|＝1，
∴
解得或
∴d＝(，)，
或d＝(，)．