随机变量及其分布教案.docx

第二章随机变量及其分布
一.本章的教学目标及基本要求
（1）理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质，理解离 散型和连续型随机变量的概率分布及其性质，会运用概率分布计算各种随机事 件的概率；
（2）熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分 布的分布律或密度函数及性质；二.本章的教学内容
随机变量离散型随机变量及其分布
离散随机变量及分布律、分布律的特征常用的离散型随机变量
常见分布（0T分布、二项分布、泊松分布）随机变量的分布函数
分布函数的定义和基本性质，公式连续型随机变量及其分布
连续随机变量及密度函数、密度函数的性质常用的连续型随机变量
常见分布（均匀分布、指数分布、正态分布）及概率计算三.本章教学内容的重点和难点
a）随机变量的定义、分布函数及性质；b）离散型、连续型随机变量及其分布律或密度函数，如何用分布律或密度 函数求任何事件的概率；
c）六个常见分布（二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、 正态分布）；四.教学过程中应注意的问题
a）注意分布函数/（龙）=PX < %｝的特殊值及左连续性概念的理解；
b）构成离散随机变量X的分布律的条件，它与分布函数厂（%）之间的关系；离散型随机变量概率分布图像如下，形如一列竖立着的火柴棒。
Y
1
2
3
4
P
5/8
15/56
5/56
1/56

图2-2离散型随机变量概率分布
二、离散型随机变量的分布函数
对离散型随机变量来说,我们已经有分布函数和概率分布两个工具来全面描述其概率特 征。那么这两者之间有什么样的关系呢？由分布函数的定义，立即可以得到离散型随机变量 X的分布函数为：
FX%） = P{X =Xj <x
而由分布函数的右连续性又可以得到Pi =尸（不）-尸（玉-0）,因此随机变量X的概率分布 为P{X=xi} = pi = F(xi)-F(xi-0).
例2-14随机变量X的分布列为
X
1
3
5
P
0.5
0.2
03
求X的分布函数。
解X的取值为1, 3, 5.
当xN5时，b(x) = P{X Vx} = Zp, =P{X=5} + P{X=3} + P{X = 1} = 1； Xj<xXj<5
当3工九<5时，
b(x) = P{X«x} = Ep, = P{X=l} + P{X=3} = 0.7；Xj<X
当l<x<3时,
b(x) = P{ X < x} = Z P, = P{ X = 1} = 0.5 ；当％vl时,
F(x) = P[X «x} = Zp, =0；故X的分布函数为：
0 x< 10.5 l<x<3
3<x<55<x
函数图像为:
由上例可以看出离散型随机变量的分布函数的图像为阶梯形的分段函数,在每个取值点 分段，每段均为一条水平线段；其高度差或者说跳跃的幅度为左端点取值的概率大小；由分 布函数的右连续性，空心圆始终出现在线段的右端点；最左端与x轴重合，最右端与直线 X = 1重合。
0.3 -1<x<1
例2-15设b(x)二八八为某随机变量X的分布函数,2<x
试做出分布函数的图像，并求X的分布列。
