离散型随机变量及其分布.pptx

1.1.离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律定义定义1.2.则称则称为随机变量为随机变量X的的概率分布律，简称分布律概率分布律，简称分布律.XX的分布律也可用如下的表格形式来表示：的分布律也可用如下的表格形式来表示：解解例例1X 所有可能取的值为所有可能取的值为0，1，2.于是分布律为于是分布律为以以A记事件第一次罚球时罚中记事件第一次罚球时罚中,以以B记事件第二记事件第二次罚球时罚中次罚球时罚中,则有则有或将分或将分布律写成布律写成 0.6 0.075 0.325 0 1 2 X 线条图线条图概率直方图概率直方图另外还可用图形来表示分布律：线条图、概率直方图另外还可用图形来表示分布律：线条图、概率直方图.0.20.40.60120.0750.3250.60.20.40.6012PXPX2.2.三种重要的离散型随机变量的概率分布三种重要的离散型随机变量的概率分布 (1)两点分布两点分布设随机变量设随机变量 X 只可能取只可能取a与与b两个值两个值,它的分它的分布律为布律为则称则称 X 服从服从 两点分布两点分布(其中其中 0p1)当当a=0，b=1时时两点分布称为两点分布称为 (0(01)1)分布分布即：即：设随机变量设随机变量 X 只可能取只可能取0与与1两个值两个值,它的它的分布律为分布律为则称则称 X 服从服从(01)分布分布或或伯努利分布伯努利分布.(其中其中 0p1)实例实例1 “抛硬币抛硬币”试验试验,观察正、反两面情观察正、反两面情况况.随机变量随机变量 X 服从服从(01)分布分布.其分布律为其分布律为实例实例2 200件产品中件产品中,有有190件合格品件合格品,10件不合格件不合格品品,现从中随机抽取一件现从中随机抽取一件,那末那末,若规定若规定取得不合格品取得不合格品,取得合格品取得合格品.则随机变量则随机变量 X 服从服从(0 1)分布分布.两点分布是最简单的一种分布两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有任何一个只有两种可能结果的随机现象两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点都属于两点分布分布.说明说明（2）二项分布二项分布1)重复独立试验重复独立试验将试验将试验 E 重复进行重复进行 n 次次,若各次试验的结果互若各次试验的结果互不影响不影响,即每次试验结果出现的概率都不依赖于其即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果它各次试验的结果,则称这则称这 n 次试验是次试验是相互独立相互独立的的,或称为或称为 n 次次重复独立重复独立试验试验.2)n 重重伯努利试验伯努利试验 伯努利资料伯努利资料实例实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面抛一枚硬币观察得到正面或反面.若将硬若将硬币抛币抛 n 次次,就是就是n重伯努利试验重伯努利试验.实例实例2 抛一颗骰子抛一颗骰子n次次,观察是否观察是否“出现出现 1 点点”,就就是是 n重伯努利试验重伯努利试验.3)二项概率公式二项概率公式且两两互不相容且两两互不相容.称这样的分布为称这样的分布为二项分布二项分布.记为记为二项分布二项分布两点分布两点分布注意注意:贝努里概型对试验结果没有等可能贝努里概型对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求：的要求，但有下述要求：（1）每次试验条件相同；）每次试验条件相同；二项分布描述的是二项分布描述的是n重贝努里试验中出现重贝努里试验中出现“成功成功”次数次数X的概率分布的概率分布.（2）每次试验只考虑两个互逆结果）每次试验只考虑两个互逆结果A或或 ，且且P(A)=p，；（3）各次试验相互独立）各次试验相互独立.例如例如 在相同条件下相互独立地进行在相同条件下相互独立地进行 5 次射击次射击,每每次射击时击中目标的概率为次射击时击中目标的概率为 0.6,则击中目标的次则击中目标的次数数 X 服从服从 B(5,0.6)的二项分布的二项分布.解解因此因此例例2分析分析 这是不放回抽样这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很但由于这批元件的总数很大大,且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.例例3解解图示概率分布图示概率分布例例4 4 经验表明人们患了某种疾病，有经验表明人们患了某种疾病，有30%30%的人的人不治自愈不治自愈.医药公司推出一种新药，随机选医药公司推出一种新药，随机选10 10 个个患此病的病人服用新药，已知其中患此病的病人服用新药，已知其中9 9人很快就痊人很快就痊愈了愈了.设各人自行痊愈与否相互独立设各人自行痊愈与否相互独立.试推断这些试推断这些病人是自愈的，还是新药起了作用病人是自愈的，还是新药起了作用.解解 假设新药毫无作用，则一个病人痊愈的概假设新药毫无作用，则一个病人痊愈的概率为率为p=0.3.以以X记记10个病人中自愈的病人数，则个病人中自愈的病人数，则XB(10,0.3)（3）泊松分布泊松分布 泊松资料泊松资料泊松分布的背景及应用泊松分布的背景及应用二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时粒子个数的情况时,他们做了他们做了2608次观察次观察(每次时间为每次时间为7.5秒秒)发现放发现放射性物质在规定的一段时间内射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数其放射的粒子数X服从泊松分布服从泊松分布.