第1课时-空间几何体.doc

2010届高三数学（文）第一轮复习 立体几何（1）
空间几何体
【复习目标】
1． 掌握空间几何体的有关概念。
2． 掌握空间几何体的侧面积及体积的计算方法。
3． 复杂的几何体都是由简单几何体组成的，要注意“割”与“补”等方法的应用，注意改变几何体的观察角度，得到最佳求积法，注意等积变形的应用。
【知识梳理】
1． 多面体和旋转体
（1）由若干个 围成的几何体，叫做多面体，围成多面体的 ，叫做多面体的面，相邻两个面的 叫做多面体的棱，棱与棱的 叫做多面体的顶点。
（2）有一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的 叫做旋转体，定直线叫做旋转体的 。
2． 棱柱
（1）有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，棱柱中， 叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的 ， 叫做棱柱的侧棱， 叫做棱柱的顶点。
（2）棱柱的分类：按底面多边形的边数分类为 ， ， ，…
特殊的四棱柱：四棱柱→平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体．
3．棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是 ，由这些面所围成的多面体叫做棱锥， 叫做棱锥的底面或底， 的各个三角形叫做棱锥的侧面， 叫做棱锥的顶点， 叫做棱锥的侧面。
性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面 ，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的 ．
4.正棱锥的定义：如果一个棱锥的底面是 多边形，且顶点在底面的射影是底面的 ，这样的棱锥叫做正棱锥．
5.正棱锥的性质：
① 正棱锥各侧棱 ，各侧面都是 的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高 （它叫做正棱锥的 ）；
② 正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个 三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影组成一个 三角形．
6．圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱， 叫做圆柱的轴； 旋转而成的圆面叫做圆柱的底面； 旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的 ，圆柱和棱柱统称为 。
7．圆锥：以直角三角形的一条 所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆锥。棱锥与圆锥统称为 。
8．棱台与圆台：（1）用一个 的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。 分别叫做棱台的下底面和上底面，两底面间的距离叫做棱台的高。棱台也有侧面、侧棱、顶点。棱台侧棱的延长线必相交于一点。
（2）用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分，叫做圆台。与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、底面、侧面、母线，棱台和圆台统称为台体。
9．球：以半圆的 所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球。半圆的圆心叫做球的 ，半圆的半径叫做球的 ，半圆的直径叫做球的 。
10.面积和体积：（1）柱体的体积= ，直柱体侧面积 = 。
（2）锥体的体积= 圆锥的侧面积= 正棱锥的侧面积=________。
（3）球的表面积= ，体积= 。
【基础训练】
1．一个直角三角形绕斜边旋转一周形成的空间几何体是 。
2．下列所有正确命题的标号是________________________
(1) 棱柱的底面一定是平行四边形 (2) 棱锥的底面一定是三角形
(3)棱台的底面一定是两个相似的正方形 (4) 棱台的侧棱延长后必交于一点
3．棱长都为1的正四面体的全面积为 ，体积为 。直三棱柱的各棱都相等，侧面积为36，则它的高为 。
4．若正三棱锥底面边长为4，体积为1，则侧面积等于_________.
5．棱锥被平行于底的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1∶2，则此棱锥的高被分成两段(从顶点到截面和从截面到底面)之比为 _________________.
6.斜三棱柱的一个侧面的面积为S，另一条侧棱到这个侧面的距离是，则这个三棱柱的体积是
7.如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P。如果将容器倒置，水面也恰好过点（图2）。有下列四个命题：
A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点
C．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点
D．若往容器内再注入升水，则容器恰好能装满
其中真命题的代号是： （写出所有真命题的代号）．
8.平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：（写出你认为正确的两个充要条件）
充要条件① ；
充要条件② ．
9.已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于__________________.
【典型例题】
例１．已知四棱台两底面均为正方形，边长分别为4cm，8cm，侧棱长均为8cm，求它的侧面积和体积。

例２．长方体的底面积是4，对角线长是4，求长方体侧面积的最大值．

O1
A
B
C
O
M
例3．如图，一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，
并向容器内注水，使水面恰好与铁球面相切，将球取出后，容器内的水深是多少？

D1
A
A1
B1
C1
B
C
D
E
例4．在直四棱柱中，侧棱，底面是边长，的矩形，E为的中点，求三棱锥的体积。

A
B
C
D
N
M
例5．如图，已知三棱锥A-BCD的底面是等边三角形，三条侧棱长都等于1，
，M，N分别在棱AC和AD上，求BM+MN+NB的最小值。

【巩固练习】
1.给出下列几个命题：
（1）棱柱的侧面都是平行四边形；
（2）棱锥的各个侧面均为三角形，且所有侧面有一个公共点；
（3）多面体至少有四个面；（4）棱台的侧棱所在直线均相交于同一点。
其中正确命题的序号是
2. 如图，已知一个多面体的平面展开图由一边长为1的正方体和4个边
长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是 ．
3. 一球内接长方体的长、宽、高分别为，则球的半径为
4. 如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为1，高为8，一质点
自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线长为 .
5. 设等边的边长为，是内的任意一点，且到三边
的距离分别为，则有为定值；由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四面体的棱长为，是正四面体内的任意一点，且到四个面ABC、ABD、ACD、BCD的距离分别为，则有为定值________
6.过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为
7.当圆锥的侧面积与底面积的比值是时，圆锥轴截面的顶角等于
8.一个圆台的母线长为，两底面面积分别为和，求
（1）圆台的高；（2）截得此圆台的圆锥的母线长。

作业：《数学之友》P71基础训练：1.2.5.能力强化：1.2.3.4.5.6.8.感受高考：2.3.4.5.6.7
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