随机变量及其分布-考点梳理.doc

随机变量及其分布

第1讲：离散型随机变量及其分布列

★ 知 识 梳理 ★
1．随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做________.常用希腊字母ξ、η等表示
答案: 随机变量
2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做_____.
答案:离散型随机变量
3.连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做_____.
答案:连续型随机变量
4.分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为
x1，x2，…，x3，…，
ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表
ξ
x1
x2
…
xi
…
P
P1
P2
…
Pi
…
为随机变量ξ的_____________，简称ξ的分布列
答案:概率分布
5. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：
⑴_____________.

⑵_____________.
答案：Pi≥0，i＝1，2，…； P1+P2+…=1．
特别提醒：对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 即

★ 重 难 点 突 破 ★
1.重点：了解随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量及离散型随机变量的分布列的意义，
2.难点：会求某些简单的离散型随机变量的分布列；掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性质及简单运用。
3.重难点：.
问题1: 离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:
点拨：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出
注意：
（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达如投掷一枚硬币，=0，表示正面向上，=1，表示反面向上
（2）若是随机变量，是常数，则也是随机变量
★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点一：离散型随机变量及其分布列的计算
题型1. 离散型随机变量的取值
[例1] 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果
(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；
(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η
[解题思路]： 注意事件与数字间的对应关系。
解析： (1) ξ可取3，4，5
ξ=3，表示取出的3个球的编号为1，2，3；
ξ=4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；
ξ=5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3或3，4，5
（2）η可取0，1，…,n，…
η=i，表示被呼叫i次，其中i=0,1,2,…
【名师指引】离散型随机变量的取值可以一一列举，当可取值较多时也可采用类似（2）的表示方法。
【新题导练】
1．抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ=4表示的随机试验结果是
A.一颗是3点，一颗是1点 B.两颗都是2点
C.两颗都是4点 D.一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点
2．.随机变量的所有等可能取值为，若，则（ ）
A．；　　B．；　　C．；　　D．不能确定
题型2。离散型随机变量分布列的计算
[例2]旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条.求选择甲线路旅游团数的分布列.
[解题思路]：求3个旅游团选择3条不同的线路的概率, 再按定义求红球的分布列.
解析： 设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3
P（ξ=0）=， P（ξ=1）=， P（ξ=2）= ， P（ξ=3）=
∴ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P

【新题导练】
1.某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作. 规定：至少正确完成其中2题的便可提高通过. 已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列；

2．一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：

现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望.
考点二: 离散型随机变量分布列的性质
题型1: 离散型随机变量分布列的性质的应用

0
1
2
3

0.1

0.1
[例3]某一随机变量的概率分布如下表，且，则的值为（　　　）
　　A.－0.2；　　　B.0.2；　　　　C.0.1；　　　D.－0.1
[解题思路]： 由离散型随机变量分布列的性质可得
解析：由，又，可得 答案：B
【新题导练】
1．设随机变量的分布列为，则a的值为( )
A .1； B.9/13； C.11/13； D.27/13 答案：D
2．设是一个离散型随机变量，其分布列如下表，求的值

－1
0
1
P

1－2

第2讲 二项分布与超几何分布
★ 知 识 梳理 ★
1．条件概率：称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
特别提醒：
①0P（B|A）1；
②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。
2. 相互独立事件：如果事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
特别提醒：
①如果事件A、B是相互独立事件，那么，A与、与B、与都是相互独立事件
②两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。我们把两个事件A、B同时发生记作A·B，则有P（A·B）= P（A）·P（B）
推广：如果事件A1，A2，…An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。即：P（A1·A2·…·An）= P（A1）·P（A2）·…·P(An)
3.独立重复试验: 在同样的条件下，重复地、各次之间____________的一种试验.在这种试验中，每一次试验只有____________结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.
答案: 相互独立地进行, 两种
4.如果在1次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率计算公式：________________________答案:Pn（k）=CPk（1－P）n－k,其中，k=0,1,2，…,n.
5.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是
，（k＝0,1,2,…，n，）．
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ
0
1
…
k
…
n
P

…

…

由于恰好是二项展开式

中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从____________，
记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记＝b(k；n，p)．
答案:二项分布
6. 两点分布：
X 0 1
P 1－p p

特别提醒： 若随机变量X的分布列为两点分布, 则称X服从两点分布,而称P(X=1)为成功率.

