次线性期望空间下END列Jamison型加权和的几乎处处收敛性.pdf

第6 1卷 第4期吉 林 大 学 学 报(理 学 版)V o l.6 1 N o.4 2 0 2 3年7月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y(S c i e n c eE d i t i o n)J u l y 2 0 2 3d o i:1 0.1 3 4 1 3/j.c n k i.j d x b l x b.2 0 2 2 3 6 0次线性期望空间下E N D列J a m i s o n型加权和的几乎处处收敛性刘伦义,吴群英(桂林理工大学 理学院,广西 桂林5 4 1 0 0 4)摘要:利用截尾的方法,考虑次线性期望空间下广义负相依(E N D)随机变量序列J a m i s o n型加权和的几乎处处收敛问题,得到了次线性期望空间下E N D随机变量序列J a m i s o n型加权和的几乎处处收敛性.将概率空间下E N D随机变量序列J a m i s o n型加权和的几乎处处收敛拓展到了次线性期望空间下,推广了J a m i s o n定理.关键词:次线性期望;几乎处处收敛;J a m i s o n型加权和;E N D随机变量序列;截尾中图分类号:O 2 1 1.4 文献标志码:A 文章编号:1 6 7 1-5 4 8 9(2 0 2 3)0 4-0 8 0 8-0 7A l m o s t S u r eC o n v e r g e n c eo fJ a m i s o nT y p eW e i g h t e dS u m so fE N DS e q u e n c e i nS u b-l i n e a rE x p e c t a t i o nS p a c eL I UL u n y i,WU Q u n y i n g(C o l l e g e o fS c i e n c e,G u i l i nU n i v e r s i t yo fT e c h n o l o g y,G u i l i n5 4 1 0 0 4,G u a n g x i Z h u a n gA u t o n o m o u sR e g i o n,C h i n a)A b s t r a c t:W ec o n s i d e r e dt h ec o n v e r g e n c ep r o b l e m o ft h eJ a m i s o nt y p ew e i g h t e ds u m so fe x t e n d e dn e g a t i v e l yd e p e n d e n t(E N D)r a n d o mv a r i a b l es e q u e n c e s i nas u b-l i n e a r e x p e c t a t i o ns p a c eb yu s i n gt h et r u n c a t i o nm e t h o d,a n do b t a i n e dt h ec o n v e r g e n c eo f t h e J a m i s o nt y p ew e i g h t e ds u m so fE N Dr a n d o mv a r i a b l es e q u e n c e s i nas u b-l i n e a r e x p e c t a t i o ns p a c e.W ee x t e n d e da l m o s t s u r e c o n v e r g e n c eo f J a m i s o nt y p ew e i g h t e ds u m so fE N Dr a n d o mv a r i a b l es e q u e n c e s i np r o b a b i l i t ys p a c e s t os u b-l i n e a re x p e c t a t i o ns p a c e s,a n dt h eJ a m i s o nt h e o r e m w a sg e n e r a l i z e d.K e y w o r d s:s u b-l i n e a r e x p e c t a t i o n;a l m o s t s u r ec o n v e r g e n c e;J a m i s o nt y p ew e i g h t e ds u m;E N Dr a n d o mv a r i a b l es e q u e n c e;t r u n c a t i o n收稿日期:2 0 2 2-0 9-0 1.第一作者简介:刘伦义(1 9 9 8),男,汉族,硕士研究生,从事概率极限理论的研究,E-m a i l:2 6 0 2 9 6 5 0 3 1q q.c o m.通信作者简介:吴群英(1 9 6 1),女,汉族,博士,教授,从事概率极限理论的研究,E-m a i l:w q y 6 6 6g l u t.e d u.c n.