七年级数学-专题二-方程(组)、不等式(组)的应用华东师大版.doc

初一数学专题二 方程（组）、不等式（组）的应用华东师大版

【本讲教育信息】
一、教学内容
专题二 方程（组）、不等式（组）的应用

二、内容概要
一次方程与方程组、一元一次不等式（组）是历年中考命题的重点和热点. 主要以填空题、选择题、解答题、阅读创新题和应用题的题型出现，也会适当增加一些难度不大的应用性数学问题.
⑴代入法和加减法是解方程组的两种常规方法，在中考中也屡见不鲜，但主要是考查思想方法的应用，一般不直接考查如何解方程或方程组. 另外，运用方程组解决一些生活中的实际问题是中考热点.
⑵不等式的基本性质的准确应用及一次不等式（组）的解法. 用不等式（组）解决实际问题，如调配问题、最大利润问题、分析具体问题中蕴涵的不等关系、运用不等式（组）解决问题等，已成为中考热点.

三、知识点分析
1. 建立方程组模型解决实际问题
新课程越来越注重学生通过对问题情境的考查研究，自主建立数学模型，并进而解决问题，那么如何能很好的建立方程组的模型解决实际问题呢？本讲通过近年来的典型中考题将其分为如下几个模型来做个解读：⑴表格情境建模；⑵对话情境建模；⑶几何情境建模；⑷问题决策型建模.
2. 方程与不等式的交融
在近几年的中考试题中，常涉及到把方程与不等式嫁接在一起来解决的实际问题. 也就是说，这些应用题所显示的条件，除了含有方程中的等量关系外，还含有不等式中的不等量关系，这样的题目就需要列出混合式组来解答.
3. 卡通图中的中考题
随着新课标的实施，中考试题呈现出丰富多彩的形式，其中以卡通人物为素材的试题，迎合了青少年的心理特点，符合中学生的认知规律.这类试题融知识性和趣味性于一体，通过亲切的语言，诱人的问题，调节了考生的紧张心理.卡通型试题的显著特点是把条件隐含在人物的对话中，较好地考查了学生的阅读理解能力和分析、解决问题的能力.

【典型例题】
例1. 2009年“五·一”节，小华、小颖、小明相约到“心连心”超市调查“农夫山泉”矿泉水的日销售情况. 下图是调查后三位同学进行交流的情景.

请你根据上述对话，解答下列问题：
⑴该超市的每瓶“农夫山泉”矿泉水的标价为多少元；
⑵该超市今天销售了多少瓶“农夫山泉”矿泉水.

分析：本题以卡通图的形式向学生提供了矿泉水的销售情况，题型新颖别致，给人耳目一新的感觉. 通过图中三个同学对话的信息及温馨提示容易得到利润、售价、进价及利润率之间的数量关系，从而列出方程.
解：⑴设该超市的每瓶矿泉水的标价为元，根据题意得
，解得.
答：该超市的每瓶矿泉水的标价为1.5元.
⑵由⑴知每瓶售价为：元，∴销售量（瓶）.
答：该超市今天销售了300瓶“农夫山泉”矿泉水.

例2. 印尼中爪哇省发生强烈地震，给当地人民造成巨大的经济损失．某学校积极组织捐款支援灾区，初三（1）班55名同学共捐款274元，捐款情况如下表．表中捐款2元和5元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，请你帮助确定表中数据，并说明理由．

解析：从表格与题中提供的信息可发现有下面的精练的普通语言：
捐款1元人数+捐款2元人数+捐款5元人数+捐款10元人数=55
捐款1元的总钱数+捐款2元的总钱数+捐款5元的总钱数+捐款10元的总钱数=274
由问题设捐款2元的人数为人，捐款5元的为人，则可建立如下的方程组模型：
解之得

例3. 小英和小强相约一起去某超市购买他们看中的随身听和书包．你能根据他们的对话内容（如图），求出他们看中的随身听和书包单价各是多少元吗？

解析: 从对话情境可知精练的普通语言：
随身听的单价=4×书包的单价－8
随身听+书包的单价=452元
由问题设随身听的单价为元，书包单价为元，则可建立如下的方程组模型：
解之得：

例4. 扬子江药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示.如果长方体盒子的长比宽多4cm，求这种药品包装盒的体积.

