“简单的线性规划”一节中几个值得商榷的问题.doc

“简单的线性规划”一节中几个值得商榷的问题
文／李俭昌　顾向忠
　　现行高中新教材增添了“简单的线性规则”一节，这无疑将成为高中数学整个教学过程中一个新的亮点．通过对这一节的学习，可有力地帮助学生形成优良的学习品质，拉近数学学习与现实生活的距离，激发学生学习数学的兴趣．但笔者通过对这一节内容的教学，发现本节中有几个值得商榷的问题： 　问题1：目标函数的最值如何解释
　从目标函数的定义看，ｚ＝ａｘ＋ｂｙ（一般ａ、ｂ均不为零）是欲达到最大值或最小值所涉及的变量ｘ、ｙ的解析式．在如何解释当ｚ＝ａｘ＋ｂｙ经过最优解这点时的最值上，课本例题中，均采用先作直线ｌ：ａｘ＋ｂｙ＝0，然后平移至最优解达到最值．至于是最大值还是最小值，从课本Ｐ．61例3看，是“把直线ｌ向右上方平移至ｌ1的位置时，直线经过可行域中的点Ｍ（Ｍ是最优解），且与原点距离最大，此时ｚ＝600ｘ＋1000ｙ取得大值．”从Ｐ．63例4看，“作出一组平行直线ｘ＋ｙ＝ｔ中（ｔ为参数）经过可行域内的点且和原点距离最近的直线……”这时ｚ＝ｘ＋ｙ取最小值．
　这两个例题似乎给人以这样的感觉，直线到原点的距离最远，目标函数ｚ＝ａｘ＋ｂｙ达到最大值；距离最近，目标函数取最小值．其实不然，直线到原点的距离最远，有时，目标函数ｚ＝ａｘ＋ｂｙ，当ｚ＜0时，所取的却是最小值，反之亦然．

ｘ＋ｙ≥10，

例如，线性约束条件
ｙ≤10，
目标函数为ｚ＝ｘ－2ｙ，

ｘ－ｙ≤3，

　可行域为：

　当直线ｚ＝ｘ－2ｙ过Ａ点，直线到原点距离最小，但ｚ＝ｘ－2ｙ达最大值－1／2，而当直线ｚ＝ｘ－2ｙ过Ｂ点时，直线到原点距离最大，但ｚ＝ｘ－2ｙ达最小值－20．因此在这类问题的处理中，笔者认为，应将ｚ＝ａｘ＋ｂｙ（ｂ≠0）改写为ｙ＝－（ａ／ｂ）ｘ＋（ｚ／ｂ），其中－ａ／ｂ是斜率，为定值，而ｚ／ｂ是直线在ｙ轴上的截距，故当直线到原点的距离最远时，｜ｚ／ｂ｜达最大；距离最近时，｜ｚ｜／｜ｂ｜取最小，所以，目标函数何时最值是与ｚ的符号有关．而事实上，课本例题中“直线到原点距离最远，ｚ达最大，到原点距离最近，ｚ达最小”这句话的前提是ｚ＞0（此时｜ｚ／ｂ｜＝ｚ／｜ｂ｜）．
　问题2：如何进行近似运算
　近似运算在数学运算中很常见，一般有三种法则，即四舍五入，取整及进一法，那么在线性规划中该使用那种法则?教材Ｐ．62例3中有以下一段：
解方程组

5ｘ＋4ｙ＝300，
得Ｍ点的坐标为

ｘ＝360／29≈12．4，
4ｘ＋9ｙ＝360，
ｙ＝1000／29≈34．4．
　然而我们注意到其中的ｘ＝360／29＝12．41379…，ｙ＝1000／29＝34．48275…，按题目要求精确到0．1．
　如果四舍五入，则ｘ＝12．4，ｙ＝34．5；如果取整，则ｘ＝12．4，ｙ＝34．4；如果进一，则ｘ＝12．5，ｙ＝34．5．
　从教材所给结果看是采用取整运算法，那么取整运算法一定正确吗?教材在这里没有作任何说明．事实上，简单地采取取整法，显然不完全正确．在线性规划中近似运算至少遵循两个原则：①近似解应在可行域中；②使目标函数取最值．故教材所给的结果（12．4，34．4）是（12．4，34．4），（12．4，34．5），（12．5，34．4），（12．5，34．5）四个解中经过检验筛选所得．因而有许多资料也出现了近似运算的差错．同时又必须指出：如果将“精确0．1吨”理解为十分位整点，则本例题中（12．4，34．4）并不是最优解，例如（12．1，34．6）就更优．
　　问题3：关于整点最优解的运算
　线性规划的实质是解决实际问题，而实际问题中的许多元素一般都是自然数．因而对整点问题的教学应占有较大的比重．教材对整点问题虽有涉及，但力度明显不够，处理方法欠妥．
　从Ｐ．83例4看，目标函数为ｚ＝ｘ＋ｙ，它的非整点最优解为（18／5，39／5），这时ｚ＝ｘ＋ｙ＝57／5，由于题目中ｘ、ｙ是整数，因而ｚ＝ｘ＋ｙ是整数，结合可行域可知，使ｘ＋ｙ是整数之最小整数是12，即为ｘ＋ｙ＝12，这是一个关于ｘ、ｙ的不定方程，其中适合条件的ｘ、ｙ的解共有13组，（0，12），（1，11），（2，10），…，（12，0）这13组解中那些是整点最优解，应代回约束条件检验．但要注意到这几个整点中可能没有一个整点在可以域中，因此关于整点不定方程ｘ＋ｙ＝12，笔得认为应改为ｘ＋ｙ＝ｋ（ｋ≥12，ｋ∈Ｎ）分别对ｋ从12，13，……不断取值，从而检验出最优整点解．由此可以看出整点最优解的运算量较大，且易出差错，因此在实际教学中，教师应充分利用好线性规划这一节的特点，着力培养学生严肃的学习态度和一丝不苟的学习精神，利用课本所给的知识解好不定方程，并逐一验证寻找出最优整点解．同时应充分利用现代教学手段，借助多媒体将直角坐标系中的整点用网格线打出，让ｚ＝ａｘ＋ｂｙ目标函数动起来，通过直线的真正平移，寻找到整点最优解．