第二章一元二次方程.doc

2.1.1认识一元二次方程 一、学习目标：1一元二次方程的概念及它的一般形式2经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型学习重点：一元二次方程的概念学习难点： 求一般形式中的abc二、学习过程：课前热身：什么是一元一次方程、什么是二元一次方程？自主学习：阅读课本P31，回答问题：1 一元二次方程的概念：强调三个特征：它是_方程；它只含_未知数；方程中未知数的最高次数是_.一元二次方程的一般形式：_，在任何一个一元二次方程中，_是必不可少的项2.几种不同的表示形式：ax2+bx+c=0 (a0,b0,c0) _ (a0,b0,c=0)_ (a0,b=0,c0)_ (a0,b=0,c=0)课堂小结：1一分钟记忆1一元二次方程属于“整式方程”，其次，它只含有一个未知数，并且都可以化为_的形式其中_是定义的一部分，不可漏掉，否则就不是一元二次方程了。2一元二次方程必须化为一般形式_后，才能找它的项及系数。三、反馈检测：1、下列叙述正确的是（ ）A.形如ax2+bx+c=0的方程叫一元二次方程 B.方程4x2+3x=6不含有常数项C.(2x)2=0是一元二次方程 D.一元二次方程中，二次项系数一次项系数及常数项均不能为02、把方程(3x+2)24(x-3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.3、关于x的方程(k21)x2 2 (k1) x 2k 20,当k =_时，是一元二次方程,当k =_时，是一元一次方程4、当m=_时，方程是关于x的一元二次方程。5、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。（1）3x2=5x-1（2）(x+2)(x-1)=6（3）4-7x2=06、判断下列方程是不是一元二次方程,并说明理由。（1）x2-y=1 (2) 1/x2-3=2(3)2x+x2=3 (4)3x-1=0 (5) (5x+2)(3x-7)=15x2 （k为常数）(6)ax2+bx+c=0(7)四、布置作业：A组：习题 创新设计 B 组 习题 C组 背定义 五、教学反思：教师反思： 学生反思： 2.1.2认识一元二次方程 一、学习目标：1探索一元二次方程的解或近似解2培养学生的估算意识和能力3. 经历方程解的探索过程，增进对方解的认识，发展估算意识和能力学习重点：一元二次方程的解或近似解学习难点：一元二次方程的解或近似解二、学习过程：课前热身：1、什么叫一元二次方程？它的一般形式是什么？2、指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。（1）2x2x10(2)x210(3)x2x0(4)x20(5）（8-2x）(5-2x)=18P46花边问题中方程的一般形式：_你能求出x吗？（1）x可能小于0吗？说说你的理由；_（2）x可能大于4吗？可能大于2.5吗？为什么？1_（3）完成下表x00.511.522.52x213x11（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴交流。自主学习：通过估算求近似解的方法：8m先根据实际问题确定其解的大致范围，再通过具体的列表计算进行两边“夹逼”，逐步求得近似解。例题1：P31梯子问题梯子底端滑动的距离x（m）满足 (x6)272102一般形式：_（1）你认为底端也滑动了1米吗？为什么？（2）底端滑动的距离可能是2m吗？可能是3m吗？（3）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？x的整数部分是几？（4）填表计算：x11.52x212x15进一步计算xx212x15十分位是几？照此思路可以估算出x的百分位和千分位课堂小结：一分钟记忆：一元二次方程的一般形式三、反馈检测：1、一元二次方程有两个解为1和-1，则有 _，且有_.2、若关于x的方程有一个根为-1，则m=_.四、布置作业：A组：习题 创新设计 B 组 习题 C组 背定义 五、教学反思：教师反思： 学生反思： 2.2.1用配方法求解一元二次方程 一、学习目标：1、会用开平方法解形如(xm)2n (n0)的方程；2、理解一元二次方程的解法配方法3、把一元二次方程通过配方转化为(x十m)2n(n0)的形式，体会转化的数学思想。学习重点：用开平方法解形如(xm)2n (n0)的方程学习难点：理解一元二次方程的解法配方法二、学习过程：课前热身：配方：填上适当的数，使下列等式成立：（1）x212x_(x6)2（2）x24x_(x_)2（3）x28x_(x_)2从上可知：常数项配上_.自主学习：11、用直接开平方法解下列方程：（1）x29 （2）(x2)216 (3) (x+1)2144=0 (4) (2x+1)2=3 阅读书P53-54,解方程：x212x150（配方法）解：移项，得：_配方，得：_.（两边同时加上_的平方）即：_开平方，得：_即：_所以：_注意：用配方法解一元二次方程的基本思路：将方程转化为_ 的形式，它的一边是一个_，另一边是一个常数。当_时，两边_便可求出它的根；当_时，原方程无解.课堂小结：一分钟记忆（1）什么叫配方法？（2）配方法的基本思路是什么？（3）怎样配方？三、反馈检测：1一元二次方程x22xm=0，用配方法解该方程，配方后的方程为（ ）A.