基金项目:国家自然科学基金(批准号:1 2 0 6 1 0 2 8).1 引言与预备知识概率极限理论在数学、统计和金融等领域应用广泛,适用于模型确定的情形.随着极限理论在金融、风险度量等领域的不断发展,经典极限理论局限性逐渐突显,而非线性可在数学模型不确定条件下进行分析和计算.因此,P e n g1提出了次线性期望空间的概念,有效解决了传统概率空间理论在统计、经济等领域的受限情况.目前,关于次线性期望空间的研究已取得了许多结果,例如:P e n g2将概率空间的中心极限理论引入到了次线性期望空间中;Z h a n g3-5给出了次线性期望的K o l m o g o r o v强大数定律(S L L N)和矩不等式;Wu等6给出了次线性期望空间下的强大数律和C h o v e rs型重对数律;M a等7给出了次线性期望空间下广义负相依(E N D)序列加权和的强大数律的一些条件.另一方面,关于J a m i s o n型加权和的几乎处处收敛性研究在概率空间下也取得了许多成果.如文献8-1 0 分别在两两NQ D(n e g a t i v e l yq u a d r a n td e p e n d e n t)、E N D和NA(n e g a t i v e l ya s s c o c i a t e d)随机变量序列的条件下讨论了J a m i s o n型加权和的几乎处处收敛性,得到了概率空间下不同序列的J a m i s o n型加权和的几乎处处收敛性,推广了J a m i s o n型定理.但在次线性期望空间中,关于几乎处处收敛的推广成果目前报道较少,因为容度和次线性期望之间不再有线性性,因此一些原来可应用于概率空间下的方法并不能应用于次线性期望空间.本文在已有理论的基础上,考虑次线性期望空间下E N D随机变量序列的J a m i s o n型加权和的几乎处处收敛性,拓展了J a m i s o n定理.定理1(J a m i s o n定 理)1 1 设 Xi:i1 是 独 立 同 分 布 的 随 机 变 量,记 wi 是 正 数 列,Wn=ni=1wi,N(n)=#i:w-1iWin(#表示集合的个数),满足条件Wn,n,E X10,m取决于,使得对任意的x,yn均有(x)-(y)c(1+xm+ym)x-y.H称为由随机变量构成的空间,记XH.定义14 如果EE:H-,+满足下列条件,则EE称为次线性期望:1)(单调性)如果XY,则EE(X)EE(Y);2)(保持常数不变性)EE(c)=c;3)(次可加性)EE(X+Y)EE(X)+EE(Y);4)(正齐次性)对任意的0,均有EE(X)=EE(X).其中三元组(,H,EE)称为次线性期望空间,定义EE的共轭期望为(X)=-EE(-X),XH.根据定义1可知,对任意的X,YH,均有(X)EE(X),EE(X+c)=EE(X)+c,EE(X-Y)EEX-Y,EE(X-Y)EE(X)-EE(Y).定义24 令G F,若一个函数V:G 0,1 满足下列条件:1)V()=0,V()=1;2)对任意的AB,A,BG,均有V(A)V(B).则称V为容度.若对所有的A,BG,均有V(AB)V(A)+V(B),则称V具有次可加性;若对任意的AnF,均有Vn=1A()nn=1V(An),则称V具有可数次可加性.在次线性期望空间(,H,EE)下,对任意的AF,定义上容度VV和下容度V分别为VV(A)=i n fEE:IA,H,V(A)=1-VV(Ac),其中IA为示性函数,Ac是A的补集.显然,上容度VV具有次可加性,根据其定义,对任意的fI(A)g,f,gH,均有EEf VV(A)EEg,fV(A)g.(1)定义34 定义C h o q u e t积分为CVV(X)=0VV(Xt)dt+0-VV(Xt)-1dt.根据定义3,可知其对下容度V也成立.定义4(同分布)4 设X1,X2是定义在次线性期望空间(1,H1,EE1)和(2,H2,EE2)上的随机向量,若Cl,L i p(n),EE1(X1)=EE2(X2),则称其为同分布的关系,记为X1dX2.如果i1,908 第4期 刘伦义,等:次线性期望空间下E N D列J a m i s o n型加权和的几乎处处收敛性 有XidX1,则随机变量序列Xn;n1 是同分布的.定义5(E N D)3 在次线性期望空间(,H,EE)下,对于随机变量序列Xn;n1,如果存在常数K1,使得下式成立:EEni=1i(Xi()Kni=1EE(i(Xi),n1,则Xn;n1 称为E N D序列,其中非负函数iCl,L i p()是非减(或非增)的.假设Xn;n1 是E N D随机变量序列,且f1(x),f2(x),Cl,L i p()是单调的,则由E N D随机变量序列的定义可知,fn(Xn);n1 也是E N D序列.