解X的分布函数图像为：
分布函数分段点为随机变量X的取值，故X的取值为：-1、1、2； 分布函数每段的跳跃幅度即为分段点对应取值的概率，故P{X=-1} = 0.3、
P{X=l} = 0.7 —0.3 = Q4、P{X=2} = 1—0.7 = 0.3；因此，X 的分布列为:
X
—1
1
2
P
0.3
0.4
0.3
三、常用离散型随机变量的分布
下面我们介绍几种常用的离散型随机变量的分布，请读者注意它们的实际应用背景或者 对应的实际概率模型。
I .退化分布定义2-5如果随机变量X的概率分布为:P{X = %} = 1,那么称该随机变量服从退化分 fO x < x.
布。其布分布函数为歹(x) =〈°.
II X>XQ
假设X服从退化分布，X只去常数升,此时可以说X的取值并不随机，但我们宁可把 它看作随机变量的极端或退化情况，因此成为退化分布。
2. 0-1分布
例2-16期货交易是在指定时间发生(实际交割)前以当前价格买入或卖出某类货物的 金融投资行为。当某投资者认为该货物在指定交割时间价格要高于当前价格那么会考虑此时买 入，从而等到指定交割时间到来时卖出以获得收益。称为做多。反之假设投资者认为该货物在 指定交割时间价格要低于当前价格那么会考虑将手中的货物按照当前价格抛出，在实际交割时 间时赚取利润。称为做空。设某投资者判断正确那么可获利5000元，错误那么损失3000元。 那么可得一随机变量取值为5000和-3000。因其取值只有两个，我们称之为两点分布。
定义2-6如果随机变量X的概率分布为:]= ",那么称该随机变量服从[P[X=x2} = l-p
0 x< %参数为〃的两点分布，不妨设为<%，那么其分布函数为：F(x) = < p Xj < X < x2.
1 x> x2
特别地，如果再=0和々=1，即X的概率分布可表示为P[X=O} = p
P{X =1} = 1-p0x<0
那么称随机变量X服从参数为〃的0-1分布。其分布函数为b(x)= p 0<x<l.
1 x>l
第一章中我们介绍了贝努利试验，假设记试验成功为1、失败为0那么一次贝努利试验所对 应的随机变量即为0-1分布。。
3 .〃个点上的均匀分布
第一章中我们还介绍了古典概型，其样本点有限且等概率。表示成随机变量即可得到:
定义2-7如果随机变量X的概率分布为:P{X=x,} = ',，= 1,2,...力，那么称该随机 n变量服从〃个点/，，% 〃上的均匀分布。
之所以称其为〃个点上的均匀分布，是因为随后在连续型随机变量中我们会遇到均匀分 布。那时候我们会发现〃个点上的均匀分布实际上是对连续均匀分布的离散化。
4 .二项分布
在〃重贝努利试验中考虑事件A发生的次数X,那么X的所有可能取值为0, 1,……, 由第一章定理1・3,试验恰好成功攵次的概率为P)"/.
定义2-8如果随机变量X的概率分布为：
P{ X =眉=C： pF 一 p)7 ,左=0,1,…,小
那么称该随机变量服从参数为及，P的二项分布，记为x〜35,〃)，并将第攵项概率分布值记为p x =眉=c>\i-Py-k =/匕小p) .其分布列为
X
0
1
• • •
k
• • •
n
P
(1- P)"
利Q- p)n~l
• • •
C)kQ 一 p)「k
• • •
pn