(x1)2=m2+1B.(x1)2=m1 C.(x1)2=1mD.(x1)2=m+12用配方法解方程:3、1）若x2+4=0，则此方程解的情况是_.2）若2x27=0，则此方程的解的情况是_.3）若5x2=0，则方程解为_4、由上题总结方程ax2+c=0(a0)的解的情况是：当ac0时_；当ac=0时_；当ac0时_.5、关于x的方程(x+m)2=n,下列说法正确的是( )A.有两个解x=B.两个解x=mC.当n0时，有两个解x= D.当n0时，方程无实根四、布置作业：A组：习题 创新设计 B组: 习题 C组: 背定义 五、教学反思：教师反思： 学生反思： 2.2.2用配方法求解一元二次方程 一、学习目标：1、利用配方法解数字系数的一般一元二次方程。2、进一步理解配方法的解题思路。学习重点：利用配方法解数字系数的一般一元二次方程学习难点：利用配方法解数字系数的一般一元二次方程二、学习过程：课前热身：用配方法解一元二次方程的步骤：（1）把一元二次方程化成_；（2）两边同除以_，使_化为1；（3）移项，方程的一边为_，另一边为_（4）配方：方程两边同时加上_，化为_ 的形式；（5）当_ 时，两边开平方便可求出它的根；当_时，原方程无解3、用配方法解下列方程：（1）x24x30 （2）x2-4x+12=0 自主学习：1第四环节：自主学习 合作探究例题：解方程：3x28x30解：两边都除以_，得：移项，得：配方，得：（方程两边都加上_的平方）开平方，得：所以:课堂小结：用配方法解一元二次方程的步骤：三、反馈检测：1、用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ）A，化为 B，化为C，化为 D，化为2、一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系：h15t5t2小球何时能达到10m高？四、布置作业：A组：习题 创新设计 B 组 习题 C组 背定义 五、教学反思：教师反思：学生反思：2.3.1用公式法求解一元二次方程 一、学习目标：1一元二次方程的求根公式的推导；2会用求根公式解一元二次方程。3.求根公式的条件：b24ac0。学习重点：会用求根公式解一元二次方程。学习难点：一元二次方程的求根公式的推导学习过程：二、学习过程：课前热身：用配方法解方程： (1)2x2+3=7x (2)3x2+2x+1=0 用配方法解方程 ax2bxc0(a0)自主学习 1、一般地，对于一元二次方程ax2bxc0(a0)，当b24ac0时，它的根是x注意：当b24ac0时，一元二次方程无实数根。2、公式法：上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。例：解方程：2x27x4（2）x2-x+2=0(3) 2x2-5x+4=0用公式法解一元二次方程的步骤：1） 化成一般形式；2） 确定a,b,c的数值；3） 求出b24ac的数值，并判别其是否是非负数；4） 若b24ac0，用求根公式求出方程的根，若b24ac0)的解，2）（x+m）2 = n (n0)的解2、配方：（1）x23x_(x_)2（2）x25x_(x_)23、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？4、用配方法解下列一元二次方程：（1）3x212x (2) 自主学习：例：小明：我的设计方案如图所示，其中花园四周小路的宽度相等。如图所示：（1）设花园四周小路的宽度均为xm，可列怎样的一元二次方程？（2）求出一元二次方程的解？（3）这两个解都合要求吗？为什么？2、小亮：我的设计方案如图所示，其中花园每个角上的扇形都相同。你能帮小亮求出图中的x吗？（1）设花园四角的扇形半径均为xm，可列怎样的一元二次方程？（2）估算一元二次方程的解是什么？（取3）（3）符合条件的解是多少？3、你还有其他设计方案吗？请设计出来与同伴交流。课堂小结：1、本节内容的设计方案不只一种，只要符合条件即可。2、一元二次方程的解一般有两个，要根据实际情况舍去不合题意的解三、达标检测：书P62随堂练习1【变式训练】书P44问题解决2 ： 1、课本P45联系拓广 2、书P44问题解决1、2、3四、布置作业：A组：习题 创新设计 B 组 习题 C组 背定义 五、教学反思：教师反思： 2.4 用因式分解法求解一元二次方程课 题24 用因式分解法求解一元二次方程课型新授课教学目标1能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的多样性。2会用因式分解法解某些简单的数字系数的一元二次方程。教学重点掌握用因式分解法解一元二次方程。教学难点灵活运用因式分解法解一元二次方程。教学方法讲练结合法教学后记教 学 内 容 及 过 程学生活动一、回顾交流课堂小测用两种不同的方法解下列一元二次方程。1. 5x-2x-1=0 2. 10(x+1) -25(x+1)+10=0观察比较：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？分析小颖、小明、小亮的解法：小颖：用公式法解正确；小明：两边约去x，是非同解变形，结果丢掉一根，错误。小亮：利用“如果ab=0，那么a=0或b=0”来求解，正确。分解因式法：利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。