高温超导磁悬浮准静态的力弛豫特性.pdf

文章编号：0258-2724(2023)04-0845-08DOI:10.3969/j.issn.0258-2724.20211023磁力应用装备与智能控制高温超导磁悬浮准静态的力弛豫特性刘晓宁，柯志昊，邓自刚（西南交通大学轨道交通运载系统全国重点实验室，四川成都610031）摘要：为了研究顶部籽晶熔融织构法制备的钇钡铜氧超导块材在 Halbach 永磁轨道上的准静态悬浮力弛豫特性，定义了弛豫完整过程，划分为激励过程（含起始状态、中间过程、终止状态）、弛豫过程和稳态结果；在激励过程起始和终止状态相同时，通过搭建的悬浮力测试装置，研究了复杂中间过程对稳态结果的影响；基于磁化和Anderson-Kim 模型建立了弛豫分析模型，对力弛豫规律进行分析和总结.研究结果表明：4 种不同中间过程位移形式的稳态结果趋于一致，但位移过程中的最大悬浮力受到往返次数以及速度的影响，其中最大悬浮力点分布在随时间对数衰减的曲线周围；弛豫过程前终止状态的悬浮力与移动速度正相关，经过弛豫过程后的稳态结果趋于一致，而弛豫过程后以不同移动速度重复往返一次，移动速度对最大悬浮力的影响明显减弱（最大悬浮力差值由3.7N 降低为 2.0N）；超导体在激励过程和弛豫过程中皆存在弛豫现象，而移动速度以及往返次数对最大悬浮力的影响结果是激励过程力弛豫的表现.关键词：磁悬浮；高温超导体；弛豫过程；悬浮力；准静态中图分类号：U266.4文献标志码：AQuasi-Static Force Relaxation Characteristics ofHigh Temperature Superconducting Magnetic LevitationLIU Xiaoning,KE Zhihao,DENG Zigang(StateKeyLaboratoryofRailTransitVehicleSystem,SouthwestJiaotongUniversity,Chengdu610031,China)Abstract:To investigate the quasi-static force-relaxation characteristics of a YBCO bulk levitated above aHalbachpermanent-magneticguideway,usingthetop-seed-melt-texture-growthmethod,thecompleterelaxationprocess is defined and divided into the excitation process(involved initial state,dynamics process,andterminationstate),relaxationprocess,andsteadystate.Withthesameinitialandterminationstates,theeffectofdifferent displacements of the dynamics process on the steady state is experimentally investigated using aspecializedapparatus.Then,onthebasisofmagnetizationandtheAnderson-Kimmodel,arelaxationmodelisestablishedandseverallawsareformulated.Theresultsindicatethatthesteadystatesofthefourdisplacementstendtobethesame.However,themaximumlevitationforce(MLF)isaffectedbytheround-triptimesanddisplacementvelocity.TheMLFpointsaredistributedaroundacurvethatdecayslogarithmicallywithtime.Priortotherelaxationprocess,thelevitationforceoftheterminatingstateispositivelycorrelatedwiththevelocity;thesteadystateresultsaftertherelaxationprocesstendtobeconsistent.Furthermore,aftertherelaxationprocess,theinfluenceofthevelocityontheMLFisgreatlyreduced(theMLFdifferencedecreasesfrom3.7Nto2.0N).Relaxationphenomenaareinboththeexcitationandrelaxationprocessesofsuperconductors,andtheeffectofthevelocityandround-triptimesontheMLFismanifestedintherelaxationduringtheexcitationprocess.Key words:magneticlevitation;hightemperaturesuperconductors;relaxationprocess;levitationforce;quasi-static收稿日期：2021-12-14修回日期：2022-06-07网络首发日期：2022-06-09基金项目：国家自然科学基金（52022086）；四川省科技厅创新团队项目（2022JDTD0011）第一作者：刘晓宁（1994），男，博士研究生，研究方向为超导钉扎磁浮，E-mail：通信作者：邓自刚（1982），男，研究员，博士，研究方向为磁悬浮及真空管道交通，E-mail：引文格式：刘晓宁，柯志昊，邓自刚.高温超导磁悬浮准静态的力弛豫特性J.西南交通大学学报，2023，58(4)：845-852LIUXiaoning,KEZhihao,DENGZigang.Quasi-staticforcerelaxationcharacteristicsofhightemperaturesuperconductingmagneticlevitationJ.JournalofSouthwestJiaotongUniversity,2023，58(4)：845-852第58卷第4期西南交通大学学报Vol.58No.42023年8月JOURNALOFSOUTHWESTJIAOTONGUNIVERSITYAug.2023处于超导混合态的高温超导体钇钡铜氧（YBCO）陶瓷由于磁通钉扎特性在永磁轨道外磁场中能实现自稳定悬浮，基于该物理现象研制的高温超导磁悬浮（钉扎磁浮）列车具有被动自稳定的优越特性.其悬浮和导向无须额外通电并能够实现静止悬浮，因此能量损耗和发热小，液氮浸泡冷却方式也有效降低系统制冷难度1.自 1987 年伴随高温超导体诞生以来，这一新兴磁浮制式一直受到研究者关注.来自中国2-4、德国5、巴西6、意大利7等国的学者和工程师经过近三十年的努力，使该新型载运工具不断成熟和发展.2021 年 1 月 13 日，世界首台高温超导高速磁浮工程化样车及试验线正式在西南交通大学启用，标志着超导钉扎高速磁浮工程化研究从无到有的突破.作为一种新型载运工具，高温超导磁悬浮列车需满足安全、平稳、稳定、环保等要求.但是高温超导磁悬浮独特的电磁特性给工程应用带来诸多挑战.被动自稳定悬浮起源于 YBCO 的超导和磁通钉扎特性；而材料非线性电阻特性（或称 E-J 关系）和轨道非均匀磁场使电磁作用力呈现强烈非线性特征8；磁通钉扎特性还使得电磁力具有磁滞和弛豫现象9；YBCO 临界电流密度（Jc）的复杂性也阻碍高温超导磁悬浮的分析和计算10.弛豫现象对列车的影响不能忽视，弛豫现象是指在超导体内的电场、磁场以及相应电磁力随时间呈现“先快后慢”并最终平稳的缓慢衰减过程.从电场角度分析，根据超导体 E-J 关系，外磁场变化在超导体内激励电场和电流，但超导体的等效电阻不为 0，而是快速衰减的微弱电阻，进而导致能量耗散，因此，在电流与外磁场作用的电磁力上出现力弛豫现象.从磁通运动角度分析，量子化的磁通线穿入超导体，由于存在热激发，磁通线有一定概率从一个钉扎中心跳到另一个钉扎中心，趋势为使超导体内非均匀分布的磁通线向均匀分布运动.因此即使没有相对运动，超导体内的磁通线仍旧会缓慢地运动，称之为“磁通蠕动”.磁通蠕动的过程对应超导体内磁弛豫过程.磁弛豫必将引起超导体电流密度随时间发生变化并导致力弛豫.力弛豫一般指悬浮力的弛豫，这对于车辆系统便意味着悬浮高度的下降，因此该工况需要抑制.另一方面，通过力弛豫也可以反求解 Jc11.与其他因素相比，关于力弛豫研究较少.