由二项定理不难验证，定义226给出的概率分布满足性质221,请读者自己验证。
例277试判定以下哪些是一项分布，并确定参数。
(1)(2)
X
1
2
• • •
n
p
叩(1- p尸
"l - p 广2
• • •
pn
X
0
1
2
• • •
n
P
或(l-p)°p”
n(l-p)pn-1
G(i-p)2p7
• • •
(1-p)"
(3)
X
0
1
2
• ♦ •
n
p
C；(l-4
c『p(i-p严
c：；-2p2(i-p)n-2
• • •
c；p"

解 （1）不是，取值不是从0开始。
（2）是，根据定义服从3（凡1 —〃）.
（3）是，因为故服从3（〃,p）,
由上面例子可以看出，参数〃和1-〃在二项分布中地位是对等的，且组合系数C\ = C，,于是我们有如下定理：
定理2T 假设X〜B(n, p),记丫 = 〃 —X,那么丫〜以XI —〃).
定理的意义如下表示。证明较简单，留给读者自己练习。
Y = n-X
n
n-1
• • •
n-k
• • •
0
X
0
1
• • •
k
• • •
n
P
(1- pY
np(l- p 严
• • •
C”(l-p 严
• • •
pn

例278对某种药物的疗效进行研究，假设这种药物对某种疾病的治愈率〃 = 0.8,现 对10名患者进行试验，求患者同时服药后至少有6人治愈的概率。
解 设10名患者中治愈的人数为随机变量X,那么X〜3（10,0.8）,于是有10
P{X>6} = 2LC^O.8aO.210^
k=6
由于参数p = 0.8较大，故可以考虑利用定理转化为y = 〃 -X处理。
4
Y 〜/7（10,0.2）, P[X>6} = P{Y< 4} = £30灸0.8g 工 0.97 .
k=0
例2-19某大学的校网球队与该校某系网球队举行对抗赛。一般地，校队实力略高于系队，每个校队队员获胜概率为〃 = 0.55,现双方商讨对抗赛的比赛方式，提出以下三种备 选方案：(1)双方各出3人；(2)双方各出5人；(1)双方各出7人。胜出人数多的一方获 最终胜利。问系队如何选择较为有利？
解 设系队获胜队员人数X为，系队队员获胜概率为〃 = 0.45, 一般可认为队员间的 比赛相互独立，那么X服从二项分布。分别计算三种方案的获胜概率：
3
(1) P{ X 2 2} = Z 0・45七・553一% X 0.425 ；k=2
5(1) P{X23} = ZC；0・45Ao.555必 e 0.406； k=3
7
(1)> 4} = ^C^0.45a0.557^ 0.391 ；k=4
由此可知，第一种方案对系队最为有利。这也比拟容易理解，因为参赛的队员人数越少, 偶然性越大，系队侥幸获胜的概率也就越大。显然双方假设都只出一人比赛那么系队获胜概率达 到最大为p = 0.45.
5.几何分布
在贝努利试验序列中，考虑事件A第一次发生时的试验次数X,那么X的可能取值为1, 2,…，〃，…，取值为攵的概率为P[X = k} = P(AA...A A) = P(A)P(A)...P(A)P(A) = (1 -p)k-xp ,
Sv'\7/k-]k-\
我们称这样的离散型随机变量服从儿何分布。
定义2-9设随机变量X的概率分布为：P{X=Z} = (1 —攵= 1,2,…〃…， 那么称该随机变量服从参数为p的几何分布。记为X〜G(p).
CO00co1
由于 ZP{X=Z} = 2(1 一 P)I P =(1 一 P)I = P T~7]——7 =1 ,k=lk=lk=ll —-
且(1 - p)k-[ p > 0 ,故几何分布概率分布满足离散型随机变量概率分布的两条性质。
例2-20血库急需RH阴性血液，需从献血者中获得，依据经验，RH阴性血液出现概率 为0.003,今对献血者进行化验，用X表示在第一次找到合格的RH阴性血液时，献血者已 经化验的人数。求化验了 5人尚未出现RH阴性血液的概率，以及化验了 10人后再化验 5人仍未出现RH阴性血液的概率。
(1-0.003)5
1-(1-0.003)
= 0.9975 ~0.985,
解 依题意有随机变量X〜G(0.003),故所求概率分别为:
00尸{X>5} = ZP{X=Z} = O・°O3・
k=6P{X〉10 + 51 X〉10} = P{X〉15,X>10} = P{X>15} 0 985
P{X>10}P{X>10}
我们称上面的性质为几何分布的无记忆性。它说明几何分布在之前进行的试验次数对随 后再进行试验的次数是没有影响的。即：
性质 假设随机变量X〜G(p),那么P[X > m + n\ X >n}- P{X > m]， \fn.m。
证明

P[X > m + n\X > n}=

P[X > m + n\X > n}=
P[X > m + n,X > n]
P[X>n}

= (1 —
P[X>m + n} _ (I-p),n+nP[X>n} = (1-pf
故 P{X〉m +川 X〉川= P{X〉m}.
6 .超几何分布
某学校有1000名学生，其中900男生、100女生，现学校随机选取10名同学参加一项公益活动，其中男生的人数恰好为8名的概率应如何计算？
上例中我们需要对一类总体进行不放回的抽样。一般地假设有N = N}+N2个个体构成的 总体，M个具有性质A , 乂个不具有性质A,不放回抽取〃个，其中具有性质A的个体k — 0,1,2, 〃 9