二、范例学习例：解下列方程。1. 5x2=4x 2. x(x-2)=x-2想一想你能用因式分解法解方程x2-4=0,（x+1）2 -25=0吗？三、随堂练习随堂练习 1、2四、课堂总结 利用因式分解法解一元二次方程，能否分解是关键，因此，要熟练掌握因式分解的知识，通过提高因式分解的能力，来提高用分解因式法解方程的能力，在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，如果没有再考虑公式法。五、布置作业P47 习题2.7 1、2、3板书设计：一、 复习二、 例题三、 想一想四、 练习五、 小结 六、 作业学生练习注：课本中，小颖、小明、小亮的解法由学生在探讨中比较，对照。概念：课本议一议，让学生自己理解。解：（1）原方程可变形为： 5x24x=0x(5x4)=0x=0或5x=4=0x1=0或x2=(2)原方程可变形为 x2x(x2)=0(x2)(1x)=0x2=0或1x=0x1=2，x2=1（1）在一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式时，就可用分解因式法来解。（2）分解因式时，用公式法提公式因式法。2.5一元二次方程的根与系数的关系教学目标：知识技能目标1.能说出根与系数的关系； 2.会利用根与系数的关系解有关的问题.过程性目标在经历观察、归纳、猜想、验证的这个探索发现过程中，通过尝试与交流，开拓思路，体会应用自己探索成果的喜悦. 情感态度目标1.通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程，养成独立思考的习惯； 2.通过交流互动，逐步养成合作的意识及严谨的治学精神.重点和难点：重点：一元二次方程两根之和，及两根之积与原方程系数之间的关系； 难点：对根与系数这一性质进行应用.教学过程：一、创设情境1请说出解一元二次方程的四种解法.2解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？(1)x22x0；(2)x23x40；(3)x25x60.方程让学生先解出方程的正确答案，再观察两解的和、积与原方程中的系数的关系，并加以证明.二、探究归纳方程x22x00220x23x401-4-3-4x25x602356可以得到；两个解的和等于一次项系数的相反数，两个解的积等于常数项.一般地，对于关于x的方程x2pxq0（p，q为已知常数，p24q一般地，对于关于x的方程x2pxq0（p，q为已知常数，p24q0），试用求根公式求出它的两个解x1、x2，算一算x1x2、x1x2的值，你能得出什么结果？与上面发现的现象是否一致.（此探索过程让学生分组进行交流、协作完成）探索过程结论：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项，这与上面的发现是一致的.三、实践应用例 1 已知关于x的方程x2pxq0的两个根是0和3，求p和q的值.解法一：因为关于x的方程x2pxq0的两个根是0和3，所以有解法二：由，方程x2pxq0的两个根是0和3，可得例2 写出下列方程的两根和与两根积： 课堂练习1.写出下列方程的两根和与两根积：2.已知关于x的方程x26xp22p50的一个根是2，求方程的另一个根和p的值.四、交流反思1.通过这节课的学习，掌握探索的步骤：观察归纳猜想证明；2.通过本节课探索出一元二次方程的根与系数的关系. 五、检测反馈1.已知关于x的方程x22xm2+m20的一个根是2，求方程的另一个根和m的值.2.写出下列方程的两根和与两根积：3.已知关于x的方程2x2mxm20有一个根是1，求m的值.六、布置作业习题2.8教学反思：2.6 应用一元二次方程（一）教学目标： 、掌握列出一元二次方程解应用题；并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性；、理解将一些实际问题抽象为方程模型的过程，形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题。教学过程：一、情境问题问题1、一根长22cm的铁丝。（1）能否围成面积是30cm2的矩形？（2）能否围成面积是32 cm2的矩形？并说明理由。分析：如果设这根铁丝围成的矩形的长是xcm，那么矩形的宽是_。根据相等关系：矩形的长矩形的宽=矩形的面积，可以列出方程求解。解：问题2、如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=3cm。点P沿边AB从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动。如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0t3）。那么，当t为何值时，QAP的面积等于2cm2? 解：二、练一练1、用长为100 cm的金属丝制作一个矩形框子。框子各边多长时，框子的面积是600 cm2？能制成面积是800 cm2的矩形框子吗？解：2、如图，在矩形ABCD中，AB=6 cm，BC=12 cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，几秒后PBQ的面积等于8 cm2？