早期，Moon 等12便指出存在力弛豫，Riise 等13指出力弛豫遵从随时间对数衰减.后来，Qin 等14研究了 YBCO块材在对极式和 Halbach 轨道上方不同移动速度下的力弛豫，得出如下结论：1）悬浮力在 200s 内衰减 15%以上；2）Halbach 轨道上的悬浮力衰减更小14.Starikovskii 等15研究了 YBCO 堆叠带材的力弛豫特性.Sotelo 等16研究了长时间的力弛豫特性，结果表明经过 24h 的弛豫，悬浮力从 1950N 衰减为1680N，衰减比例为 13.8%并逐渐趋于稳定，并预测经过 30d 的弛豫，悬浮力仅将缓慢下降到 1600N左右；Yuan 等17也指出经过数小时的弛豫后悬浮力衰减幅度很小.Postrekhin 等18-20分别从仿真和试验以及解析计算角度说明，超导体移动速度对弛豫存在影响，具体为移动速度越快，悬浮力及弛豫越大，但经过弛豫后趋于一致.王璐琳21研究了不同场冷高度和悬浮高度时的力弛豫，并指出超导体先下降再返回后，弛豫会出现缓慢增长而非衰减的现象.为了抑制弛豫衰减，一方面可以通过提高超导体的 Jc，超导体的磁通钉扎性能与 Jc正相关，磁通钉扎抑制磁通蠕动，进而抑制弛豫.而提高 Jc的方式有降低温度、人工引进钉扎中心等方式.预载（pre-load）也是一种弛豫抑制方法22-24，可通过将悬浮体先运动到低于悬浮高度处的某一位置，然后再上升到预定的悬浮高度来实现.现有的弛豫研究中，往往对静置弛豫过程较为关注，弛豫前超导体经历简单下降或者往返运动过程，这是最简单理想的工况.而在实际应用中，超导体往往经历移动静置移动静置移动的复杂交替状态再进行弛豫.移动的过程复杂，且每段静置时长也不相同.而这种运动过程对最终弛豫结果的影响尚待研究.因为目前力弛豫尚无一个完整、统一的定义或界定，阻碍了力弛豫的系统分析，所以为了研究该问题，首要的是对力弛豫过程进行详细定义，然后利用精确悬浮力测试装置进行实验，之后根据实验结果建立弛豫模型进行分析讨论，最后对研究进行总结，提炼出对实际应用有指导意见的结论.1 准静态力弛豫过程的定义 1.1 高温超导磁悬浮系统高温超导磁悬浮系统主要由超导体和永磁体组成（图 1）.其中超导体进入超导态，而永磁体提供外磁场.超导体在永磁体的非均匀外场中移动，受到阻碍其运动的力，从而产生悬浮现象.在当前的工程应846西南交通大学学报第58卷用中，超导体主要采用 YBCO 块材，由灌注在低温容器中的液氮进行冷却；而外磁场主要由钕铁硼（NdFeB）永磁体依据 Halbach 阵列排列而成的永磁轨道（PMG）提供.本文的坐标系设置如图 1所示：y 轴为沿着轨道延伸的纵向；z 轴为垂向；x 轴为横向；坐标原点设置在永磁轨道上表面的中点.超导体受到的垂向力、横向力、纵向力相应地称为悬浮力、导向力、磁阻力.悬浮高度定义为超导体下表面到永磁轨道上表面的垂直距离，随着悬浮高度的下降，超导体受到的悬浮力近似指数增长，而超导体在最低高度处会受到最大悬浮力.超导体永磁轨道O(y)xz图1高温超导磁悬浮系统基本组成Fig.1High-temperaturesuperconductingMaglevsystemcomposition 1.2 力弛豫超导体在某一磁场位置进行场冷（fieldcooling，FC）并进入超导态；超导体位移，超导体的磁场状态发生变化产生感应电流，与轨道磁场作用产生电磁力；将超导体静置不动，超导体的电磁力因电磁特性弛豫而随着时间发生变化.典型的力弛豫曲线如图 2所示.当前的力弛豫并无严格的定义和界定.为了方便后续研究，本文对力弛豫的各阶段定义如下：1）激励过程超导体移动并在体内激励出感应电流并产生电磁力的过程（t1t2）.其中起始时刻 t1的磁场状态称为“起始状态”；而终止时刻 t2的磁场状态称为“终止状态”，两者之间的位移过程称为“中间过程”.2）弛豫过程超导体在激励过程之后保持静置进行力弛豫的过程（t2t3）.3）稳态结果经过一段时间 t3的弛豫过程后，超导体达到的相对稳定结果.本文设定经过 600s 弛豫过程后的结果为稳态结果.16激励过程终止状态 t2弛豫过程稳态结果 t3起始状态 t112电磁力/N840261014180255075100时间/s125613625图2典型的力弛豫曲线Fig.2Typicalcurveofforcerelaxation对本文的力弛豫研究界定.