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教师如何设计探究过程引导学生认识从特殊与一般的关系，体会证明的必要性的
扬中市外国语中学 李顺华
《一元二次方程根与系数的关系》这节课的执教者——北京市景山中学许静老师在本节课教学流程中安排了四个环节：（1）复习回顾——引入新知；（2）探求新知——得到结论；（3）例题讲解——训练感悟；（4）归纳小结——建构知识。其中第二个环节是本节课的重点，在本环节中许老师设计了丰富多彩﹑趣味贴切的一些数学活动素材安排了大量时间运用这些素材进行探究活动；引导学生认识从特殊到一般的关系，进一步体会证明的必要性。
首先，利用一个学生较熟悉的实例（求矩形的周长和面积）引入新知，该例题特意安排方程的根是无理数，在计算周长和面积，学生感到不容易，但发现两根之和与两根之积很简洁。初步体会到两根之和与两根之积与方程的系数有密切的联系以及探求这种关系的必要性。选材切入点很好；问题的形成很自然。在处理过程中教师注意展示学生的思维特征：一般都是先求出两根，然后求出周长和面积，教师引导学生发现这个关系，进一步明确本节课研究的主题，从而激发了学生继续学习的兴趣。
紧接着教师给学生安排了四个方程让他们动手操作，独立求解方程再观察两根与系数的关系，初步猜测规律。为了回应个别学生的质疑，教师再让全班每个学生都写出一个一元二次方程再求根并观察规律（分四种情况列举：常数项为零﹑一次项系数为零﹑没有实根﹑二次项系数不为1的方程）学生再从各自不同的角度表达自己通过动手实际操作得到的结论来完善开始猜测的结论。
第三步进入质疑论证过程，虽然通过对几十个方程的计算和观察猜测出了一般结论（二次项系数为1），但是有限的实验结果能证明一般的结论吗？从而质疑学生能否得到一般的结论，学生仍然不能确定。此时，教师很自然的引导学生明确特殊与一般的关系，这样能深刻的体会到证明的必要性。
最后进一步提升即从首项系数为1的情况过渡到首项系数不为1的一般情况（在另一个层面上体会从特殊到一般的提升）学生很自然的想到利用前面的结论在方程两边同除以二次项系数即可把首项系数不为1的一般情况转化为首项系数为1的情况（这里又向学生渗透了“转化”的数学思想）再次体会特殊与一般，变中有不变的思想。
在这一教学环节许老师花了大量时间，给学生充分的时间和空间来探究结论，课堂中问题步步深入，引导学生思维，通过动手﹑动口﹑动脑来完成探究学习，由学生自己发现知识的产生过程，得到根与系数的关系，并作出归纳，加深了对新知识的理解，体验获得新知识的快乐。
在以上过程中，学生的思维经历了从朦胧到清晰的变化，从感知到理性的转化，学生的思维逐步完善，能力得到了提升；获取的数学思想终身受益。
2014-4-28