7. 超几何分布：
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则其中，。
称分布列

X 0 1 … m
P …
为超几何分布列， 称X服从____________ 答案: 超几何分布。

问题1: 甲投篮命中率为O．8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少?
问题2:袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率．
★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点一： 条件概率,相互独立事件和独立重复试验
题型1. 条件概率
[例1] 一张储蓄卡的密码共有6位数，每位数字都可从0～9中任选，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：
⑴按第一次不对的情况下，第二次按对的概率；
⑵任意按最后一位数字，按两次恰好按对的概率；
⑶若他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率
[解题思路]：
⑴这是一个一般概率还是条件概率？应选择哪个概率公式？
⑵“按两次恰好按对”指的是什么事件？为何要按两次？隐含什么含义？第一次按与第二次按有什么关系？应选择哪个概率公式？
⑶“最后一位是偶数”的情形有几种？“不超过2次就按对”包括哪些事件？这些事件相互之间是什么关系？应选择用哪个概率公式？
解析：设事件表示第次按对密码
⑴
⑵事件表示恰好按两次按对密码，则
⑶设事件表示最后一位按偶数，事件表示不超过2次按对密码，因为事件与事件为互斥事件，由概率的加法公式得：
【新题导练】
1. 设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1 件，求 (1) 取得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概率．
题型2。相互独立事件和独立重复试验
[例2]某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定．他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张．投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，他们的投票相互没有影响．规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目投资．
（Ⅰ）求此公司一致决定对该项目投资的概率；（Ⅱ）求此公司决定对该项目投资的概率；
【新题导练】
1.甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试
合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响.求：至少有1人面试合格的概率;
2．甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，
答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分.
（Ⅰ）求随机变量ε分布列；
(Ⅱ)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB).
考点二: 两点分布与超几何分布
题型1: 两点分布与超几何分布的应用
[例3] 高二（十）班共50名同学，其中35名男生，15名女生，随机从中取出5名同学参加学生代表大会，所取出的5名学生代表中，女生人数X的频率分布如何？
[解题思路]：5名学生代表中，女生人数有6种情况.
解析：从50名学生中随机取5人共有种方法，没有女生的取法是，恰有1名女生的取法是，恰有2名女生的取法是，恰有3名女生的取法是，恰有4名女生的取法是，恰有5名女生的取法是，
因此取出的5名学生代表中，女生人数X的频率分布为：
X
0
1
2
3
4
5
P

[例4] 若随机事件A在1次试验中发生的概率是，用随机变量表示A在1次实验中发生的次数。（1）求方差的最大值；（2）求的最大值。
【新题导练】
1．在一个口袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少？
2．假定一批产品共100件，其中有4件不合格品，随机取出的6件产品中，不合格品数X的概率分布如何？
考点三: 独立重复试验与二项分布
题型1: 独立重复试验与二项分布的应用
[例5] 一口袋内装有5个黄球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次时停止，停止时取球的次数是一个随机变量，则=______________。（填计算式）
[解题思路]：这是一个“12次独立重复试验恰有10次发生”的概率问题，同学们很容易由二项分布原理得到，这就忽视了隐含条件“第12次抽取的是红球”，此种解法的结果包含着第12次抽取到黄球。
解析：
[例6] 某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？
[解题思路]：“至多”，“至少”问题往往考虑逆向思维法
解析：解：设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击次
记事件＝“射击一次，击中目标”，则．
∵射击次相当于次独立重复试验，∴事件至少发生1次的概率为．
由题意，令，∴，∴，∴至少取5．
答：要使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击5次
【新题导练】
1. 某科研小组进行某项科学实验的成功率为。那么连续对该项实验进行4次试验恰有3次成功的概率是_______。答案:
2.某商场准备在国庆节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从2种服装商品,2种家电商品,3种日用商品中,选出3种商品进行促销活动.
(Ⅰ)试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率;
(Ⅱ)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高150元,同时,若顾客购买该商品,则允许有3次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为的奖金.假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是,请问:商场应将每次中奖奖金数额最高定为多少元,才能使促销方案对商场有利?