一是本文中涉及的力弛豫为准静态力弛豫，即激励过程中的位移缓慢（速度小于 0.1m/s），且超导体的散热条件良好，因此可以忽略热量对电磁特性的耦合影响.二是超导体由测试装置夹持，悬浮高度由测试装置决定，只存在力衰减而不存在悬浮高度下降，即超导体非自由悬浮状态.2 实验方案首先通过实验方法研究相同的激励过程起始和终止状态下，复杂的中间过程对稳态结果的影响.本节主要介绍实验相关的设备、超导体样品、永磁轨道以及实验流程等技术细节.2.1 实验设备为获取超导体在永磁轨道上方悬浮力随时间变化的数据，如图 3（a）所示，采用自主搭建的悬浮力快速测试装置进行实验.装置的力量程为300N，测试精度为 0.1N.该装置特点是，在传统步进电机驱动之外还可通过摇轮改变超导体高度，增加位移灵活度，搭配数显位移标尺可有效提升测试效率.装置通过控制器实现电机行程控制以实现超导体在不同速度下各种垂直位移，并通过计算机准确记录悬浮力随时间变化情况.2.2 超导样品本文采用一块由顶部籽晶熔融织构方法制备的 YBCO 块材，见图 3（b），样品临界温度为 93K，尺寸为 30mm30mm10mm.YBCO 块材由液氮浸泡冷却.样品水平放置.2.3 永磁轨道实验采用由 5 块 NdFeB42 稀土永磁体按照Halbach 阵列排布而成的永磁轨道，x-z 横截面具体磁体排列方式以及尺寸如图 3（c）所示.Halbach 阵第4期刘晓宁，等：高温超导磁悬浮准静态的力弛豫特性847列可以使磁场主要分布在轨道上方一侧，提高了磁场利用率和磁悬浮性能，因此是目前应用最广泛的轨道形式25.在理想 Halbach 轨道中（不含铁磁材料），如果忽略端部效应，轨道磁场 B 随着高度的降低指数增长，水平和竖直磁场分量（Bx和 Bz）随着横向位置呈正弦（余弦）变化，两者具有 90相位差.而轨道延伸纵向的磁场均匀分布.超导体沿着均匀的y 轴纵向延伸移动不受到阻碍，而在 x-z 横截面内移动时，由于磁场的非均匀分布，产生阻碍相对运动的回复力.(a)测试装置(b)超导样品3030(c)永磁轨道262125永磁体铁底板图3实验硬件Fig.3Experimentfacilities 2.4 测试流程YBCO 块材在永磁轨道上方（高度 z=60mm，横向 x 为竖直磁化磁体正上方）由液氮浸泡冷却 5min进入超导态.经历 4 种不同中间过程后在 z=10mm处静置，进入弛豫过程.即起始和终止状态相同而中间过程不同.激励和弛豫总时长为 640s.4 种中间过程具体如下所示.1）超导体以速度 v=1.2mm/s 竖直下降到 10mm高度，进入弛豫过程，以此来代表最简单的单一匀速下降过程.2）超导体以速度 v=1.2mm/s 连续重复 6 次60mm10mm60mm 的往返位移过程，然后下降到 10mm 高度进入弛豫过程，以此来代表重复匀速往返过程.3）超导体分别以 v=1.20，1.68，2.16，2.64，3.12，3.60mm/s 速度逐渐增大连续往返6 次，然后在10mm高度进入弛豫过程，以此来代表不同速度的多次往返过程.4）超导体随机往返多次，然后在 10mm 高度进入弛豫过程，以此来代表最一般的过程.综合来说，测试流程的场冷高度为 60mm，最低测试高度为 10mm.激励过程具有不同的中间过程.最终由计算机记录整个过程中的悬浮力变化情况.3 实验结果与讨论 3.1 中间过程对稳态结果的影响4 种不同中间过程的力弛豫变化情况如图 4 所示.0100200300400500600700010203040506070悬浮力/N时间/s相同速度往返 6 次不同速度往返 6 次随机往返下降后保持不动图4激励过程的起始和终止状态相同时，不同的中间过程对稳态结果的影响Fig.4Withthesameinitialandterminationstate,theinfluenceofdifferentdynamicsprocessesonthestablestateresults通过图 4 可以看出：相同的起始和终止状态，不同的中间过程对稳态结果影响较小.具体来看，除了相同速度往返 6 次之外，其余 3 种位移过程的稳态结果接近（640s 时力数值分别为 53.4、53.3、52.7N）.相同速度往返 6 次的位移过程出现偏差可归因于其位移过程耗时较长，相应地保持不动的时间最短（弛豫时间200s），因此相较其余 3 种位移形式，其悬浮力在 600s 后稍大.但是通过其弛豫变化趋势可得出，若弛豫过程总时长继续增大，最终 4 种位移形式的稳态结果趋于一致.