k — 0,1,2, 〃 9
数目就构成了一个随机变量，这样的随机变量分布称为服从超几何分布。
定义如果随机变量X的概率分布为：P{X = k} =其中N = N、+Nz，那么称该随机变量X服从参数为* N\,生的超几何分布，记为
X 〜H(h,N1,N2).
由组合数的非负性显然P[X = k} =
>0,
利用组合性质之仁品：
k=0
rk rn-k i nrn 「
可得：zp{x=z}=Z
k=0
mm =——52cte;一"=」^=」= i,因此超几何分布 k=o%满足离散型随机变量概率分布的两条性质。
7 .泊松分布(X-P(2))4k
定义270如果随机变量X的概率分布为：P{X =k} = —e'\左= 0,1,2,…,〃，…, k\2>0,那么称该随机变量服从参数为4的泊松分布，记为：X〜P(2).
8 KCO A
由指数函数的基级数展开式靖二£L有，当取x = 2时/故k=0 K *k=0 汽•
008 1A8 1 ZZp{x=%}=zg/=/w%=”/=i
k=()k=0 K ,k=0 K •
2k且由于2〉0,所以夕{*=灯=-^一“20,故泊松分布满足离散型随机变量概率分布的 !
两个性质。
泊松分布在排队问题中有着重要应用。但凡涉及到一段时间内的计数问题，最终都近似 服从泊松分布，如单位时间内的 呼叫数等。
由泊松分布的概率分布计算有关事件的概率是比拟困难的。经过人们长期努力，通过其 他手段得到了泊松分布在不同参数和取值下的分布函数值，并编成了表格形式，称为泊松分 布表。随后对服从泊松分布的随机变量概率的计算，我们只需要查表取值就可以了。
例2-21某商店根据过去的销售记录知道某种商品每月的销售量可以用参数为2 = 10 的泊松分布来描述。为了以95%以上的概率保证不脱销，问商店在月底应存多少件该商品？ (只在月底进一次货)
解 设X为该商店每月的销售量，那么X〜0(10),依题意要求，攵满足P{X《A}2 0.95,查参数为10的泊松分布表有
14 If)7P{ X < 14} = Z二 0.9166 < 0.95 ,
f=o i!
P{X<16} =
16
z
z=0
io\,lo
z!
= 0.9513 >0.95
因此商店在月底应存15件该商品才能保证以95%以上的概率保证不脱销。
8 .超几何分布、二项分布、泊松分布的关系
在超几何分布中当N非常大而抽样个数相对较少时，可以近似地将不放回抽样看作有 放回抽样，从而超几何分布近似于二项分布。类似地，当〃重贝努利试验次数较大而事件发 生概率较小时，那么我们可以将其看成近似计数问题而符合泊松分布。由此我们得到以下定理:
N
定理2-2 n)假设Xn〜Hn(〃,N1,NQ,假设lim」〃时，那么n->8 n
(2)假设匕-3(〃,p〃)，假设〃 f+oo,％ 时，那么(证明略。)定理222说明，一列服从超儿何分布的随机变量，在一定条件下其极限分
布为二项分布；而一列服从二项分布的随机变量，在一定条件下其极限分布为泊松分布。这 意味着当N充分大而〃相对较小时，我们可以将超几何分布近似看作二项分布处理；而当〃 充分大，p相对较小时，我们可以将二项分布近似看作泊松分布处理。即:
H(〃, N, MB5, p)看》P(㈤
不fpC/V2 Nig

C/V2 Nig

例2-22纺织厂女工照顾800个纺锭，每个纺锭在某一段时间内发生断头的概率为0.005(设短时间内只发生一次断头)。求在这段时间内总共发生的断头次数不超过2的概率。
解 设X为800个纺锭在该时段内发生的断头次数，那么X〜3(800,0.005),显然〃充分大，而p相对较小，因此可以认为近似服从泊松分布X〜P(4),依题意要求:
P[Q<X
2
<2}/
k=0
k\
« 0.2381,
即这段时间内总共发生的断头次数不超过2的概率为0.2381.
例2-23 一大袋种子，发芽率为Q9,从中任取出10粒，问播种后恰好有8粒发芽的概 率为多少？
解 设X为发芽种子数，一袋种子总数为N,那么X服从超几何分布P{X=8} =

P{X=8} =
602
0.9 Wo. IN
由于N充分大，而10相对来说较小，因此X可以近似看成服从二项分布3(10,0.9) .即：
P{ X = 8}=。。吟川。Ci^0.980.12，
Cn
由定理转化为随机变量y=io-x的取值概率得：
P{ X = 8} = P{y = 2} = C^0.120.98 x o. l 839.
这里我们同时得到了在开始介绍超几何分布时提出的问题的答案，恰好为8名男同学的 概率与此题一样也为0.1839.
§2.3连续型随机变量
本节主要讨论非离散型随机变量中的一种可以利用积分处理的随机变量,称为连续型随 机变量。它是非离散型随机变量中实际应用最广泛的一类。
一、连续型随机变量的概率密度函数
定义2-11假设随机变量X的取值不可数，但任意事件{a<X<b}的概率可以通过一个 非负函数在区间［名勿的积分P{a<X<h} = J：/(x)ch来计算，那么称该随机变量为连 续型随机变量。我们称/(%)为该随机变量的概率密度函数，记为：X〜/(%).
该定义说明事件{a<X<h}发生的概率等于密度函数在区间也句上形成曲边 梯形的面积。
图2-3密度函数的几何意义

