第二章一元二次方程.doc

§2.1.1认识一元二次方程
一、学习目标：
1．一元二次方程的概念及它的一般形式
2．经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型．
学习重点：一元二次方程的概念
学习难点： 求一般形式中的abc
二、学习过程：课前热身：
什么是一元一次方程、什么是二元一次方程？
自主学习：
阅读课本P31，回答问题：
1． 一元二次方程的概念：
强调三个特征：①它是______方程；②它只含______未知数；③方程中未知数的最高次数是__________.
一元二次方程的一般形式：
__________，在任何一个一元二次方程中，_______是必不可少的项．
2.几种不同的表示形式：
①ax2+bx+c=0 (a≠0,b≠0,c≠0)
② ___________ (a≠0,b≠0,c=0)
③____________ (a≠0,b=0,c≠0)
④___________ (a≠0,b=0,c=0)

课堂小结：1
一分钟记忆
1．一元二次方程属于“整式方程”，其次，它只含有一个未知数，并且都可以化为_______________________的形式．其中________是定义的一部分，不可漏掉，否则就不是一元二次方程了。
2．一元二次方程必须化为一般形式___________________________后，才能找它的项及系数。
三、反馈检测：
1、下列叙述正确的是（ ）
A.形如ax2+bx+c=0的方程叫一元二次方程
B.方程4x2+3x=6不含有常数项
C.(2－x)2=0是一元二次方程
D.一元二次方程中，二次项系数一次项系数及常数项均不能为0
2、把方程(3x+2)2＝4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
3、关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,当k =______时，是一元二次方程．,当k =_______时，是一元一次方程．
4、当m=_________时，方程是关于x的一元二次方程。
5、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）3x2=5x-1
（2）(x+2)(x-1)=6
（3）4-7x2=0
6、判断下列方程是不是一元二次方程,并说明理由。
（1）x2-y=1 (2) 1/x2-3=2
(3)2x+x2=3 (4)3x-1=0
(5) (5x+2)(3x-7)=15x2 （k为常数）
(6)ax2+bx+c=0(7)
四、布置作业：
A组：习题 创新设计
B 组 习题
C组 背定义
五、教学反思：
教师反思：

学生反思：

§2.1.2认识一元二次方程
一、学习目标：
1．探索一元二次方程的解或近似解．
2．培养学生的估算意识和能力．
3. 经历方程解的探索过程，增进对方解的认识，发展估算意识和能力
学习重点：一元二次方程的解或近似解
学习难点：一元二次方程的解或近似解
二、学习过程：课前热身：
1、什么叫一元二次方程？它的一般形式是什么？
2、指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。
（1）2x2―x＋1＝0 (2)―x2＋1＝0 (3)x2―x＝0 (4)―x2＝0
(5）（8-2x）(5-2x)=18
P46花边问题中方程的一般形式：________________________你能求出x吗？
（1）x可能小于0吗？说说你的理由；______________________________
（2）x可能大于4吗？可能大于2.5吗？为什么？1
______________________________________________________________
（3）完成下表
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
2x2―13x＋11

（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴交流。
自主学习：
通过估算求近似解的方法：
8m
先根据实际问题确定其解的大致范围，再通过具体的列表计算进行两边“夹逼”，逐步求得近似解。
例题1：P31梯子问题
梯子底端滑动的距离x（m）满足 (x＋6)2＋72＝102
一般形式：______________________
（1）你认为底端也滑动了1米吗？为什么？

（2）底端滑动的距离可能是2m吗？可能是3m吗？

（3）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？x的整数部分是几？
（4）填表计算：
x
1
1.5
2
x2＋12x―15

进一步计算
x

x2＋12x―15

十分位是几？

照此思路可以估算出x的百分位和千分位
课堂小结：
一分钟记忆：一元二次方程的一般形式
三、反馈检测：
1、一元二次方程有两个解为1和-1，则有 _______，且有________.
2、若关于x的方程有一个根为-1，则m=_____________.
四、布置作业：
A组：习题 创新设计
B 组 习题
C组 背定义