随机往返过程中包含了两次静置过程，从其曲线可以看出，中间过程是否包含静置对稳态结果影响较小.3.2 往返次数对最大悬浮力的影响不同中间过程的稳态结果趋于一致，而不同中848西南交通大学学报第58卷间过程，超导体每一次下降到 10mm 受到的最大悬浮力（即曲线的峰）皆不相同.分析可得，影响最大悬浮力的因素主要是往返次数和移动速度.对于往返次数，单独提取出图 4 中相同移动速度往返 6 次曲线（图 5 实线），激励过程中实线的每个峰代表超导体每一次往返时下降到 10mm 受到了最大悬浮力.而虚线连接每个峰值，描述多次往返的最大悬浮力变化.可以看出，相同的往返过程重复了 6 次，每次经历的磁场变化相同，但到达最低高度处测得悬浮力数值不相同，呈现出与时间的相关性.第 27 个峰值相较前一次往返，最大悬浮力依次下降了 1.9、0.9、0.8、0.3、0.1、0.3N，最大悬浮力遵循“先快后慢”的类似对数衰减形式.分析来看，磁通蠕动不只存在于静置阶段，也同样存在于超导体运动过程中，即磁通蠕动时刻发生，并且“往返次数”这一因素并非物理因素，而应是某一深层物理因素的外在表现.根据上述分析认为，激励过程（即运动过程中）同样存在着一种特殊的力弛豫形式，而往返次数对最大悬浮力的影响便是该特殊弛豫现象的表现.62.760.859.959.158.858.758.40100200300400500600010203040506070悬浮力/N时间/s往返 6 次过程最大悬浮力弛豫过程往返 1 往返 2往返 4往返 3往返 5 往返 6图5往返次数对悬浮力的影响Fig.5Influenceofround-triptimesonlevitationforce 3.3 移动速度对最大悬浮力的影响关于移动速度对悬浮力的影响，本文设计了相应的实验.具体的实验流程是：激励过程中，移动速度分别为 v=0.123.6mm/s；弛豫过程中，超导体悬浮保持不动 600s；弛豫过程结束后，超导体以激励过程的移动速度返回 60mm 高度，紧接着以相同的移动速度下降到 10mm，然后返回 60mm 高度处.即首先测试一次不同移动速度对悬浮力的影响，经过弛豫过程后，再重复测试一次不同移动速度对悬浮力的影响，结果如图 6 所示.由图 6 可以看出：弛豫过程之前，激励阶段结束时的悬浮力与移动速度正相关.经过 600s 弛豫过程后，最终稳态结果趋于一致，这与图 4 的研究结论吻合.若再重复往返测试，移动速度与最大悬浮力的正相关联系减弱.表 1 提取了图 5 中关键时刻的悬浮力数值.其中 t2和 t3时刻如第 1 节所述，分别指激励过程终止时刻和弛豫过程结束时刻.在此定义t4为弛豫后再次进行往返测试达到最低点的时刻，即弛豫后重复往返获得最大悬浮力时刻.表 1 中：F2、F3、F4分别为 t2、t3、t4时刻对应的悬浮力.03006009001 200 1 500 1 80010010203040506070悬浮力/N时间/s0.12 mm/s0.24 mm/s0.72 mm/s3.60 mm/s图6不同激励过程移动速度对悬浮力的影响Fig.6Influenceofmovingvelocityonlevitationforcewithdifferentexcitationprocesses表 1 不同时刻悬浮力的比较Tab.1ThecomparisonoflevitationforceatdifferenttimeNv/（ms1）F2F3F40.1258.652.853.90.2460.153.154.40.7261.853.054.63.6062.352.955.9通过表 1 可以看出，未弛豫之前的移动速度v 从 0.12mm/s 增大到 3.60mm/s，悬浮力 F2相应增大了 3.7N.经过弛豫后，悬浮力 F3趋于一致，仅相差 0.3N.而弛豫之后重复进行往返测试，不同的移动速度的悬浮力 F4只增大了 2.0N，最大值差异较弛豫之前，缩小了 45.9%.可见经过弛豫之后，移动速度对悬浮力的影响减弱.基于此本文提出：在实际应用中，为了削弱移动速度对悬浮力的影响，预先对超导体进行弛豫是一种有效措施.3.4 讨论从更本质的层面上分析，如同往返次数对悬浮力的影响，移动速度与悬浮力正相关现象也应该进一步归因于力弛豫.激励过程同样存在特殊的力弛豫，移动速度越快，相应弛豫时间越短，因此在激励第4期刘晓宁，等：高温超导磁悬浮准静态的力弛豫特性849阶段结束时的最大悬浮力越大.