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绝对值问题的解法
武功县5702中学 杨美枝
绝对值是初中代数中的重点内容，也是复习的难点，深刻的理解绝对值的概念，牢固地掌握绝对值的性质，是解决绝对值问题的关键，现将绝对值有关性质总结如下：
⑴若a＞0,则∣a∣=a; 若 a=0, 则∣a∣=a, 若 a＜0, 则∣a∣= - a。
⑵∣a∣≧0,即绝对值的非负性。
⑶∣a∣+∣b∣=0,则a=0,b=0。
⑷∣a∣=m,则a=m或a=-m。
下面举例说明绝对值问题的解法。
一、运用绝对值概念：
例1、若x＜-2,则y=∣1-∣x+1∣∣等于（ ）。
（A）2+x (B) -2-x (C) x (D) –x
解：∵x＜-2, ∴1+x＜0
∴∣1+x∣=(1+x)=-1-x
于是y=∣1-(-1-x)∣=∣2+x∣
又∵2+x＜0,∴y=-(2+x)=-2-x,故选（ B ）。
二、平方法：
例2、已知实数 a满足∣1-a∣=1+∣a∣,那么 = 。
解：原式两边平方得：
1-2a+ a 2 =1+2∣a∣+ a 2
∵∣a∣=-a,即a≤0
∴ =∣a-1∣=1-a
三、分类讨论法：
例3、若ab＞0,则∣a∣／a+ ∣b∣／b- ∣ab∣∕ab的值等于 。
解：∵ab＞0,∴a、b同号。
⑴若a、b同正，则∣a∣=a,∣b∣=b,∣ab∣=ab
∴ ∣a∣／a+ ∣b∣／ b-∣ab∣／ab=1+1-1=1。
⑵若a、b同负，则∣a∣=-a,∣b∣=-b,∣ab∣=ab,∴∣a∣／a+∣b∣／b-∣ab∣／ab=-1-1-1=-3。
综上所述，本题答案为1或-3。
四、 应用非负数性质：
例4、若∣x-y+2∣与∣x+y-1∣=0
∵ x+y-1=0
x-y+2=0
∴ x=-1／2
y=3／2
∴x／y=-3。
五、零点分界法：
例5、化简∣x-1∣+∣1-2x∣-∣x+2∣。
解：令∣x-1∣=0,∣1-2x∣=0,∣x+2∣=0,得x=1,x= 1／ 2 ,x=-2。
以-2,1／2,1为界，将数轴分为四段。
⑴当x≤-2时，原式=1-x+1-2x+x+2=4-2x,
⑵当-2＜x≤1／2时，原式=1-x+1-2x-(x+2)=-4x,
⑶当1／2＜x≤1时，原式=1-x+2x-1-(x+2)=-2,
⑷当x＞1时，原式=x-1+2x-1-(x+2)=2x-4。
六、整体运算法：
例6、解方程 -6x+3+∣x-3∣=0,
解：原方程变为 (X-3)2 +∣x-3∣-6=0
即 ∣x-3∣2 +∣x-3∣-6=0
分解因式得：（∣x-3∣+3）(∣x-3∣-2)=0
∵∣x-3∣+3﹥0,∴∣x-3∣-2=0
∴x=1或 x=5
练习题：
1. 已知∣a+1∣+a+1=0,∣b-1∣=b-1,求∣a-b∣-∣a-2∣-∣b+3∣的值。
2. 方程∣12x-1∣-1=2的解的个数是（ ）。
（A）1个； （B）2个；（C）3个（D）4个。
3.方程x-2+∣x-3∣=1的实数解个数为（ ）
（A）2个 （B）3个 (C)4个 (D)无数个
4.设a 、b、 c为非零有理数，则a／∣a∣+b／∣b∣+c／∣c∣+ab／∣ab∣+bc／∣bc∣+ac／∣ac∣+abc／∣abc∣的值等于（ ）。
以上内容只是我个人的一些拙见，不到之处还望各位同仁提出宝贵意见和建议，为我们的共同进步做好良好的铺垫。

2014、11、6、