五、教学反思：
教师反思：

学生反思：

§2.2.1用配方法求解一元二次方程
一、学习目标：
1、会用开平方法解形如(x＋m)2＝n (n≥0)的方程；
2、理解一元二次方程的解法——配方法．
3、把一元二次方程通过配方转化为(x十m)2＝n(n0)的形式，体会转化的数学思想。
学习重点：用开平方法解形如(x＋m)2＝n (n≥0)的方程
学习难点：理解一元二次方程的解法——配方法
二、学习过程：课前热身：
配方：填上适当的数，使下列等式成立：
（1）x2＋12x＋_____＝(x＋6)2
（2）x2―4x＋______＝(x―____)2
（3）x2＋8x＋______＝(x＋_____)2
从上可知：常数项配上______________________________.
自主学习：1
1、用直接开平方法解下列方程：
（1）x2＝9 （2）(x＋2)2＝16

(3) (x+1)2－144=0 (4) (2x+1)2=3

阅读书P53-54,

解方程：
x2＋12x－15＝0（配方法）
解：移项，得：________________
配方，得：__________________.（两边同时加上__________的平方）
即：_____________________
开平方，得：_____________________
即：______________________
所以：_________________________
注意：
用配方法解一元二次方程的基本思路：将方程转化为_____________ 的形式，它的一边是一个_________，另一边是一个常数。当_________时，两边___________便可求出它的根；当_____________时，原方程无解.
课堂小结：
一分钟记忆
（1）什么叫配方法？（2）配方法的基本思路是什么？（3）怎样配方？
三、反馈检测：
1．一元二次方程x2－2x－m=0，用配方法解该方程，配方后的方程为（ ）
A.(x－1)2=m2+1 B.(x－1)2=m－1
C.(x－1)2=1－m D.(x－1)2=m+1
2．用配方法解方程:
3、1）若x2+4=0，则此方程解的情况是____________.
2）若2x2－7=0，则此方程的解的情况是__________.
3）若5x2=0，则方程解为_________
4、由上题总结方程ax2+c=0(a≠0)的解的情况是：
当ac＞0时__________________；当ac=0时__________________；
当ac＜0时__________________.
5、关于x的方程(x+m)2=n,下列说
法正确的是( )
A.有两个解x=± B.两个解x=±－m
C.当n≥0时，有两个解x=± D.当n≤0时，方程无实根
四、布置作业：
A组：习题 创新设计
B组: 习题
C组: 背定义

五、教学反思：
教师反思：

学生反思：

§2.2.2用配方法求解一元二次方程
一、学习目标：
1、利用配方法解数字系数的一般一元二次方程。
2、进一步理解配方法的解题思路。
学习重点：利用配方法解数字系数的一般一元二次方程
学习难点：利用配方法解数字系数的一般一元二次方程
二、学习过程：课前热身：
用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）把一元二次方程化成________；
（2）两边同除以________________，使___________________化为1；
（3）移项，方程的一边为_____________________，另一边为________
（4）配方：方程两边同时加上_________________，化为_________ 的形式；
（5）当_________ 时，两边开平方便可求出它的根；当__________时，原方程无解
3、用配方法解下列方程：
（1）x2＋4x＋3＝0 （2）x2-4x+12=0

自主学习：1
第四环节：自主学习 合作探究
例题：解方程：3x2＋8x―3＝0
解：两边都除以____，得：
移项，得：
配方，得：（方程两边都加上________________的平方）开平方，得：
所以:
课堂小结：
用配方法解一元二次方程的步骤：
三、反馈检测：
1、用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ）．
A．，化为

B．，化为

C．，化为

D．，化为

2、一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系：h＝15t―5t2
小球何时能达到10m高？
四、布置作业：
A组：习题 创新设计
B 组 习题
C组 背定义

五、教学反思：
教师反思：

学生反思：

§2.3.1用公式法求解一元二次方程
一、学习目标：
1．一元二次方程的求根公式的推导；
2．会用求根公式解一元二次方程。
3.求根公式的条件：b2－4ac0。
学习重点：会用求根公式解一元二次方程。
学习难点：一元二次方程的求根公式的推导
学习过程：
二、学习过程：课前热身：
用配方法解方程：
(1)2x2+3=7x (2)3x2+2x+1=0
用配方法解方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
自主学习
1、一般地，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，它的根是x＝
注意：当b2－4ac<0时，一元二次方程无实数根。
2、公式法：
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
例：解方程：2x2＋7x＝4（2）x2-x+2=0(3) 2x2-5x+4=0