但是经过长时间弛豫过程，稳态结果趋于一致.通过弛豫后再重复往返测试，移动速度对悬浮力的影响降低，也印证该结论.该结论是在冷却条件较好、可忽略超导体的热效应情况下得出的.若考虑热耦合，移动速度越快，磁通线运动越剧烈，磁滞损耗带来的发热会引起超导体温度升高，降低 Jc并削弱悬浮力，即移动速度与悬浮力负相关.该结论在移动速度快、块材散热环境差的条件下更容易出现.例如，Jing 等25研究了 YBCO圆环在 Halbach 轨道上方的悬浮力在不同温度下（6377K）随着移动速度的不同（16mm/s）的变化趋势，实验结果指出，在 77K 和 73K，移动速度越快，悬浮力减小.而在 63K，该影响非常微弱26，与本文的分析一致.综合来说，移动速度对悬浮力的影响是两种因素共同作用的结果，一是激励过程力弛豫；二是超导体自身温升，而在准静态中，力弛豫占据主导地位.综上可知，起始和终止状态相同，在弛豫过程之前，超导体的最大悬浮力受到移动速度和往返次数的影响，更本质地，最大悬浮力受到激励过程的弛豫影响.而弛豫过程之后，最终稳态结果则趋于一致.4 理论模型分析本节将基于第 3 节的结果进行进一步讨论，建立一个解析模型以描述和分析上述现象.4.1 模型建立高温超导磁悬浮中，超导体没有外加电流.在激励阶段，超导体在磁场中产生位移，其所受磁场发生变化，进而激励产生感应电流，超导体被磁化.假设超导体零场冷，即初始状态磁场为 0，基于磁化的超导体与外磁场相互作用产生力，对于悬浮力 Fz，可表示为Fz=mBz,（1）式中：B 为磁场模；m 为超导体的磁矩，如式（2）.m=MV,（2）式中：V 为超导体的体积；M 为超导体的磁化强度.假设超导体被完全穿透，则M=AJr,（3）式中：A 为无量纲的超导体的材料系数；J 为超导体的感应电流密度；r 为超导体内最大电流环的半径.因此，激励过程终止状态时，最大悬浮力为Fzmax=AVJrBz.（4）式（4）描述了不考虑弛豫的最大悬浮力计算公式.通过上述实验，唯象地认为，高温超导磁悬浮存在着两种弛豫，分别存在于激励过程和弛豫过程.而激励过程的弛豫指最大悬浮力衰减，即认为不同移动速度以及多次往返时，最大悬浮力点分布在一条随着时间对数衰减的曲线周围.超导体内的磁通线由于钉扎中心而不均匀分布，量子化的磁通线在热激发下有一定的概率跳出钉扎势阱，趋向于磁通线均匀分布的方向移动.磁通蠕动使得超导体的磁矩仍旧在发生变化，即力弛豫本质上为超导体内的磁弛豫.根据 Anderson-Kim 模型27-28，磁通线的势阱能量 U 与感应电流密度 J 之间为线性关系，U=U0(1J/J0),（5）式中：U0为在没有 Lorentz 驱动力情况下的势垒高度.U=kT ln(t/t0),（6）式中：k 为 Boltzmann 常数；T 为绝对温度；t0为时效试跳时间.通过式（5）、（6）可以得知电流密度 J 对时间t 的对数关系为J=Jc1kTU0ln(tt0).（7）同时，为了使式（7）能在 t=0 时使用，通常将其改为J=Jc1kTU0ln(1+tt0).（8）因此，激励过程最大悬浮力 Fz1的弛豫如式（9），其中，t1tt2，超导体的不均匀磁化导致了 J的不均匀分布.Fz1=AVrJc1kTU0ln(1+tt0)Bz.（9）对于弛豫过程，则是在激励过程悬浮力基础上继续进行弛豫，激励过程与弛豫过程的悬浮力曲线不连续，则弛豫过程悬浮力如式（10），t2tt3.Fz2=Fz11kTU0ln(1+tt2t0).（10）两个过程的弛豫衰减量分别为1=kTU0ln(1+t2t0),（11）850西南交通大学学报第58卷2=(11)kTU0ln(1+t3t2t0).（12）根据第 3 节的分析，激励过程相同起始和终止状态，不同中间过程对稳态结果影响很小，而 1+2在不同 t2和 t3设定下变化很小也印证该结论.4.2 计算结果与分析如图 7 所示，提取出图 4 中激励阶段的最大悬浮力峰值点，与模型计算的激励阶段最大值点弛豫分布曲线进行对比可以得知：除了随机往返实验，其余最大值点都较好地分布在曲线周围.说明前述讨论的激励过程最大值点遵从弛豫衰减规律合理.而随机往返实验中的最大值点相对偏离了曲线，原因在于该实验的激励过程中包含静置过程，如图 4 中相应的曲线所示.该随机往返的激励过程曲线实际上还包含弛豫过程，而图 7 中的最大值点弛豫分布曲线描述的是连续移动时最大值点分布情况，即动态弛豫曲线.