C）构成连续随机变量X的密度函数的条件,它与分布函数/。）之间的关系;
d）连续型随机变量的分布函数/。）关于%处处连续，且P（X=%） = 0,其中％为任意实数，同时说明了尸（A）= °不能推导4 =①。
e）注意正态分布的标准化以及计算查表问题；五.思考题和习题

思考题：1.函数 〔1一“是否是某个随机变量的分布函数？
2 .分布函数尸（%）有两种定义一一P{X<© or P{X<%},主要的 区别是什么？
3 .均匀分布与几何概率有何联系？
4 .讨论指数分布与泊松分布之间的关系。
5 .列举正态分布的应用。
6 2.1随机变量与分布函数
一、随机变量的概念
一般来说一个随机试验的结果可以分为两种类型。
例2-1 一次晚会组织抽奖，奖励以奖金形式发放。一等奖有一个名额，奖金额度 500元；二等奖有三个名额，奖金额度100元；三等奖有5个名额，奖金额度50元；纪念 奖10个名额，奖金额度10元。那么此时抽奖活动可以看做是一个随机试验，作为获奖金额的 样本点是以具体数值形式出现的。
例2-2学校体育课有篮球、网球、羽毛球、排球和瑜伽五个工程供同学选择。选择方 法是首选自主，假设该工程名额已满那么系统随机将未入选学生安排至另外报名未满的工程。某 学生首选羽毛球，结果学员已满。此时第二次选择可以看做一次随机试验，所有可能的结果 为篮球班、网球班、排球班和瑜伽班，此时样本点不再是以具体数值出现。
例2・1中的样本点本身是以具体数量的形式出现的，称为数量型。我们很方便的可以将样本点对应到其具体的数值上，从而得到一个由样本空间到实数的函数X（0）,其
类似于离散型随机变量的概率分布，连续型随机变量的密度函数也具有以下两条性质: 性质密度函数/(X)具有以下性质：
(1) f+X/(x)dx = l, 00f(x) > 0, -oo<x<-Kx).
连续型随机变量密度函数一定满足前面两个性质，反之满足这两个性质的函数f(x)同 样可以看做是某个连续型随机变量的密度函数。
离散型随机变量的概率分布取值只能是0W P, 41 ,而由上面的性质我们立即可以发现连续型随机变量的密度函数是可以大于1的。这是因为概率分布取值表示离散型随机 变量取某一值的概率，而密度函数那么表示连续型随机变量在各点取值的“密集”程度，假设 /(见)较大，那么说明X在邻域b)中取值的概率较大。
当积分上下限相等时积分值为零，因此我们有以下结论：
P{X=4} =1/(x)dx = 0
这说明连续型随机变量在单点上取值的概率恒为0 !我们介绍过几何概型，其每一个样本点 发生的概率均为0,但并不是说样本点不会出现。这说明概率为0的随机事件也是有可能发 生的，只不过发生的几率非常的小而已。相对的，不可能事件是一定不会发生，因此其发生 概率为零。读者应注意零概率事件和不可能事件的区别。另外，连续型随机变量落在某个区 间的概率可以不为0,由样本点和事件之间的关系我们可以发现，无穷个概率为0的样本点 构成的随机事件其概率会不等于0,这是个有趣的现象。
由于单点概率为0,因此一个事件是否包含其区间端点并不影响其概率的大小，即以下 事件的概率相等：
沙P[a<X <b} = P{a<X <b} = P[a<X <b} = P{a<X <b} = j f(x)dx
利用密度函数很容易计算连续型随机变量落在任意区间的概率，其概率值就是密度函数 在该区间上的积分，并且这一区间可以是有限区间，也可以是无穷区间。
例2-24设随机变量X的密度函数为/(x)=
ax + b
0
0<x<2
其他

且尸{l《XW3} = 0.25,求〃和b,并求P{L5vX}.
解由密度函数性质立，有0+8.2
j /(x)ck = J。(ax + b)dx = 1 ,故+bx) 2 = 2a +2b = 1 ,又 P{1 < X < 3} =/(x)dx =J(2(ax + Z?)(ix = 0.25
(-1 x2 + bx)
2 4i
= ±L + b = 025,联立求解得：a = ——, b = l.
122f-Ko「2 I
P[1.5<X}=\ f(x)dx = J (——x + l)dx = 0.0625 .
例2-25确定常数A,使/(x)成为某个连续型随机变量的密度函数Ax2 1 < x < 2
/(x) = < Ax 2<x<3.
0 其他
解 要使得了(%)成为密度函数，那么必须有/(x)N0, yovxv+x),因此，A>0,P+8f2
又 Lo 〃、)□=I