用公式法解一元二次方程的步骤：
1） 化成一般形式；
2） 确定a,b,c的数值；
3） 求出b2－4ac的数值，并判别其是否是非负数；
4） 若b2－4ac≥0，用求根公式求出方程的根，
若b2－4ac<0，直接写出原方程无解，不要代入求根公式。
课堂小结
三、反馈检测：一分钟记忆：
根的判别式：______________
1）当b2－4ac____0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；
2）当b2－4ac_____0时，一元二次方程有两个相等的实数根；
3）当b2－4ac______0时，一元二次方程无实数根。

1、下列一元二次方程中，有实根的方程是（ ）
（1）x2-x+1=0 （2）x2-2x+3=0
（3）x2+x-1=0 （4）x2+4=0
2、用公式法解方程：
(1) 2x2+3=7x （2）x2-7x=18

（3）3x2+2x+1=0 （4）9x2+6x+1=0

(5)16x2+8x=3 (6) 2x2-9x+8=0

四、布置作业：1
A组：习题2.5 创新设计 B 组 习题2.5
教学反思：
教师反思：

学生反思：

§2.3.2用公式法求解一元二次方程
一、学习目标：
1、利用方程解决实际问题．
2、进一步掌握用求解方程解题的技能，对于开放性问题的解决，即如何设计方案
学习重点：利用方程解决实际问题
学习难点：解决开放性问题
二、学习过程：课前热身：
1、求1）x2 = n (n>0)的解，2）（x+m）2 = n (n>0)的解
2、配方：
（1）x2―3x＋_______＝(x―____)2（2）x2―5x＋_______＝(x―____)2
3、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？
4、用配方法解下列一元二次方程：
（1）3x2―1＝2x (2)

自主学习：
例：小明：我的设计方案如图所示，其中花园四周小路的宽度相等。
如图所示：

（1）设花园四周小路的宽度均为xm，可列怎样的一元二次方程？
（2）求出一元二次方程的解？
（3）这两个解都合要求吗？为什么？
2、小亮：我的设计方案如图所示，其中花园每个角上的扇形都相同。
你能帮小亮求出图中的x吗？

（1）设花园四角的扇形半径均为xm，可列怎样的一元二次方程？
（2）估算一元二次方程的解是什么？（∏取3）
（3）符合条件的解是多少？
3、你还有其他设计方案吗？请设计出来与同伴交流。

课堂小结：
1、本节内容的设计方案不只一种，只要符合条件即可。
2、一元二次方程的解一般有两个，要根据实际情况舍去不合题意的解

三、达标检测：
书P62随堂练习1

【变式训练】
书P44问题解决2 ： 1、课本P45联系拓广 2、书P44问题解决1、2、3

四、布置作业：
A组：习题 创新设计
B 组 习题
C组 背定义
五、教学反思：
教师反思：

2.4 用因式分解法求解一元二次方程
课 题
2．4 用因式分解法求解一元二次方程
课型
新授课
教学目标
1．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的多样性。
2．会用因式分解法解某些简单的数字系数的一元二次方程。
教学重点
掌握用因式分解法解一元二次方程。
教学难点
灵活运用因式分解法解一元二次方程。
教学方法
讲练结合法
教学后记

教 学 内 容 及 过 程
学生活动
一、回顾交流
[课堂小测]
用两种不同的方法解下列一元二次方程。
1. 5x-2x-1=0 2. 10(x+1) -25(x+1)+10=0

观察比较：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？

分析小颖、小明、小亮的解法：
小颖：用公式法解正确；
小明：两边约去x，是非同解变形，结果丢掉一根，错误。
小亮：利用“如果ab=0，那么a=0或b=0”来求解，正确。

分解因式法：
利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。

二、范例学习
例：解下列方程。
1. 5x2=4x 2. x(x-2)=x-2
想一想
你能用因式分解法解方程x2-4=0,（x+1）2 -25=0吗？

三、随堂练习
随堂练习 1、2
四、课堂总结
利用因式分解法解一元二次方程，能否分解是关键，因此，要熟练掌握因式分解的知识，通过提高因式分解的能力，来提高用分解因式法解方程的能力，在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，如果没有再考虑公式法。

