连续型随机变量及其分布.pptx

2.3 连续型随机变量及其分布连续型随机变量及其分布定义定义设 X 是一随机变量，若存在一个非负可积函数 f(x),使得其中F(x)是它的分布函数，则称 X 是连续型随机变量，f(x)是它的概率密度函数(p.d.f.)，简称为密度函数或概率密度连续型随机变量的概念连续型随机变量的概念p.d.f.f(x)的性质的性质常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续型随机变量的密度函数，或求其中的未知参数在 f(x)的连续点处，f(x)描述了X 在 x 附近单位长度的区间内取值的概率q q q 分布函数分布函数F(x)与密度函数与密度函数 f(x)的几何意义的几何意义xf(x)xF(x)积分不是Cauchy积分，而是Lesbesgue意义下的积分，所得的变上限的函数是绝对连续的，因此几乎处处可导线段质量长度密度注意注意对于连续型随机变量X，P(X=a)=0这里a 可以是随机变量 X 的一个可能的取值命题命题连续型随机变量取任一常数的概率为零强调强调概率为1(零)的事件未必发生(不发生)事实上对于连续型随机变量Xbxf(x)axf(x)a例例1 1有一批晶体管，已知每只的使用寿命 X 为连续型随机变量，其概率密度函数为：(c为常数)(1)求常数c(2)已知一只收音机上装有3只这样的晶体管，每只晶体管能否正常工作相互独立，求在使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.其他解解(1)c=1000设事件 A 表示一只晶体管的寿命小于1500小时设在使用的最初1500小时三只晶体管中损坏的只数为 Y(2)已知一只收音机上装有3只这样的晶体管，每只晶体管能否正常工作相互独立，求在使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.(1)均匀分布均匀分布(a,b)上的均匀分布,记作常见的连续型随机变量的分布常见的连续型随机变量的分布若X 的密度函数为 ，则称X服从区间其中X的分布函数为其他xf(x)abxF(x)ba即X的取值在(a，b)内任何长为 d c的小区间的概率与小区间的位置无关,只与其长度成正比这正是几何概型的情形在进行大量数值计算时，如果在小数点后第 k位进行四舍五入，则产生的误差可以看作服从应用场合应用场合(2)指数分布指数分布若 X 的密度函数为则称 X 服从参数为的指数分布记作：X 的分布函数为：0 为常数，1xF(x)0 xf(x)0对于任意的 0 a b,应用场合应用场合用指数分布描述的实例有：随机服务系统中的服务时间；电话问题中的通话时间；无线电元件的寿命；动物的寿命指数分布常作为各种“寿命”分布的近似若 X()，则所以，又把指数分布称为“永远年轻”的分布指数分布的指数分布的“无记忆性无记忆性”事实上(3)正态分布正态分布若 X 的密度函数为则称 X 服从参数为，的正态分布记作 X N(，)为常数，N(-3,1.2)-6-5-4-3-2-10.050.10.150.20.250.3f(x)的性质的性质图形关于直线x=对称：f(+x)=f(-x)在 x=时,f(x)取得最大值在 x=时,曲线 y=f(x)在对应的点处有拐点曲线 y=f(x)以x轴为渐近线曲线 y=f(x)的图形呈单峰状q-6-5-4-3-2-10.050.10.150.20.250.3f(x)的两个参数：位置参数即固定 ,对于不同的 ,对应的 f(x)的形状不变化，只是位置不同 形状参数固定 ，对于不同的，f(x)的形状不同附近值的概率更大.x=1 所对应的拐点比x=2 所对应的拐点更靠近直线 x=若 1 2 则前者取 q 大小应用场合应用场合 若随机变量 X 受到众多相互独立的随机因素的影响，而每一个别因素的影响都是微小的，且这些影响可以叠加，则 X 服从正态分布.可用正态变量描述的实例非常之多：各种测量的误差；人的生理特征；工厂产品的尺寸；农作物的收获量；海洋波浪的高度；金属线的抗拉强度；热噪声电流强度；学生们的考试成绩；一种重要的正态分布一种重要的正态分布：N(0,1)标准正态分布(x)是偶函数，其图形关于纵轴对称它的分布函数记为(x)，其值有专门的表可查5.0)0(=F-3-2-11230.10.20.30.4-xx0.10.20.30.4对一般的正态分布：X N(,2)其分布函数作变量代换例例2 2设 X N(1，4)，求 P(0 X 1.6)解解P380 附表3例例3 3已知且 P(2 X 4)=0.3，求 P(X 0)解一解一解二解二 图解法由图0.2-22460.050.10.150.20.3例例4 43原理设 X N(,2)，求解解标准正态分布的上标准正态分布的上 分位数分位数z 设 X N(0，1)，0 1，称满足的点 z 为X的上 分位数 常用的几个数据z0.10.20.30.4作业 P 144 习题二8，16，18，22，25作业P144习题二9，10