电话呼唤次数电话呼唤次数交通事故次数交通事故次数商场接待的顾客数商场接待的顾客数地震地震火山爆发火山爆发特大洪水特大洪水 在生物学在生物学、医学医学、工业统计、保险科学及工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等话呼唤次数等,都服从泊松分布都服从泊松分布.（4）泊松定理）泊松定理 设随机变量设随机变量X X服从二项分布，其分布服从二项分布，其分布律为律为 ，k=0,1,2,n.k=0,1,2,n.又设又设np=,(=,(是常数是常数)，则有，则有二项分布与泊松分布有以下的关系二项分布与泊松分布有以下的关系.该定理于该定理于1837年由法国数学家泊松引入！年由法国数学家泊松引入！单击图形播放单击图形播放/暂停暂停ESCESC键退出键退出二项分布二项分布 泊松分布泊松分布 可见，当可见，当n充分大充分大,p又很小时又很小时,可用泊松可用泊松分布来近似二项分布！分布来近似二项分布！由泊松定理，由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布出现的次数近似地服从泊松分布.我们把在每次试验中出现概率很小的事我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作件称作稀有事件稀有事件.如地震、火山爆发、特大如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等洪水、意外事故等等例例 某一地区，一个人患某种疾病的概率为某一地区，一个人患某种疾病的概率为0.010.01，设各人患病与否相互独立，设各人患病与否相互独立.现随机抽取现随机抽取200200人，求其中至少人，求其中至少4 4人患这种病的概率人患这种病的概率.解解以以X记记200人中患此病的人数，人中患此病的人数，所求概率为所求概率为查查泊松分布泊松分布表（附表）表（附表）则则XB(200，0.01).利用泊松定理，利用泊松定理，例例6 为了保证设备正常工作为了保证设备正常工作,需配备适量的维修需配备适量的维修工人工人(工人配备多了就浪费工人配备多了就浪费,配备少了又要影响生配备少了又要影响生产产),现有同类型设备现有同类型设备300台台,各台工作是相互独立的各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况我们也只考虑这种情况),问至少需配备多少工人问至少需配备多少工人,才能保证设备发生故障才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于但不能及时维修的概率小于0.01?解解所需解决的问题所需解决的问题使得使得合理配备维修工人问题合理配备维修工人问题由泊松定理得由泊松定理得故有故有个工人个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于概率小于0.01.故至少需配备故至少需配备8例例8（课堂讨论）（课堂讨论）设有设有80台同类型设备台同类型设备,各台工作各台工作是相互独立的发生故障的概率都是是相互独立的发生故障的概率都是 0.01,且一台设且一台设备的故障能由一个人处理备的故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人考虑两种配备维修工人的方法的方法,其一是由四人维护其一是由四人维护,每人负责每人负责20台台;其二其二是由是由3人共同维护台人共同维护台80.试比较这两种方法在设备试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小发生故障时不能及时维修的概率的大小.解解 按第一种方法按第一种方法发生故障时不能及时维修发生故障时不能及时维修”,而不能及时维修的概率为而不能及时维修的概率为则知则知80台中发生故障台中发生故障故有故有即有即有 按第二种方法按第二种方法故故 80 台中发生故障而不能及时维修的概率为台中发生故障而不能及时维修的概率为离离散散型型随随机机变变量量的的分分布布两点分布两点分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布两点分布两点分布小结 解：分析解：分析思思考考 一一报报童童卖卖报报，每每份份0.15元元，其其成成本本为为0.10元元.报报馆馆每每天天给给报报童童1000份份报报，并并规规定定他他不不得得把把卖卖不不出出的的报报纸纸退退回回.设设X为为报报童童每每天天卖卖出出的的报报纸纸份份数数，试试将将报报童童赔赔钱钱这这一一事事件件用用随机变量的表达式表示随机变量的表达式表示.当当 0.15 X1000 0.1时，报童赔钱时，报童赔钱 故故报童赔钱报童赔钱 X 666报童赔钱报童赔钱 卖出的报纸钱不够成本卖出的报纸钱不够成本解解例例13.例题讲解例题讲解Jacob BernoulliBorn:27 Dec 1654 in Basel,SwitzerlandDied:16 Aug 1705 in Basel,Switzerland伯努利资料泊松资料Born:21 June 1781 in Pithiviers,FranceDied:25 April 1840 in Sceaux(near Paris),FranceSimon Poisson