五、布置作业
P47 习题2.7 1、2、3

板书设计：

一、 复习
二、 例题
三、 想一想
四、 练习
五、 小结
六、 作业

学生练习

注：课本中，小颖、小明、小亮的解法由学生在探讨中比较，对照。
概念：课本议一议，让学生自己理解。

解：（1）原方程可变形为：
5x2－4x=0
x(5x－4)=0
x=0或5x=4=0
∴x1=0或x2=
(2)原方程可变形为
x－2－x(x－2)=0
(x－2)(1－x)=0
x－2=0或1－x=0
∴x1=2，x2=1

（1）在一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式时，就可用分解因式法来解。
（2）分解因式时，用公式法提公式因式法。

2.5一元二次方程的根与系数的关系
教学目标：
知识技能目标
1.能说出根与系数的关系；
2.会利用根与系数的关系解有关的问题.
过程性目标
在经历观察、归纳、猜想、验证的这个探索发现过程中，通过尝试与交流，开拓思路，体会应用自己探索成果的喜悦.
情感态度目标
1.通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程，养成独立思考的习惯；
2.通过交流互动，逐步养成合作的意识及严谨的治学精神.
重点和难点：
重点：一元二次方程两根之和，及两根之积与原方程系数之间的关系；
难点：对根与系数这一性质进行应用.
教学过程：
一、创设情境
1．请说出解一元二次方程的四种解法.
2．解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？
(1)x2－2x＝0；
(2)x2＋3x－4＝0；
(3)x2－5x＋6＝0.

方程

让学生先解出方程的正确答案，再观察两解的和、积与原方程中的系数的关系，并加以证明.
二、探究归纳

方程

x2－2x＝0
0
2
2
0
x2＋3x－4＝0
1
-4
-3
-4
x2－5x＋6＝0
2
3
5
6

可以得到；两个解的和等于一次项系数的相反数，两个解的积等于常数项.
一般地，对于关于x的方程x2＋px＋q＝0（p，q为已知常数，p2－4q一般地，对于关于x的方程x2＋px＋q＝0（p，q为已知常数，p2－4q≥0），试用求根公式求出它的两个解x1、x2，算一算x1＋x2、x1•x2的值，你能得出什么结果？与上面发现的现象是否一致.
（此探索过程让学生分组进行交流、协作完成）
探索过程

结论：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项，这与上面的发现是一致的.
三、实践应用
例 1 已知关于x的方程x2－px＋q＝0的两个根是0和－3，求p和 q的值.
解法一：因为关于x的方程x2－px＋q＝0的两个根是0和－3，所以有

解法二：由，
方程x2－px＋q＝0的两个根是0和－3，可得

例2 写出下列方程的两根和与两根积：

课堂练习
1.写出下列方程的两根和与两根积：

2.已知关于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p的值.
四、交流反思
1.通过这节课的学习，掌握探索的步骤：观察——归纳——猜想——证明；
2.通过本节课探索出一元二次方程的根与系数的关系.
五、检测反馈
1.已知关于x的方程x2－2x＋m2+m－2＝0的一个根是2，求方程的另一个根和m的值.
2.写出下列方程的两根和与两根积：

3.已知关于x的方程2x2－mx－m2＝0有一个根是1，求m的值.
六、布置作业
习题2.8
教学反思：

2.6 应用一元二次方程（一）
教学目标：
１、掌握列出一元二次方程解应用题；并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性；
２、理解将一些实际问题抽象为方程模型的过程，形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题。

教学过程：
一、情境问题
问题1、一根长22cm的铁丝。
（1）能否围成面积是30cm2的矩形？
（2）能否围成面积是32 cm2的矩形？并说明理由。
分析：如果设这根铁丝围成的矩形的长是xcm，那么矩形的宽是__________。
根据相等关系：
矩形的长×矩形的宽=矩形的面积，
可以列出方程求解。
解：

问题2、如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=3cm。点P沿边AB从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动。如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤3）。那么，当t为何值时，△QAP的面积等于2cm2?
解：

二、练一练
1、用长为100 cm的金属丝制作一个矩形框子。框子各边多长时，框子的面积是600 cm2？能制成面积是800 cm2的矩形框子吗？
解：

2、如图，在矩形ABCD中，AB=6 cm，BC=12 cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，几秒后△PBQ的面积等于8 cm2？
解：