解：三、课后自测：1、如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从点A、C出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向点D移动。经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？2、如图，在RtABC中，AB=BC=12cm，点D从点A开始沿边AB以2cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DEBC，DFAC，问点D出发几秒后四边形DFCE的面积为20cm2？3、如图所示，人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处的位置O点的正北方向10海里外的A点有一涉嫌走私船只正以24海里/时的速度向正东方向航行，为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向，以26海里/时的速度追赶。在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问需要几小时才能追上（点B为追上时的位置）？4、如图，把长AD=10cm，宽AB=8cm的矩形沿着AE对折，使D点落在BC边的F点上，求DE的长。5、如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为a为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。（1）如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长是多少米？（2）能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。教学反思：2.6 应用一元二次方程（二）教学目标：知识技能目标通过探索，学会解决有关增长率的问题.过程性目标经历探索过程，培养合作学习的意识，体会数学与实际生活的联系. 情感态度目标通过合作交流进一步感知方程的应用价值，培养学生的创新意识和实践能力，通过交流互动，逐步培养合作的意识及严谨的治学精神. 重点和难点：重点：列一元二次方程解决实际问题. 难点：寻找实际问题中的相等关系.教学过程：一、创设情境我们经常从电视新闻中听到或看到有关增长率的问题，例如今年我市人均收入Q元，比去年同期增长x%；环境污染比去年降低y%；某厂预计两年后使生产总值翻一番由此我们可以看出，增长率问题无处不在，无时不有，这节课我们就一起来探索增长率问题二、探究归纳例1 阳江市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？分析翻一番，即为原净收入的2倍.若设原值为1，那么两年后的值就是2解 设原值为1，平均年增长率为x,则根据题意得解这个方程得 因为不合题意舍去，所以答这两年的平均增长率约为41.4%探索若调整计划，两年后的财政净收入值为原值的1.5倍、1.2倍、，那么两年中的平均年增长率相应地调整为多少？又若第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时可以实现市财政净收入翻一番？例2 为了绿化学校附近的荒山，某校初三年级学生连续三年春季上山植树，至今已成活了2000棵.已知这些学生在初一时种了400棵，若平均成活率95%，求这个年级每年植树数的平均增长率.（精确到0.1%）分析 至今已成活2000棵，指的是连续三年春季上山植树的总和.解 设这个年级每年植树数的平均增长率为x，则 第二年种了400(1+x)棵；第三年种了400(1+x)2棵；三年一共种了400400(1+x)400(1+x)2棵；三年一共成活了400400(1+x)400(1+x)295棵.根据题意列方程得400400(1+x)400(1+x)2952000解这个方程得x10.624=62.4%x2-3.624=-362.4%但x2=-362.4%不合题意，舍去，所以x=62.4%答这个年级每年植树数的平均增长率为62.4% .课堂练习1.某工厂准备在两年内使产值翻一番，求平均每年增长的百分率（精确到0.1%）2.某服装店花1200元进了一批服装，按40的利润定价，无人购买，决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完，经结算这批服装共盈利280元，若两次打折相同，问每次打了多少折？三、交流反思这节棵学习了两个有关增长率的问题，通过探索，掌握了增长率问题的解题方法，学会了解相同增长率和不同增长率的问题.四、检测反馈1.水果店花1500元进了一批水果，按50%的利润定价，无人购买.决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完经结算，这批水果共盈利500元.若两次打折相同，每次打了几折？（精确到0.1折）2.某服装厂为学校艺术团生产一批演出服，总成本3000元，售价每套30元有24名家庭贫困学生免费供应.经核算，这24套演出服的成本正好是原定生产这批演出服的利润这批演出服共生产了多少套？3.一件上衣原价每件500元，第一次降价后，销售甚慢，第二次大幅度降价的百分率是第一次的2倍，结果以每件240元的价格迅速出售，求每次降价的百分率是多少？五、布置作业习题2.10教学反思：