参数方程和极坐标方程知识点归纳.doc

专题九：坐标系与参数方程
1、平面直角坐标系中的伸缩变换
设点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2、极坐标系的概念
M
在平面内取一个定点，叫做极点；自极点引一条射线叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
r
q

O
图1

点的极坐标：设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为；以极轴为始边，射线为终边的叫做点的极角，记为。有序数对叫做点的极坐标，记为.
注：
极坐标与表示同一个点。极点的坐标为.
若,则,规定点与点关于极点对称，即与表示同一点。
如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标表示的点也是唯一确定的。
极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应惟一点P(，)，但平面内任一个点P的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P(，)（极点除外）的全部坐标为(,＋)或（，＋），(Z)．极点的极径为0，而极角任意取．若对、的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定>0，0≤＜或<0，＜≤等．
极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．
3、极坐标与直角坐标的互化
r
q
q
r
cos
=
x
q
r
sin
=
y
2
2
2
r
=
+
y
x
)
0
(
tan
¹
=
x
x
y
q
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
y
y
x
O
M
H
N
（直极互化 图）
设是平面内任意一点，它的直角坐标是，极坐标是，从图中可以得出：

4、简单曲线的极坐标方程
⑴圆的极坐标方程
①以极点为圆心，为半径的圆的极坐标方程是 ；（如图1）
②以为圆心， 为半径的圆的极坐标方程是 ；（如图2）
③以为圆心，为半径的圆的极坐标方程是；（如图4）

⑵直线的极坐标方程
①过极点的直线的极坐标方程是和. （如图1）
②过点，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是. 化为直角坐标方程为.（如图2）
③过点且平行于极轴的直线l的极坐标方程是. 化为直角坐标方程为.（如图4）

5、柱坐标系与球坐标系
⑴柱坐标：空间点的直角坐标与柱坐标的变换关系为：.

⑵球坐标系
空间点直角坐标与球坐标的变换关系：.
6、参数方程的概念
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数 并且对于的每一个允许值，由这个方程所确定的点都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
7、常见曲线的参数方程
（1）圆的参数方程为 （为参数）；
（2）椭圆的参数方程为 （为参数）；
椭圆的参数方程为 （为参数）；

（3）双曲线的参数方程 （为参数）；
双曲线的参数方程 （为参数）；

（4）抛物线参数方程 为参数，）；
参数的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.
（6）过定点、倾斜角为的直线的参数方程（为参数）.
8、参数方程与普通方程之间的互化
在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致.
参数方程化为普通方程的关键是消参数，并且要保证等价性。若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过。根据t的取值范围导出的取值范围.