三、课后自测：
1、如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从点A、C出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向点D移动。经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
2、如图，在Rt△ABC中，AB=BC=12cm，点D从点A开始沿边AB以2cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC，问点D出发几秒后四边形DFCE的面积为20cm2？
3、如图所示，人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处的位置O点的正北方向10海里外的A点有一涉嫌走私船只正以24海里/时的速度向正东方向航行，为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向，以26海里/时的速度追赶。在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问需要几小时才能追上（点B为追上时的位置）？
4、如图，把长AD=10cm，宽AB=8cm的矩形沿着AE对折，使D点落在BC边的F点上，求DE的长。
5、如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为a为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。
（1）如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长是多少米？
（2）能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。
教学反思：

2.6 应用一元二次方程（二）
教学目标：
知识技能目标
通过探索，学会解决有关增长率的问题.
过程性目标
经历探索过程，培养合作学习的意识，体会数学与实际生活的联系.
情感态度目标
通过合作交流进一步感知方程的应用价值，培养学生的创新意识和实践能力，通过交流互动，逐步培养合作的意识及严谨的治学精神.
重点和难点：
重点：列一元二次方程解决实际问题.
难点：寻找实际问题中的相等关系.
教学过程：
一、创设情境
我们经常从电视新闻中听到或看到有关增长率的问题，例如今年我市人均收入Q元，比去年同期增长x%；环境污染比去年降低y%；某厂预计两年后使生产总值翻一番……由此我们可以看出，增长率问题无处不在，无时不有，这节课我们就一起来探索增长率问题．
二、探究归纳
例1 阳江市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？
分析　翻一番，即为原净收入的2倍.若设原值为1，那么两年后的值就是2．
解 设原值为1，平均年增长率为x,则根据题意得

解这个方程得 ．
因为不合题意舍去，所以
．
答　这两年的平均增长率约为41.4%．
探索　若调整计划，两年后的财政净收入值为原值的1.5倍、1.2倍、…，那么两年中的平均年增长率相应地调整为多少？
又若第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时可以实现市财政净收入翻一番？
例2 为了绿化学校附近的荒山，某校初三年级学生连续三年春季上山植树，至今已成活了2000棵.已知这些学生在初一时种了400棵，若平均成活率95%，求这个年级每年植树数的平均增长率.（精确到0.1%）
分析 至今已成活2000棵，指的是连续三年春季上山植树的总和.
解 设这个年级每年植树数的平均增长率为x，则
第二年种了400(1+x)棵；
第三年种了400(1+x)2棵；
三年一共种了400＋400(1+x)＋400(1+x)2棵；
三年一共成活了[400＋400(1+x)＋400(1+x)2]×95％棵.
根据题意列方程得
[400＋400(1+x)＋400(1+x)2]×95％＝2000
解这个方程得
x1≈0.624=62.4%
x2≈-3.624=-362.4%
但x2=-362.4%不合题意，舍去，所以
x=62.4%．
答　这个年级每年植树数的平均增长率为62.4% .
课堂练习
1.某工厂准备在两年内使产值翻一番，求平均每年增长的百分率．（精确到0.1%）
2.某服装店花1200元进了一批服装，按40％的利润定价，无人购买，决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完，经结算这批服装共盈利280元，若两次打折相同，问每次打了多少折？
三、交流反思
这节棵学习了两个有关增长率的问题，通过探索，掌握了增长率问题的解题方法，学会了解相同增长率和不同增长率的问题.
四、检测反馈
1.水果店花1500元进了一批水果，按50%的利润定价，无人购买.决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完．经结算，这批水果共盈利500元.若两次打折相同，每次打了几折？（精确到0.1折）
2.某服装厂为学校艺术团生产一批演出服，总成本3000元，售价每套30元．有24名家庭贫困学生免费供应.经核算，这24套演出服的成本正好是原定生产这批演出服的利润．这批演出服共生产了多少套？
3.一件上衣原价每件500元，第一次降价后，销售甚慢，第二次大幅度降价的百分率是第一次的2倍，结果以每件240元的价格迅速出售，求每次降价的百分率是多少？
五、布置作业
习题2.10
教学反思：