随机变量及其分布列复习经典讲义.doc

随机变量及其分布列
一． 古典概型和几何概型
1、(1)古典概型的概率：P(A)＝＝.
(2)几何概型的概率：P(A)＝.
例1、盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是________(结果用最简分数表示)．
例2、如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为________
练习：1、在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为________
2、 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．
2． 互斥事件与对立事件的关系;对立是互斥，互斥未必对立；
例1、某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响．
(1) 求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率．
二、随机变量与分布列
1、条件概率：在A发生的条件下B发生的概率：P(B|A)＝.
2、相互独立事件同时发生的概率：P(AB)＝P(A)P(B)．
3、独立重复试验：如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
4、离散型随机变量的分布列
ξ
x1
x2
x3
…
xi
…
P
p1
p2
p3
…
pi
…
(1)设离散型随机变量ξ可能取的值为x1，x2，…，xi，…，ξ取每一个值xi的概率为P(ξ＝xi)＝pi，则称下表：
为离散型随机变量ξ的分布列．
ξ
0
1
P
1－p
p
(2)离散型随机变量ξ的分布列性质：①pi≥0，②p1＋p2＋…＋pi＋…＝1(i＝1,2,3，…)．
5、常见的离散型随机变量的分布
(1)两点分布：分布列为(其中0<p<1)
(2)二项分布：在n次独立重复试验中，事件A发生的次数ξ是一个随机变量，其所有可能取的值为0,1,2,3，…，n，并且P(ξ＝k)＝Cpkqn－k(其中k＝0,1,2，…，n，q＝1－p)．
显然P(ξ＝k)≥0(k＝0,1,2，…，n)，Cpkqn－k＝1.
称这样的随机变量ξ服从参数n和p的二项分布，记为ξ～B(n，p)．
6、离散型随机变量的期望与方差
若离散型随机变量ξ的分布列为
ξ
x1
x2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
则称E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…为ξ的数学期望，简称期望．
D(ξ)＝(x1－E(ξ))2·p1＋(x2－E(ξ))2·p2＋…＋(xn－E(ξ))2·pn＋…叫做随机变量ξ的方差．
7、离散型随机变量的均值或数学期望的性质：
（1）若服从两点分布，则p．（2）若ξ～B(n，p)，则np．
（3），c为常数（4）ξ～N(，),则（5）
三、典型例题
题型一、离散型随机变量的分布列
离散型随机变量的分布列在现实生活中的应用极为广泛，求分布列时要解决好以下两个问题
①求出随机变量X的所有可能取值
②求出随机变量X的每个取值的概率，这是最难的也是最关键的。（一般要用到排列、组合知识，等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率等知识进行解决）
例1、 一袋中装有6个同样大小的黑球，编号分别为1,2,3,4,5,6，现在从中随机地取出的3个球中，设X表示取出的球中的最大编号，球X的分布列.

例2、为了拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.
（1）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
（2）记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求的分布列及数学期望.

题型二、互斥事件与相互独立事件的概率
互斥事件与互相独立事件的概率是高考的热点，这两种概率一般综合在一起考查，解题时先要注意判断事件的类型，是互斥、互相独立，还是独立重复试验，然后选择相应的概率公式解题。
（1）、当事件A,B互斥时，则事件A+B（A,B中有一个发生）的概率等于事件A,B分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)
（2）当事件A,B互相独立时，则AB(A,B)同时发生)的概率等于事件A，B分别发生的概率之积，即P(AB)=P(A)P(B)
例3、某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28，命中8环的概率是0.19，不够8环的概率是0.29，计算这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率.

题型三、二项分布
在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是
，（k＝0,1,2,…，n，）．
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ
0
1
…
k
…
n
P

…

…

称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数。
例4、甲乙两人抛掷硬币，甲用一枚均匀的硬币抛掷3次，记正面朝上的次数为X,乙用这枚硬币抛掷2次，记正面朝上的次数为Y.
（1）分别求出X和Y的数学期望.
（2）规定：若X>Y，则甲胜；若X<Y，则乙胜.分别求出甲和乙获胜的概率。

常规试题训练
1、某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数的分布列．
2、已知随机变量的分布列为

－2
－1
0
1
2
3
P

分别求出随机变量的分布列．
3、某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数的分布列．
4、盒中装有大小相等的球10个，编号分别为0，1，2，…，9，从中任取1个，观察号码是“小于5”“等于5”“大于5”三类情况之一．规定一个随机变量，并求其概率分布列．
5、一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量的分布列．
6、一批零件中有9个合格品与3个不合格品．安装机器时，从这批零件中任取一个．如果每次取出的不合格品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列．
、袋中有1个红球，2个白球，3个黑球，现从中任取一球观察其颜色．确定这个随机试验中的随机变量，并指出在这个随机试验中随机变量可能取的值及取每个值的概率．

概率、随机变量及其分布列提高训练
1．甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为________．
2．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分的情况)，则ab的最大值为________．
3．将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________．
4．甲，乙，丙三个同学同时报名参加某重点高校2012年自主招生，高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格．因为甲，乙，丙三人各有优势，甲，乙，丙三人审核材料过关的概率分别为0.5,0.6,0.4，审核过关后，甲，乙，丙三人文化测试合格的概率分别为0.6,0.5,0.75.
(1)求甲，乙，丙三人中只有一人通过审核材料的概率；
(2)求甲，乙，丙三人中至少有两人获得自主招生入选资格的概率．

5．乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．
(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；
(2)ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．

6．某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需要参加下次考核．若小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过，且他直到参加第二次考核才合格的概率为.(1)求小李第一次参加考核就合格的概率P1；(2)求小李参加考核的次数X的分布列和数学期望E(X)．

概率、随机变量及其分布列高考真题演练
1、从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x,y）,则点M取自阴影部分的概率为.
2、甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
3、如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是(　　)．
A． B．C． D．
4、高为平面上过(0,1)的直线, 的斜率等可能地取,用表示坐标原点到的距离,由随机变量的数学期望E=___________
5、设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，
（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；
（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.
6、甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是, , .
(Ⅰ)现3人各投篮1次,求3人都没有投进的概率;
(Ⅱ)用ξ表示乙投篮3次的进球数,求随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ.
7、某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、、，且各轮问题能否正确回答互不影响.
（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；
（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数数期望.（注：本小题结果可用分数表示）
8、某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第次击中目标得分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响．（Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率；（Ⅱ）该射手的得分记为，求随机变量的分布列及数学期望．

0
1
2
3
p
0.1
0.3
2a
a
9、某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用表示，椐统计，随机变量的概率分布如下：(Ⅰ)求a的值和的数学期望；
（Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率。10、为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样检查，测得身高情况的统计图如下：

（Ⅰ）估计该校男生的人数；（Ⅱ）估计该校学生身高在170~185cm之间的概率；
（Ⅲ）从样本中身高在165~180cm之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170~180cm之间的概率.

11、如图，A地到火车站共有两条路径和，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在个时间段内的频率如下表：
时间（分钟）
1020
2030
3040
4050
5060
的频率

的频率
0

现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．
（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？
（2）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求X的分布列和数学期望 .

12、某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：
办理业务所需的时间（分）
1
2
3
4
5
频 率
0.1
0.4
0.3
0.1
0.1

从第一个顾客开始办理业务时计时．
（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；
（2）表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求的分布列及数学期望．

13、在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．
(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．