第3讲：离散型随机变量的期望和方差
★ 知 识 梳理 ★
1．数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
ξ
x1
x2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
则称 …… 为ξ的数学期望，简称_________ 答案:期望．
特别提醒：
1. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平
2. 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令…，则有…，…，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值
2.期望的一个性质: __________答案:
3.若ξB（n,p），则Eξ=__________________答案:np
4.方差: ______________答案:＝＋＋…＋＋…．
5.标准差: _____________________答案:的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．
6.方差的性质：
①_________________ ②_________________答案:； 若ξ～B(n，p)，则np(1-p)
特别提醒：
1. 随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
2. 随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
3. 标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛

★ 重 难 点 突 破 ★
1.重点：了解离散型随机变量的期望、方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望方差、或标准差．
2.难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题
3.重难点：.
(1) 期望的一个性质:
点拨：若(a、b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为
ξ
x1
x2
…
xn
…
η

…

…
P
p1
p2
…
pn
…
于是……
＝……)……)＝，
（2）若ξB（n,p），则Eξ=np
点拨：∵　，
∴　0×＋1×＋2×＋…＋k×＋…＋n×．
又∵ ，
∴ ＋＋…＋＋…＋
． 故若ξ～B(n，p)，则np．

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点一：离散型随机变量的期望
题型1. 离散型随机变量的期望的应用
[例1] 旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条.
（Ⅰ）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率；
（Ⅱ）求选择甲线路旅游团数的分布列和期望.
[解题思路]： 先求分布列, 再用公式求期望.
解析：（1）3个旅游团选择3条不同线路的概率为：P1=……4分
（2）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3………………5分
P（ξ=0）= P（ξ=1）=
P（ξ=2）= P（ξ=3）= ………………9分
∴ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P

………………10分

∴期望Eξ=0×+1×+2×+3×=………………12分
[例2] 一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分 学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望
[解题思路]：利用二项分布的随机变量的期望Eξ=np
解析：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是，
则~ B（20,0.9）,,
由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5 所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：

【新题导练】
1．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛。
（Ⅰ）所选3人中至少有1名女生的概率；
（Ⅱ）设随机变量表示所选3人中的女生人数。写出的分布列并求出的数学期望。

2．一次体能测试中，规定每名运动员一开始就要参加且最多参加四次测试.一旦测试通过,就不再参加余下的测试,否则一直参加完四次测试为止.已知运动员甲的每次通过率为(假定每次通过率相同)
(1) 求运动员甲参加测试的次数的分布列及数学期望;
(2) 求运动员甲最多参加两次测试的概率(精确到)
考点二: 离散型随机变量的方差
题型1: 离散型随机变量方差的应用
[例3] 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上号的有个（=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.表示所取球的标号.
（Ⅰ）求的分布列，期望和方差；（Ⅱ）若, ,,试求a,b的值.
[解题思路]：本小题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力.
解析： （Ⅰ）的分布列为：

0
1
2
3
4
P

∴

（Ⅱ）由，得a2×2.75＝11，即又所以
当a=2时，由1＝2×1.5+b,得b=-2; 当a=-2时，由1＝-2×1.5+b，得b=4.
∴或即为所求.