P+8f2
又 Lo 〃、)□=I
故—」A + ?A —2A = 1,即 A = @
33229
二、连续型随机变量的分布函数
随机变量X的分布函数表示X的取值不超过x的概率，因此F(x) = P[X <x}=fA , J-OD
由变上限积分求导结论可知在/(x)的所有连续点上，有/(X)= (「/⑺3)’ =F\x).
J-co
这说明连续型随机变量的密度函数和分布函数之间是可以相互表示的，和离散型随机变量类 似，连续型随机变量使用密度函数描述其概率分布情况更为方便。
I -j= 0 < x < 1
例2-26设/(x) = G为某随机变量X的密度函数，求常数A和X的分0其他
布函数。
解由密度函数性质，有
J /(x)dx = £ -j= dx-2A\/x 当xKO时,F(x) = P[X<x}=(x /(r)dr = O；J—<»
当0<xWl时，F(x) = P{X<x}=[X f(t)dt = J-co当%>1 时,F(x) = P[X<x}=r f(t)dt = l；故分布函数为：
J-00‘0x<0
F(X)= < y[x 0 < X < 1.
1X>\I
例2-27设砥x) = [l —(1 + ©' ' "2°为连续型随机变量x的分布函数，求X的 [0x<0密度函数，并求概率P{X<1}.
解当XV0时，/(x) = F(x)=0；当 ％20时,/(%) = Ff(x)= (1 -(1 + x)e~x7=xe~x ；
综上有：/(x)= <
xe~x
0
x>Q
x<0
而 P{X<1} =/⑴=1 —21.
性质 X为连续型随机变量，那么X的分布函数/(X)是(-8,+O。)上的连续函数。
(证明略。)这也是连续型随机变量名称的由来。
三、常用连续型随机变量的分布
下面介绍几个常用的连续型随机变量及其分布。读者同样需要注意它们所对应的实际背 景和概率模型。
1 .均匀分布第一章我们曾经介绍过几何概型，其特点是样本点个数不可数但发生可能性相等。当样 本空间中的样本点可以对应到实数轴的某个区间时，所得到的随机变量称为服从均匀分布。
1
定义2T2假设随机变量X的密度函数为：f (x) = J ~b^a0
n < x < h
,那么称X服从区
其他
间［a,句上的均匀分布,记为X〜u(a,».
0通过积分可得此时随机变量x的分布函数为：/(%)二| 二m
b-a
1x<a
a< x<b .均匀分布密
x>b

x<a
a< x<b .均匀分布密
x>b
度函数和分布函数图像如下:

图2-4均匀分布密度函数

例2-28 设X〜。(0,2),试计算尸{因<1}, P{X<1}, P{0.75<X<1.25).
-[-0<x<2 z
解 f(x) = <2，故0 其他
,f0.5r0.5 1|P{|x| < 0.5} = P{-Q.5 <X< 0.5} = J sf(x)<k = ] -ch = -, 0.50 2r
P{X>1.5} = ^1.5 2r
fl.25 11P{0.75<X<1.25}= [ -dx = —.
J 0.75 24
由此例题可以看出，服从均匀分布的随机变量落入[6句内长度相同的子区间的概率相 等。事实上，假设X〜U (a,b),那么对于X/c,d £ ［a,>］,c <d 9有P{c<X <d} = F(d)-F(c) = d~a~C+a =^-
b-a b-a
上述概率只于区间［a,b］的长度有关而与区间位置无关。
31
例2-29在［0J内任取一点记为X,求P{X2—4乂+§2。}.
3iii解 显然X〜。(0,1),而X?— — X+ —= (X——)(X——),故 4824
P{X2_[x+9 0} = P{(X2；)U(X<；)} = RX2；} + P{XW；}=Ji dx +
2

=Ji dx +
2
」3
4口 二—
。4
2.指数分布

2.指数分布
定义2-13假设随机变量X的密度函数为/(%) =
X>0o C、1小诬
，其中/l〉0为常数。
0x<0
那么称X服从参数为2的指数分布，记为X〜E(团.
显然/(x)2 0, -oo<x<-Kx),而 J f (x)ck = £ 2e-Zvdr = -e~Ax = 1-0 = 1 ,故
指数分布密度函数满足一般密度函数的两条性质。

