参数方程和极坐标方程知识点归纳.doc

专题九：坐标系与参数方程1、平面直角坐标系中的伸缩变换设点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。2、极坐标系的概念M在平面内取一个定点，叫做极点；自极点引一条射线叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。rqO图1点的极坐标：设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为；以极轴为始边，射线为终边的叫做点的极角，记为。有序数对叫做点的极坐标，记为. 注：极坐标与表示同一个点。极点的坐标为.若,则,规定点与点关于极点对称，即与表示同一点。如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标表示的点也是唯一确定的。极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应惟一点P(，)，但平面内任一个点P的极坐标不惟一一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P(，)（极点除外）的全部坐标为(,)或（，），(Z)极点的极径为0，而极角任意取若对、的取值范围加以限制则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定0，0或0，等极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的即一个点的极坐标是不惟一的 3、极坐标与直角坐标的互化rqqrcos=xqrsin=y222r=+yx)0(tan=xxyqyyxOMHN（直极互化 图）设是平面内任意一点，它的直角坐标是，极坐标是，从图中可以得出：4、简单曲线的极坐标方程圆的极坐标方程以极点为圆心，为半径的圆的极坐标方程是 ；（如图1）以为圆心， 为半径的圆的极坐标方程是 ；（如图2）以为圆心，为半径的圆的极坐标方程是；（如图4）直线的极坐标方程过极点的直线的极坐标方程是和. （如图1）过点，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是. 化为直角坐标方程为.（如图2）过点且平行于极轴的直线l的极坐标方程是. 化为直角坐标方程为.（如图4）5、柱坐标系与球坐标系柱坐标：空间点的直角坐标与柱坐标的变换关系为：.球坐标系空间点直角坐标与球坐标的变换关系：.6、参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数 并且对于的每一个允许值，由这个方程所确定的点都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。7、常见曲线的参数方程（1）圆的参数方程为 （为参数）；（2）椭圆的参数方程为 （为参数）；椭圆的参数方程为 （为参数）；（3）双曲线的参数方程 （为参数）；双曲线的参数方程 （为参数）；（4）抛物线参数方程 为参数，）；参数的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.（6）过定点、倾斜角为的直线的参数方程（为参数）.8、参数方程与普通方程之间的互化在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致.参数方程化为普通方程的关键是消参数，并且要保证等价性。若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过。根据t的取值范围导出的取值范围.