[例4] 为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设为成活沙柳的株数，数学期望，标准差为。 （Ⅰ）求n,p的值并写出的分布列；
（Ⅱ）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率
[解题思路]：若ξ～B(n，p)，则np(1-p)
解析： (1)由得,从而
的分布列为

0
1
2
3
4
5
6

(2)记”需要补种沙柳”为事件A, 则 得
或
【新题导练】
1．有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ
2．有A、B两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下：
ξA
110
120
125
130
135

ξB
100
115
125
130
145
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2

P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
其中ξA、ξB分别表示A、B两种钢筋的抗拉强度．在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A、B两种钢筋哪一种质量较好
第4讲：正态分布
★ 知 识 梳理 ★
1. 正态总体的概率密度函数：式中是参数，分别表示______与______；
当时得到标准正态分布密度函数：.
答案: 总体的平均数（期望值）; 标准差
2.正态曲线的性质：
① 曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
② 曲线是单峰的，关于直线x＝ 对称；
③ 曲线在x＝处达到峰值；
④ 曲线与x轴之间的面积为1；
3. 是参数是参数的意义:
① 当一定时，曲线随质的变化沿x轴平移；
② 当一定时，曲线形状由确定：越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越集中；
越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越分散。
特别提醒：
(1)P=0.6826；
(2)P=0.9544
(3)P=0.9974

4．对于，取值小于x的概率.

.

★ 重 难 点 突 破 ★

1.重点：利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
2.难点：利用正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义解决简单问题.
3.重难点：.
(1) 正态分布与正态曲线
问题1:若总体密度曲线就是或近似地是函数的图象，则其分布叫正态分布，常记作．的图象称为正态曲线．
点拨：画出三条正态曲线：即①；②；③，其图象如下图所示：

观察以上三条正态曲线，得以下性质：
①曲线在x轴的上方，与x轴不相交．
②曲线关于直线对称，且在时位于最高点．
③当时，曲线上升；当时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近．
④当一定时，曲线的形状由确定．越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．
注意: 当时，正态总体称为标准正态总体，相应的函数表示式是．相应的曲线称为标准正态曲线．

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点一： 正态分布的应用
题型1. 正态分布公式的应用
[例1] 给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ
（１）（２）
（３）
[解题思路]：考查正态总体的概率密度函数公式, 式中是参数，分别表示总体的平均数（期望值）与标准差
解析：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5

[例2] 某物体的温度()是一个随机变量，已知，又随机变量()
满足，求的概率密度。
[解题思路]：为华氏度，。C为摄氏度。为的线性函数，由要点4知也服从正态分布，再由要点1求出的概率密度。
解析:
所以随机变量的概率密度为

[例3] 灯泡厂生产的白炽灯寿命ξ（单位：ｈ），已知ξ～N（1000，302)，要使灯泡的平均寿命为1000ｈ的概率为99.7％，问灯泡的最低使用寿命应控制在多少小时以上？
[解题思路]：进行假设检验的方法与步骤：
（1）提出统计假设，具体问题里的统计假设服从正态分布N（μ，σ2）；
（2）确定一次试验值是否落入（μ－3σ，μ＋3σ）；
（3）作出判断：如果，就接受假设；如果，由于这是小概率事件，就拒绝假设，说明生产过程中出现了异常情况
解析：解：因为灯泡寿命ξ～N(1000，302)，故ξ在（1000－3×30，1000＋3×30）内取值的概率为99.7％，即在（910，1090）内取值的概率为99.7％，故灯泡的最低使用寿命应控制在910ｈ以上
【名师指引】正态总体在（μ－3σ，μ＋3σ）以外的概率只有千分之三，这是一个很小的概率 这样我们在研究问题时可以集中在（μ－3σ，μ＋3σ）中研究，而忽略其中很小的一部分，从而简化了正态正态中研究的问题
【新题导练】
1. 正态总体为概率密度函数是( )
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇百偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
2．如果随机变量，则等于（）
A. B. C. D.
- 14 -