综合来看，将移动速度以及多次往返对悬浮力的影响理解为激励过程的弛豫是可行的.这也为定量计算不同速度以及往返次数时的最大悬浮力值提供了一种方法，而不仅仅局限于当前的定量分析层面.01002003004005006007005055606570悬浮力/N时间/sFz2 曲线，模型计算最大值点，相同速度往返 6 次实验最大值点，不同速度往返 6 次实验最大值点，随机往返实验Fz1 分布曲线，模型计算图7实验与计算结果的对比Fig.7Comparisonofexperimentalandcalculatedresults通过起始和终止状态可以确定准静态力弛豫的稳态结果.而起始和终止状态主要指磁场状态，这也说明，高温超导磁悬浮的力特性具有磁场依赖性，式（9）、（10）也反映了这一点.5 结论本文主要针对高温超导磁悬浮的准静态力弛豫进行研究，主要结论如下：1）稳态结果与激励过程的起始以及终止状态有关，与激励过程中间位移过程关系较小.2）激励过程中也存在力弛豫.3）移动速度对悬浮力的影响是弛豫和温升两方面共同作用的结果.在准静态以及良好散热条件下，主要由弛豫决定，移动速度越快，弛豫时间越短，悬浮力越大.4）往返次数对悬浮力的影响可以归结于弛豫现象.最大悬浮力随着循环次数的增加，同样遵循着随时间对数衰减的形式.从工程角度来看，在设计阶段，应将稳态结果而非终止状态时刻的悬浮力作为有效悬浮力.另外应用前弛豫是一种有效改善手段.对超导体进行弛豫，可以有效降低移动速度以及往返次数对悬浮力的影响.因为移动速度和往返次数对悬浮力的影响可以统一为激励过程的最大悬浮力弛豫，且最大悬浮力点分布在弛豫曲线上，所以在实际应用时可以依据该结论对最大悬浮力进行预测.参考文献：WANG J S,WANG S Y.High temperaturesuperconductingmagneticlevitationM.Beijing：PekingUniversityPress,2017：132-133.1WANGJS,WANGSY,ZENGYW,etal.Thefirstman-loadinghightemperaturesuperconductingMaglevtestvehicleintheworldJ.PhysicaC：Superconduc-tivity and Its Applications，2002，378/379/380/381：809-814.2DENGZG,ZHANGWH,ZHENGJ,etal.Ahigh-temperature superconducting maglev ring test linedevelopedinChengdu,ChinaJ.IEEETransactionsonAppliedSuperconductivity，2016，26(6)：3602408.1-3602408.8.3DENGZG,ZHANGWH,ZHENGJ,etal.Ahigh-temperature superconducting maglev-evacuated tubetransport(HTS maglev-ETT)test systemJ.IEEETransactions on Applied Superconductivity，2017，27(6)：3602008.1-3602008.8.4SCHULTZ L,DE HAAS O,VERGES P,et al.Superconductivelylevitatedtransportsystem-theSupraTrans projectJ.IEEE Transactions on AppliedSuperconductivity，2005，15(2)：2301-2305.5MATTOS L S,RODRIGUEZ E,COSTA F,et al.MagLev-cobraoperationaltestsJ.IEEETransactionsonAppliedSuperconductivity，2016，26(3)：3600704.1-3600704.4.6D OVIDIO G,CRISI F,LANZARA G.A“V”shapedsuperconductinglevitationmoduleforliftandguidance of a magnetic transportation systemJ.Physica C:Superconductivity