离散型随机变量及其概率分布.doc

2013—14高三数学（理系列1：学案 主备人：姜顺根 审核人：裴贤喜 2014年3月5 日 总第76份
第四节 离散型随机变量及其概率分布
一．考点梳理
1．离散型随机变量的概率分布
(1)如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
(2)离散型随机变量的概率分布
假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，…，xi，…，xn，且P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n，①则称①为随机变量X的 ，简称为X的分布列，X的概率分布用表格表示为：
X

P

(3)离散型随机变量分布列的性质
① ②p1＋p2＋…＋pn＝ ；
X
1
0
P
p
q
2．两点分布
如果随机变量X的概率分布为
其中0<p<1，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数为p的 分布.
3．超几何分布
在含有M件次品数的N件产品中，任取n件，其中含有X件次品数，则事件{X＝k}发生的概率为：P(X＝k)＝ (k＝0,1,2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n、M、N∈N*，则称分布列服从超几何分布．
X
0
1
…
m
P

…

4. 随机变量的分布列多结合排列组合、古典概型、互斥、独立事件来考查，复习时，要会把以实际问题为背景的题目转化为概率问题，这是解决问题的关键．
二．自我检测
1．设随机变量X的概率分布如下：则p＝________.
X
1
2
3
4
Pi

p
2．如果X是一个离散型随机变量，给出下列四个命题：
①X取每个可能值的概率是非负实数；②X取所有可能值的概率之和为1；③X取某两个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；④X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和．其中是假命题的序号是_______．
3．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝，k＝1,2，…，则P(2<X≤4)等___．
4．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为________．
5．抛掷2颗骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是_____(填序号)．
①2颗都是4点；②1颗是1点，另1颗是3点；
③2颗都是2点；④1颗是1点，另1颗是3点，或者2颗都是2点．
三．例题分析
考向一　离散型随机变量的性质
【例1】 设离散型随机变量X的概率分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
求：(1)2X＋1的概率分布列；
(2)|X－1|的概率分布列．

【训练1】 设随机变量X的分布列P＝ak(k＝1,2,3,4,5)．
(1)求常数a的值；(2)求P；(3)求P.

考向二　离散型随机变量的概率分布
【例2】 随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润(单位：万元)为ξ.
(1)求ξ的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即ξ的均值)；
(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？

【训练2】在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y，记ξ＝|x－2|＋|y－x|.
(1)求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；
(2)求随机变量ξ的分布列．

考向三　超几何分布问题
【例3】 一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.
(1)求白球的个数；
(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的概率分布表．

【训练3】 在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：
(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X元的概率分布表．

四．练习反馈
1．若随机变量X的概率分布列为且p1＝p2，则p1等于________．
X
x1
x2
P
p1
p2
2．设随机变量X的概率分布P(X＝k)＝，k＝0、1、2、3，则c＝________.
3．已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，则P(X＝2)等于______．
4．设某项试验的成功率为失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)的值为________．
5．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X＝12)等于________．
6．随机变量X的概率分布为P(X＝k)＝ak，k＝1,2，3，…，则a的值为________．
7．鲁川在鱼缸中养了3条白色、2条红色和n条黑色金鱼，现从中任取2条金鱼进行观察，每取得1条白色金鱼得1分，每取得1条红色金鱼得2分，每取得1条黑色金鱼得0分，用X表示所得的分数，已知得0分的概率为.
(1)求鱼缸中黑色金鱼的条数n；(2)求X的概率分布．

8．某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，它们获得冠军的概率分别为，，.
(1)求该高中获得冠军个数X的分布列；
(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分η的分布列．
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