解析: 要求这种药品包装盒的体积，应该先求长、宽、高.从几何图形（试模仿制作立方体图）可以发现精练的普通语言：
高+宽+高+宽=14 高+长+高=13
设这种药品包装盒的宽为，高为，则长为，则可建立如下的方程组模型：解之得：，故宽为，高为，长为，
故体积为

例5. 某厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价格：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元
⑴这家商场同时从该厂购进其中两种不同型号电视机共50台，正好用去9万元，请你设计出几种不同的进货方案，并说明理由
⑵商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？
解析: ⑴分成三种情况讨论：①买甲乙两种、②买乙丙两种、③买甲丙两种
①设购进甲种台，乙种台，则列方程组为
解之得
其它情况与此类似，
②乙种87.5台,丙为－37.5台（不合题意舍去）
③甲种35台，丙种15台
⑵方案一：获利元；
方案二：获利元，所以方案二获利最多.

例6. 将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．
解析：设有个小朋友,个苹果.
根据“每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果”易知，；由“每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分不到8个苹果”可知，.

把①代入②，并转化成不等式组，得
解这个不等式组，得. ∵ 为正整数 ∴=5或6.
当=5时，人；当=6时，人.
答：当小朋友有5人时，这一箱苹果有37个；小朋友有6人时，这一箱苹果有42个.

例7. 为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维护交通秩序．若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人．求这个中学共选派值勤学生多少人？共有多少个交通路口安排值勤？
解析: 设这个学校选派值勤学生人,共到个交通路口值勤.
根据条件“每一个路口安排4人，那么还剩下78人”可知；再由“若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人”易知.
故由题意，得

将①代入②, 得，解得，19.5< ，
根据实际意义应为整数，所以=20,此时=158．
答：学校派出的是158名学生,分到了20个交通路口安排值勤．

例8. 根据对话的内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少元？

解析: 设一盒饼干的标价为x元，一袋牛奶的标价为y元.
根据“小朋友，本来你用10元钱买一盒饼干是够的，但要再买一袋牛奶就不够了！”这句话知且；再由“今天是儿童节，我给你买的饼干打9折，两样东西请拿好！还有找你的8角钱.” 这句话可知，.

由②得 ④，把④代入①，得
解得，，再由③得8＜x＜10 . ∵一盒饼干的标价是整数元，∴x=9.
将代入④，得.　
答：一盒饼干的标价为9元，一袋牛奶的标价为1.1元．

例9. 一商场计划到计算器生产厂家购进一批A、B两种型号的计算器．经过商谈，A型计算器单价为50元，100只起售，超过100只的超过部分，每只优惠20％；B型计算器单价为22元，150只起售，超过l50只的超过部分，每只优惠2元．如果商家计划购进计算器的总量既不少于700只，又不多于800只，且分别用于购买A、B这两种型号的计算器的金额相等，那么该商场至少需要准备多少资金?
析解: 设购买A型计算器只，购买B型计算器只. 由于商家计划购进计算器的总量既不少于700只，又不多于800只，所以. 根据“A型计算器单价为50元，100只起售，超过100只的超过部分，每只优惠20％”知，购买只A型计算器需要资金；再由“B型计算器单价为22元，150只起售，超过l50只的超过部分，每只优惠2元”可知，购买只B型计算器需要资金.由于购买A、B这两种型号的计算器的金额相等，所以.
故由题意，得

把②代入①得，，解得.
设该商场所需资金为元，则
.
因为为整数，且随的增大而增大，所以当=222时，的最小值为19760元.
答：该商场至少需要准备资金19760元.

四、本讲数学思想方法的学习
1. 用方程（组）和不等式（组）的有关知识解决生活中的一些实际问题，是近几年来各地中考的热门题型，在平时的学习和复习中，一定要加强这些方面的训练，读懂题意，巧设未知数，掌握解这些问题的基本技巧和基本思想方法.
2. 一元一次不等式（组）常常与方程的有关知识结合在一起，有一定的难度，希望大家一定要加强训练，提高解题能力.

【模拟试题】（答题时间：40分钟）
1. 如图是某年6月份的日历，如图中那样，用一个圈竖着圈住3个数.如果被圈的三个数的和为39，则这三个数中最大的一个为 20 .

