随机变量及其分布.ppt

2.1离散型随机变量的概率分布2.2随机变量的分布函数2.3连续型随机变量的分布密度2.4随机变量函数的分布,第二章随机变量及其分布,例1从一批种子中随机抽取20粒进行发芽试验，观察发芽粒数。显然Ω={0，1，…，20}，用变量X表示发芽种子粒数，则X的所有可能取值为0，1，…，20.,={ω}→X=X(ω),2.1离散型随机变量的概率分布,Ω={t|t≥0},例3测试灯泡的寿命：X=X（t）,例2掷一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。记ω1=“正面朝上”，ω2=“反面朝上”。,X也是定义在Ω={ω1，ω2}上的函数，是随机变量。,2.1离散型随机变量的概率分布,定义设随机试验E的样本空间为Ω，如果对于每一个ω∈Ω，都有唯一的一个实数X(ω)与之对应，则称X(ω)为随机变量，并简记为X。注意：1.X是定义在Ω上的实值、单值函数。2.因随机试验的每一个结果的出现都有一定的概率，所以随机变量X的取值也有一定的概率。3.随试验结果不同,X取不同的值，试验前可以知道它的所有取值范围，但不知确定取什么值。,一、随机变量的定义,2.1离散型随机变量的概率分布,例1(1)某厂50台车床在一天中需要维修的车床数，50次射击试验中命中的次数等都可以用一个随机变量X来表示，它可能取0，1，…，50中的任一非负整数；(2)一个传呼台单位时间内接到的传唤次数，城市某十字路口一分钟内通过的机动车数、单位时间内到达某公交车站等车的人数等都可以用随机变量X来表示，它所有可能的取值为一切非负整数；,(3)电视机的使用寿命X（单位：h）是一个可以在(0,+∞)上取值的随机变量，{X>10000}表示“电视机使用寿命超过10000h”这一事件．类似的，测量的误差X也是一个随机变量，它可能的取值为(﹣∞,﹢∞)上任意实数，{︱x︱0，满足泊松定理条件，可以用=1.3699的泊松分布来近似计算,,由泊松定理可知，当n较大时，n重贝努里试验中小概率事件出现的次数近似服从泊松分布.,例6为保证设备正常工作，需要配备一些维修工.若设备是否发生故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是0.01（每台设备发生故障可由1人排除）.试求：（1）若一名维修工负责维修20台设备，求设备发生故障而不能及时维修的概率；（2）若3人负责80台设备，求设备发生故障而不能及时维修的概率．,解（1）设表示20台设备中同时发生故障的台数，则X～B(20,0.01)，根据泊松定理，X又可近似地看作服从泊松分布，其中参数.,,,（2）80台设备中同时发生故障的台数X～B(80,0.01)类似的，可用=800.01=0.8的泊松分布来近似，于是所求概率为,,与第一种安排方式相比，3人维修80台设备，虽然比1人维修20台设备任务重，但工作效率却比第一种方式高，不能及时排除故障的概率仅为0.009。,4.几何分布,若X的概率分布为,则称X服从参数为p的几何分布，记作X～G(p),(k=1，2，…；q=1-p,0<p<1),若X表示一个无穷次贝努利试验序列中，事件A首次发生所需要的次数，则X服从参数为p的几何分布。,例7某射手射击命中率为p=0.8，现进行射击试验，直到命中为止，假设每次射击是相互独立的，求射击次数X的概率分布.,解X～G(0.8)，其概率分布为,P{X=k}=(0.2)k-10.8,k=1,2,…,如果前m次试验中A没有出现（没有成功），则从次起到首次出现事件A所进行的试验次数仍然服从参数为的几何分布，而与前面失败的次数m无关，这一特性称为几何分布的无记忆性。,5.超几何分布,若随机变量X的概率分布为,则称X服从参数为M,N,n的超几何分布，记作X～H(M,N,n),(k=0,1,…,min(n,M)).,设有N个产品，其中M个不合格品。若从中不放回地随机抽取n个，则其中含有的不合格品数是一个随机变量，由古典概率计算公式有X服从参数为M、N和n的超几何分布。,P{X≥2}=1—[P{X=0}+P{X=1}],（k=0，1，2，…，400）,解将每次射击看成是一次贝努里试验，X表示在400次射击中击的次数，则X~B(400,0.02)其分布律为,课堂练习3某人进行射击，其命中率为0.02，独立射击400次，试求击中的次数大于等于2的概率。,≈0.9972,小概率事件原理：某事件在一次试验中发生的可能性很小，但只要重复次数足够大，那么该事件的发生几乎是肯定的。,