指数分布密度函数满足一般密度函数的两条性质。
通过积分可得其分布函数为:
产(%) =
0
l-e-Zx
x< 0
x>0

指数分布密度函数和分布函数图像如下:

指数分布又称为寿命分布，一般涉及到时间长度问题多服从指数分布。特别是各类电子 元器件使用寿命、服务系统两次服务间隔时间、复杂系统中两次故障出现时间等。
例2-30某元件寿命服从参数为丸二—L的指数分布，(1)求这样的元件使用10001000
小时的概率；(2)元件使用500小时未损坏，问还可以继续使用1000小时的概率。
解 依题意有记该原件寿命为X那么X〜石(一^),那么1000
1 xx -|_QQP{X>1000}= f+/——/而dr = —e-丽=/,
J1OOO10O01000
也可代入分布函数直接得到：
P{X>1000} = 1-F(1000) = 1 — (1 — /) = / .
(1) P{X >1500|X >500}_ P{X21500,X〉500}
P{X>500}-1

-1
=]_.(500)二 彳
由上例可以看出，服从指数分布的随机变量(表示某产品寿命)，工作了 x小时的 条件下还能继续工作％0小时的概率，与无条件工作％0小时的概率相等。似乎是服从指数分 布的随机变量对之前发生过的内容“失去了记忆”，因此称此性质为“无记忆性二
性质设X〜E(2)，那么对于任意给定的x0>0和任意x>0,均有下面结论成立:
P[X > xQ+x\ X > x} = P{X > x0}.
证明 设厂(x)为指数分布的分布函数，对于x>0,有P{X>x} = l-P{X<x} = l- F(x) = e-Ax,
所以，P{X>x0+x\X>x} =
P({X>x.+x}^{X>x})
P{X>x}
3.正态分布

3.正态分布
P[X>x()+x}_e'^
P{X>x} " 一
= P{X〉x。}.

定义2-14
假设随机变量X的密度函数为…看e
2ct2
-oo<x<-K)o, 其中
O , 〃为常数，。〉0,那么称X服从参数为〃，〃的正态分布，记为X〜N(4°2).其 1(”.)2
分布函数为：/(x)=r——「J寸山.
<2 兀
正态分布又称为高斯分布。一般来说一个随机模型如果包含大量小因素共同影响，这些 小因素地位相近，其中不存在主导因素时，这一随机模型就可以看做是服从正态分布了。比 如测量误差、随机身高、农作物收获等等。
以下图表示参数为〃，b?的正态分布的密度函数和分布函数：

正态分布的密度函数具有以下特点：
（1）密度函数/（X）呈钟形，且对称轴为x = 〃；
（2）当x = 〃时.，密度函数到达最大值/小（© = /（〃）=不二；
（3）正态分布密度函数在入 = 4±。产生拐点；
（4）正态分布密度函数恒有/（x）＞0且以x轴为渐近线；
（5）参数的意义：一般我们将正态分布密度函数中参数4称为位置参数，因为〃确定 了密度函数图像的中心位置；当从大于。时图像对称轴在y轴右侧，当〃小于。时图像对 称轴在y轴左侧；随着"的增大函数沿着x轴向右平移。参数。称为形状参数。。越大函 数图像越平坦、越矮，。越小函数图像越陡峭、越高；
（6） 3。原那么：以x = 〃为中心，X的取值落入邻域5（",中的概率为0.6828,落入邻域3（4,2b）中的概率为0.9546；落入邻域3（",3。）中的概率为0.9974,即
P{|X-jLi\<a} = 0.6826； P{|X-“K2cr} = 0.9546； P{|X-43b} = 0.9974,以上结论称为正态分布的3。原那么，它说明服从正态分布的随机变量取值在3o■邻域内已经非常 接近1 了。

图2-11正态分布参数变化对图像的影响

图2-12正态分布的3o■原那么
当〃 =0、。= 1时，称之为标准正态分布，即X〜N（0,l） .一般我们用9（、）来表示标 准正态分布的密度函数:
用中（幻表示标准正态分布的分布函数即:

图2-13标准正态分布密度函数

图2-14标准正态分布分布函数
容易看出标准正态分布的密度函数关于y轴对称，其最大值为-7L,分布函数图像与y轴交于点(0,0.5),这说明当尤=0时，其分布函数值为0.5即P{X<0} = 0.5.
2
对于正态分布，无法通过直接积分计算分布函数，因为y =/5的原函数很难用初等函 数表示。一般对于标准正态分布，假设X20,那么可以通过查本书附录的标准正态分布表得到 ①(幻。假设x<。，那么可以利用以下性质转化为取值x2 0的①(x)来处理。
性质 ①(一x) = 1 -①(%).
证明由密度函数的对称性立即有: 中的X(⑼即样本点切的取值。例2・2中的样本点并不是以数量形式出现，我们称为非数量 型。类似数量型当我们将篮球班、网球班、排球班和瑜伽班四个班分别以数字"2,3,4}表 示时，我们也得到了由样本空间到实数的一个函数.此时样本空间中的每一个样本点作为函 数的自变量，对应到的具体数值即为函数的取值。由样本点的随机性这样的函数X取值变 化也具有随机性，是一个随机变化的变量，我们称之为随机变量。
定义27设。为随机试验£的样本空间，假设对。中的每个样本点口£。，都有唯一的 实数X(0)与之对应，那么称函数：
X :。一R , X I CD —> X(69)
为定义在样本空间。上的一个随机变量。一般用大写字母x, y, z；或者希腊字母”,G表示。X的函数值称为随机变量的取值，记为X, y, z等。
例2-3小明去布吉岛探险，不幸落入食人族手中。食人族族长与小明约定由小明掷骰 子决定他的生死。假设点数为1、2 (小)，那么小明成为食人族部落当晚的夜宵；假设点数为5、 6 (大)，那么可以给小明自由；假设点数为3、4 (中)，那么将小明关押起来等第二天再投骰子 决定。此时随机试验为小明掷骰子观测结果，样本空间为。={1,2,3,4,5,6}.假设记1为生，-1 为死，0为生死未卜。那么可得一随机变量X:Q -R , X:g - X3),其中 X⑴= X(2) = —1, X⑶= X(4) = 0, X⑸= X(6) = 1 .随机变量的取值为玉二—1 ,
= 0 , X3 = ] .
这里我们看到样本点和随机变量X的取值虽然都是数字，但它们并不相等。
例2-4 一根树枝长度为两米，某人用一把刀随机地将树枝砍成两段。现在考虑较短的 一段长度，那么其样本空间为。=[0,1].这是一个数量型样本空间，我们将样本空间中每个样 本点对应到它的数量就得到了一个随机变量X:。H, X fX(⑼，其中X(M =。 这里的样本点个数有不可列个，同样随机变量的取值也有不可列个。在第三节我们会详细讨 论这样的随机变量。
例2-5为调查某产品的市场推广情况，调查小组随机地在消费者中选取了 1000名志愿 者进行问卷调查。调查内容分为有关志愿者的个人情况如年龄、性别，是否使用过本产品， 以及满意度等等。此时随机试验的样本空间O为全部1000名志愿者。
O(-x) = P{X <-x} = P{X>x} = l-P{X<x} = 1—①(x)
命题得证。
同时我们发现表中X取值只有尢£[0,4.99],这是因为当X = 4.89时，①(x)已经非常接近1 了。也就是说随机变量X取值大于4.89的概率已经非常非常小，几乎可以忽略不计。
例2-31 X 〜N(O,1),⑴求 P{X<L96}, P{X<-1.96}, P{|X|<1.96}, P{-1<X<2}； (2) P{XWq} = 0.7019, P{|x| <Z?} = 0.9232 ,求〃，b.
解 (1)查表可得：P{X £1.96}=①(1.96) = 0.9750,P{X<-1.96} = 0(-1.96) = 1-0(1.96) = 1-0.9750 = 0.0250,
P{|X|< 1.96} = P{-1.96<X<1.96} = 0(1.96)- 0(-1.96)=①(1.96)-(1-0(1.96)) = 2 ①(1.96)-1 = 0.95,
P{-1<X<2} = 0(2) - 0(-1) = 0(2)-(1-0(1))=0(2) + 0(1)-1 = 0.9773 + 0.8413-1 = 0.8186,
(2)因为月逐<々}=中(口)= 0.7019,查表可得。= 0.53；因为尸{|X|<A} = 2①⑸—1 = 0.9232,查表可得①® = 0.9616即b = 1.77.
标准正态分布我们已经可以通过标准正态分布表来处理其概率的计算问题，那么对于