引理1(B o r e l-C a n t e l l is引理)4 假设An;n1 是在F中的一个事件序列,VV是可数次可加的,如果n=1VV(An)0,均有VV(Snx)(1+K e)Bnx2,(2)且对任意的p2,存在常数Cp1,使得x0,01,均有VV(Snx)Cp-2pKnk=1EEXkpxp+Ke x p-x22Bn(1+),其中常数K1.2 主要结果定理2 设Xi;i1 是次线性期望空间(,H,EE)下的同分布E N D随机变量序列,VV和EE是可数次可加的,记wi 是正数列,Wn=ni=1wi,N(n)=#i:w-1iWin,假设Wn,n,(3)N(n)c n,(4)2niW-22nc W-2i,(5)CV(X1),(6)则有l i ms u pnni=1wi(Xi-EEXi)Wn0 a.s.VV,(7)l i mi n fnni=1wi(Xi-Xi)Wn0,a.s.VV.(8)特别地,如果EE(Xi)=(Xi),则有l i mnni=1wi(Xi-EEXi)Wn=0 a.s.VV.(9)证明:先证明式(7).不失一般性,假设EE(Xi)=0.由 于CVV(X1)c2k)0.(1 0)018 吉 林 大 学 学 报(理 学 版)第6 1卷 由于Xi;i1 是在(,H,EE)下的同分布E N D随机变量序列,因此对其进行截尾,记ai=w-1iWi,Yi=fai(Xi)=-aiI(Xiai),Zi=Xi-Yi=(Xi+ai)I(Xiai),Y=fai(X),Z=X-Y.因为fc(x)Cl,L i p和fc(x)是不减的,则由定义可知Yi;i1 也是E N D随机变量序列.注意到ni=1wiXiWn=ni=1wiZiWn+ni=1wi(Yi-EEYi)Wn+ni=1wiEEYiWn=I1+I2+I3,因此为证明式(7)只需证明I10 a.s.VV,(1 1)l i ms u pnI20 a.s.VV,(1 2)l i mnI3=0.(1 3)注意在概率空间中的等式:EEI(Xa)=P(Xa),其在次线性期望空间中,EE是经过Cl,L i p中的连续函数定义的,而示性函数I(Xa)未必连续.因此,表达式EEI(Xa)未必成立.所以对Cl,L i p中的函数需对示性函数进行修正.于是,对函数g(x)Cl,L i p进行如下定义:对于01时,g(x)=0,则I(x)g(x)I(x1),I(x1)1-g(x)I(x).(1 4)令gj(x)Cl,L i p(),j1,使得 对于x,0gj(x)1,且当2j-1(1+)2j时,gj(x)=0,则gj(X)I(2j-1Xai)i=1EE1-gXiai=i=1EE1-gXaik=12k-12j-1)=j=1VV(X2j-1)j+1k=1(N(2k)-N(2k-1)j=1N(2j+1)VV(X2j-1)cj=12jVV(X2-12j)0,可得i=1VV(Xc ai)0,由Cr不等式,并联系式(1 4),有118 第4期 刘伦义,等:次线性期望空间下E N D列J a m i s o n型加权和的几乎处处收敛性 YirXirI(Xiai)+ariI(Xiai)XirgXiai+ari1-gXiai,因此EE(Yir)EEXirgXiai+ariEE1-gXiaiEEXrgXai+ariEE1-gXaiEEXrgXai+ariVV(Xai).(2 0)因为fc(x)Cl,L i p(),wi(Yi-EEYi);i1 是E N D随机变量序列,EEwi(Yi-EEYi)=0,对于0,由式(2)可得,n=1VV2ni=1wi(Yi-EEYi)W2nn=1W-22n2ni=1EEwi(Yi-EEYi)24n=1W-22n2ni=1w2iEEY2i.(2 1)将式(2 0)代入式(2 1),有n=1W-22n2ni=1w2iEEY2ii=1w2iEEX2gXai+a2iVV(Xai)n:2niW-22ni=1w2iEEX2gXain:2niW-22n+i=1W2iVV(Xai)n:2niW-22n=I4+I5.下面分别求I4和I5.由式(5)和式(1 9),有I5=i=1W2iVV(Xai)n:2niW-22ni=1W2iVV(Xai)W-2i=i=1VV(Xai);由式(4),(5),(1 0),(1 5)(1 7)和EE具有可数次可加性,有I4=i=1w2iEEX2gXain:2niW-22ni=1w2iEEX2gXaiW-2i=k=1a-2iEEX2gXaik=12k-12j-1)j=122jVV(X2j-1)k=j(N(2k)-N(2k-1)(2k-1)-2j=122jVV(X2j-1)k=jN(2k)(2k-1)-2-(2k)-2)j=122jVV(X2j-1)k=j2-kj=12jVV(X2-12j);i.o.=0,l i ms u pnI2a.s.VV.由的任意性,令0,则式(1 2)证毕.下面证明式(1 3),由EEXi=0,并且EE具有可数次可加性,即EE(X1)CVV(X1),再联系式(3),(6),(1 4),有EE(Yi)EEXi-EEYiEEXi-Yi=EE(Xi+ai)I(Xiai)218 吉 林 大 学 学 报(理 学 版)第6 1卷 EEXi1-gXiai=EEX1-gXaiCVVX1-gXaiCVV(X I(Xai)=0VV(X I(Xai)x)dx=ai0VV(X I(Xai)x)dx+aiVV(X I(Xai)x)dxaiVV(Xai)+aiVV(Xx)dx=I6+I7.(2 2)因此为证明EE(Yi)0,只需证明I60,I70.令i,则ai,由CVV(X1)x)dxx),则有l i mxxVV(Xx)=0.