2. 小明去文具店购买2B铅笔，店主说：“如果多买一些，给你打8折”，小明测算了一下. 如果买50支，比按原价购买可以便宜6元，那么每支铅笔的原价是多少元？
3. 某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆. 现在停车场有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费230元，问中、小型汽车各有多少辆？
4. 农科所向农民推荐渝江Ⅰ号和渝江Ⅱ号两种新型良种稻谷.在田间管理、土质和面积相同的条件下，Ⅱ号稻谷单位面积的产量比Ⅰ号稻谷低20%，但Ⅱ号稻谷的米质好，价格比Ⅰ号高.已知Ⅰ号稻谷国家的收购价是1.6元/千克.
（1）当Ⅱ号稻谷的国家收购价是多少时，在田间管理、土质和面积相同的两块田里分别种植Ⅰ号、Ⅱ号稻谷的收益相同？
（2）去年小王在土质、面积相同的两块田里分别种植Ⅰ号、Ⅱ号稻谷，且进行了相同的田间管理.收获后，小王把稻谷全部卖给国家.卖给国家时，Ⅱ号稻谷的国家收购价定为2.2元/千克，Ⅰ号稻谷国家的收购价未变，这样小王卖Ⅱ号稻谷比卖Ⅰ号稻谷多收入1040元，那么小王去年卖给国家的稻谷共有多少千克？
5. 某同学在A、B两家超市发现他看中的英语学习机的单价相同，书包单价也相同，英语学习机和书包单价之和是452元，且英语学习机的单价比书包单价的4倍少8元.
（1）求该同学看中的英语学习机和书包单价各是多少元？
（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打7.5折销售；超市B全场购物满100元返购物券30元（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的英语学习机、书包，那么在哪一家购买更省钱？
6. 小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示.根据图中的数据（单位：）解答下列问题：

（1）用含的代数式表示地面总面积；
（2）已知客厅面积比卫生间面积多，且地面总面积是卫生间面积的15倍.若铺地砖的平均费用为80元，那么铺地砖的总费用为多少元？
7. 母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒. 从图中信息可知一束鲜花的价格是____元.

8. 青青商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元.
（1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件恰好用去2700元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润（利润=售价－进价）不少于750元，且不超过760元，请你帮助该商场设计相应的进货方案；
（3）在“五·一”黄金周期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动：

按上述优惠条件，若小王第一天只购买甲种商品一次性付款200元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款324元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？（通过计算求出所有符合要求的结果）

【试题答案】
1. 解：设中间的一个数为x，则最大的一个数为x+7，最小的一个数为x－7.由题意得：
（x－7）+x+（x+7）=39，解得x=13，x+7=20，故最大的一个数为20.
说明：本题首先从特殊情形获得启发，然后推出一般的结论，这种由特殊到一般的思维方法是命题热点之一.
2. 解：设每支铅笔的原价是x元，则依题意得：50x（1－0.8）＝6，解得x＝0.6.
答：每支铅笔的原价是0.6元.
3. 解：设中型汽车有x辆，则小型汽车有（50－x）辆. 根据题意，得6x+4（50－x）=230.
解这个方程，得x=15.所以50－x=35.
答：中型汽车有15辆，小型汽车有35辆.
4. 解：（1）由题意，得（元）；
（2）设卖给国家的Ⅰ号稻谷千克，根据题意，得.
解得，（千克），（千克）.
答：（1）当Ⅱ号稻谷的国家收购价是2元时，种植Ⅰ号、Ⅱ号稻谷的收益相同；
（2）小王去年卖给国家的稻谷共为11700千克.
5. 解析：设书包的单价为x元，英语学习机的单价为y元.
根据题意，得解得
答：该同学看中的英语学习机单价为360元，书包单价为92元.
（2）在超市A购买英语学习机与书包各一件，需花费现金：（元）；
因为，所以可以选择在超市A购买.
在超市B可先花费现金360元购买英语学习机，再利用得到的90元购物券，加上2元现金购买书包，总计共花费现金：（元）；
因为，所以也可以选择在超市B购买.
但是，由于，所以在超市A购买英语学习机与书包更省钱.
6. 解析：（1）观察图形知道：地面由四部分组成，卧室、厨房、客厅、卫生间，其面积分别为：3×（2＋2）＝12、2×（6－3）＝6、6x、2y，所以地面总面积为：.
（2）由题意，得
解得
地面总面积为：.
所以，铺地砖的总费用为（元）.
7. 解析：由图示可以看出，一束鲜花和两个礼盒共计55元，两束鲜花和三个礼盒共计90元，所以，可设每束鲜花为x元，则每个礼盒为y元，由题意得：

解之得：
所以，一束鲜花的价格是15元.
8. 解析：（1）设该商场能购进甲种商品件，根据题意，得

乙种商品：（件）
（2）设该商场购进甲种商品件，则购进乙种商品件.根据题意，得

因此，不等式组的解集为；根据题意，的值应是整数，或或
该商场共有三种进货方案：
方案一：购进甲种商品48件，乙种商品52件，
方案二：购进甲种商品49件，乙种商品51件，
方案三：购进甲种商品50件，乙种商品50件.
（3）根据题意，得
第一天只购买甲种商品不享受优惠条件 （件）；第二天只购买乙种商品有以下两种情况：
情况一：购买乙种商品打九折，（件）
情况二：购买乙种商品打八折，（件）
一共可购买甲、乙两种商品（件）或（件）