and Its Applications，7第4期刘晓宁，等：高温超导磁悬浮准静态的力弛豫特性8512008，468(14)：1036-1040.DENGZ,WANGJ,ZHENGJ,etal.High-efficiencyandlow-costpermanentmagnetguidewayconsiderationfor high-Tc superconducting Maglev vehicle practicalapplicationJ.SuperconductorScienceandTechnology，2008，21(11)：115018.1-115018.9.8HULLJR.SuperconductingbearingsJ.Superconduc-torScienceandTechnology，2000，13(2)：1-15.9KIMYB,HEMPSTEADCF,STRNADAR.CriticalpersistentcurrentsinhardsuperconductorsJ.PhysicalReviewLetters，1962，9(7)：306-309.10SIAMAKI M,STOREY J G,BADCOCK R A.Towardsanon-destructivemethodofmappingtheE-JrelationusingforcedecaymeasurementsonsuperconductingbulksJ.IEEETransactionsonAppliedSuperconductivity，2021，31(5)：9000405.1-9000405.5.11MOONFC,CHANGPZ,HOJAJIH,etal.Levitationforces,relaxation and magnetic stiffness of melt-quenched YBa2Cu3OxJ.Japanese Journal of AppliedPhysics，1990，29(7)：1257-1258.12RIISEAB,JOHANSENTH,BRATSBERGH,etal.Logarithmic relaxation in the levitation force in amagnet-high Tc superconductor systemJ.AppliedPhysicsLetters，1992，60(18)：2294-2296.13QINYJ,LUYY,WANGSY,etal.Levitationforcerelaxation of HTS bulk above NdFeB guideways atdifferent approaching speedsJ.Journal of Supercon-ductivityandNovelMagnetism，2009，22(5)：511-516.14STARIKOVSKIIAS,OSIPOVMA,RUDNEVIA.Levitation properties of pre-magnetized HTS tapestacksJ.JournalofPhysics:ConferenceSeries，2020，1686(1)：012058.1-012058.6.15SOTELOGG,DIASDHN,DEANDRADER,etal.Testsonasuperconductorlinearmagneticbearingofafull-scale MagLev vehicleJ.IEEE Transactions onAppliedSuperconductivity，2011，21(3)：1464-1468.16YUAN Y H,LI J P,DENG Z G,et al.Dynamicperformance of HTS maglev and comparisons withanother two types of high-speed railway vehiclesJ.Cryogenics，2021，117：103321.1-103321.8.17POSTREKHINE,MAKB,YEH,etal.Dynamicsand18relaxation of magnetic stress between magnet andsuperconductor in a levitation systemJ.IEEE Tran-sactionsonAp