因为i,故可得l i miaiVV(Xai)=0,即I60.由式(3)和EE(Yi)0,通过T o e p l i t z引理,有I3=ni=1wiEEYiWn0,式(1 3)证毕.联合式(1 1)(1 3)可得式(7).如果Xi;i1 是E N D随机变量系列,则-Xi;i1 是E N D的并且满足定理2的条件,令-Xi;i1 代替Xi;i1,并代入式(7),可得0l i ms u pnni=1wi(-Xi-EE(-Xi)Wn=-l i mi n fnni=1wi(Xi-(Xi)Wn,即l i mi n fnni=1wi(Xi-(Xi)Wn0a.s.VV,式(8)成立.特别地,如果EE(Xi)=(Xi),则联合式(7)和式(8)有l i mnni=1wi(Xi-EE(Xi)Wn=0a.s.VV,即式(9)成立.证毕.注1 定理2将J a m i s o n定理1 1的结果从概率空间拓展到了次线性期望空间,并且由独立同分布情形拓展为同分布的E N D序列情形.因为在次线性期望中VV和EE不具有可数次可加性,所以需增加可数次可加条件,并且在次线性期望中同分布是根据上期望定义的,而不是上容度.从而需对其进行转化,这样与概率空间证明不太相似,因此本文增加了条件(5).又因为在次线性期望中期望不唯一,所以有式(7)和式(8).只有在EE(Xi)=(Xi)条件下才能得到极限存在的情形,才能得到与定理1类似的结果.推论1 设Xi;i1 是次线性期望空间(,H,EE)下的同分布E N D随机变量序列,VV和EE具有可数次可加性.假设权重wi=il(i)(其中i1,-1,l(x)(x+)是慢变化函数)和式(6)成立,则式(7)(9)成立.证明:由定理2可知,只需对权重wi=il(i)(其中i1,-1,l(x)(x+)是慢变化函数)验证定理2的条件式(3)(5)成立即可.因为l(x)是慢变化函数,所以由文献1 3 知,对1,有nk=1l(k)kl(n)n1-1-,n,-1,(2 4)式(3)证毕.由式(2 4),可得Wiwic i,从而有N(n)c n,式(4)证毕.由式(2 3),有2niW-22n=n l o g2i2-2(1+)nl-2(2n)c2-2(1+)l o g2il-2(2l o g2i)=c i-2(1+)l-2(i)=c W-2i,-1,式(5)证毕.注2 推论1将文献9 中定理2.1结论-1的情形从概率空间拓展到次线性期望空间下,得到了类似的结果.参考文献1 P E N GSG.M u l t i-d i m e n s i o n a lG-B r o w n i a n M o t i o na n dR e l a t e dS t o c h a s t i cC a l c u l u su n d e rG-E x p e c t a t i o nJ.S t o c h a s t i cP r o c e s sA p p l,2 0 0 8,1 1 8(1 2):2 2 2 3-2 2 5 3.2 P E N G S G.A N e w C e n t r a l L i m i t T h e o r e m u n d e r S u b l i n e a r E x p e c t a t i o n sJ/O L.M a t h e m a t i c s P R,(2 0 0 8-0 3-1 8)2 0 2 2-0 1-1 7.h t t p s:a r x i v.o r g/p d f/0 8 0 3.2 6 5 6.p d f.3 Z HAN GL X.S t r o n gL i m i tT h e o r e m sf o rE x t e n d e dI n d e p e n d e n tR a n d o m V a r i a b l e sa n dE x t e n d e d N e g a t i v e l yD e p e n d e n tR a n d o m V a r i a b l e su n d e rS u b-l i n e a rE x p c t a t i o n sJ.A c t aM a t hS c iS e rB(E n g lE d),2 0 2 2,4 2(2):4 6 7-4 9 0.4 Z HAN GLX.E x p o n e n t i a lI n e q u a l i t i e su n d e rS u b-l i n e a rE x p e c t a t i o n sw i t hA p p l i c a t i o n st oL a wo ft h eI t e r a t e dL o g a r i t h mJ.S c iC h i n aM a t h,2 0 1 6,5 9(1 2):2 5 0 3-2 5 2 6.5 Z HAN GL X.R o s e n t h a lsI n e q u a l i t i e sf o rI n d e p e n d e n ta n d N e g a t i v e l y D e p e n d e n tR a n d o m V a r i a b l e su n d e rS u b-l i n e a rE x p e c t a t i o n sw i t hA p p l i c a t i o n sJ.S c iC h i n aM a t h,2 0 1 6,5 9(4):7 5 1-7 6 8.6 WU Q Y,J I AN G Y Y.S t r o n gL a wo fL a r g eN u m b e r sa n dC h o v e rsL a wo ft h eI t e r a t e dL o g a r i t h m u n d e rS u b-l i n e a rE x p e c t a t i o n sJ.JM a t hA n a lA p p l,2 0 1 8,4 6 0(1):2 5 2-2 7 0.7 MAXC,WU QY.O nS o m eC o n d i t i o n s f o rS t r o n gL a wo fL a r g eN u m b e r s f o rW e i g h t e dS u m so fE N DR a n d o mV a r i a b l e su n d e rS u b l i n e a rE x p e c t a t i o n sJ/O L.D i s c r e t eD y nN a tS o c,(2 0 1 9-0 4-1 1)2 0 2 2-0 8-1 6.h t t p s:/d o i.o r g/1 0.1 1 5 5/2 0 1 9/7 9 4 5 4 3 1.8 吴群英.两两NQ D列的广义J a m i s o n型加权和的强收敛性 J.数学研究,2 0 0 1,3 4(4):3 8 6-3 9 3.(WU QY.S t r o n gC o n v e r g e n c eP r o p e r t i e so f J a m i s o nW e i g h t e dS u m sf o rP a i r w i s eNQ DR a n d o mS e q u e n c e sJ.J o u r n a lo fM a t h e m a t i c a lS t u d y,2 0 0 1,3 4(4):3 8 6-3 9 3.)9 YANGJG.S t r o n gS t a b i l i t yo f aT y p eo f J a m i s o nW e i g h t e dS u m s f o rE N DR a n d o mV a r i a b l e sJ.JK o r e a nM a t hS o c,2 0 1 7,5 4(3):8 9 7-9 0 7.1 0 王定成,苏淳,冷劲松.NA序列广义J a m i s o n型加权和的几乎处处收敛性 J.应用数学学报,2 0 0 2,2 5(1):7 7-8 7.(WAN GDC,S UC,L E NGJS.A l m o s tS u r eC o n v e r g e n c eo fG e n e r a l i z e dJ a m i s o nsW e i g h t e dS u m sf o rNAS e q u e n c eJ.A c t aM a t h e m a t i c a eA p p l i c a t a eS i n i c a,2 0 0 2,2 5(1):7 7-8 7.)1 1 J AM I S ONB,O R E YS,P R U I T T W.C o n v e r g e n c eo fW e i g h t e dA v e r a g e so f I n d e p e n d e d tR a n d o mV a r i a b l e sJ.P r o b a bT h e o r yR e l a t e dF i e l d s,1 9 6 5(4):4 0-4 4.1 2 陈晓聪,吴群英.次线性期望空间下E N D阵列加权和的完全收敛性 J.应用数学,2 0 2 2,3 5(3):5 8 6-5 9 2.(CHE NXC,WU Q Y.C o m p l e t eC o n v e r g e n c eo fW e i g h t e dS u m sf o rA r r a y so fE N DR a n d o m V a r i a b l e su n d e rS u b-l i n e a rE x p e c t a t i o nJ.M a t h e m a t i c aA p p l i c a t a,2 0 2 2,3 5(3):5 8 6-5 9 2.)1 3 E UG E N ES.R e g u l a r l y V a r y i n gF u n c t i o n sM.L e c t u r e N o t e si n M a t h m a t i c s,V o l.5 0 8.B e r l i n:S p r i n g e r-V e r l a g,1 9 7 6:1-5 2.(责任编辑:赵立芹)418 吉 林 大 学 学 报(理 学 版)第6 1卷