七年级数学专题四-再谈一次方程组与不等式(组)-华东师大版.doc

初一数学专题四 再谈一次方程组与不等式(组) 华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：专题四 再谈一次方程组与不等式(组)二、知识点分析1. 挖掘一次方程组蕴涵的思想方法“转化”思想 “转化”思想就是将复杂的、陌生的问题迁移为简单的、熟悉的问题进行求解，这是学习新知识，研究新问题的一种基本方法.本章中二元一次方程组的解法的实质就是借助“消元”（加减消元和代入消元是两种最常见的消元方法）的方法将“二元”转化为“一元”.方程的思想将数量关系转化为方程（组）的形式，通过解方程（组）使问题得以解决的思维形式就是方程的思想，本章中有关计算和解决有关应用题将运用这种思想。用方程的思想解决往往比用其它方法简捷、方便得多。整体思想当一个问题中未知数较多，一个一个求解比较复杂，或有时不能求解时，可将其中满足某一共同特性的某一个固定代数式看作一个整体，在运算和求解时整体参与，这样有时可使运算简捷，这种方法是整体思想的体现，解方程组时有时也需用到这种思想和方法.数形结合的思想“换元”思想换元法在初中代数中的应用非常广泛，它通过用一个字母表示一个整体进行变量替换，将形式简化，将问题转化，从而起到化繁为简，化隐为显，化难为易的目的，本章中呈现形式较复杂的一些方程组的解法多采用这种方法。2. 利用数轴确定不等式（组）中待定字母的取值已知一个不等式（组）的解的情况，求其待定字母的取值，是一类灵活性较强的问题.利用数轴通过“数”与“形”的结合来解决问题将会减少理解上的难度，更能直观地求出字母的取值范围。近几年，各地的中考试题中经常涉及到这一类问题，本讲将从几道例题的解法来介绍利用数轴解决这类问题的方法，希望对大家能有所帮助.三、典型例题例1. 解方程组分析1: 由于中x系数为1,可将变形为x=-2y-2，然后将代入,消去x，得到关于y的一元一次方程.从中求出y，然后将y代入中求x. 解法1: 由得x=-2y-2, 代入中得7(-2y-2)-4y=-41,y=.将y=代入中得x=-5.说明:本题通过“代入”达到消元的目的，将解二元一次方程组的问题转化为解一元一次方程的问题.分析2：和中y的符号相反，且系数成2倍关系，故将2+可消去y.解法2：2+得9x=-45,x=-5.将x=-5代入中得y=.说明：本题通过“加减消元”，同样将解二元一次方程组的问题转化为解一元一次方程的问题.例2. 已知与是同类项,求m、n的值.分析: 同类项要求相同字母的指数相同,故有解这个方程组可求得m、n.解: 依题意有解得说明:本题运用了转化的思想.第一,根据同类项的意义,将求解问题转化为解关于m、n的二元一次方程组的问题.第二,运用“消元”的方法，将解二元一次方程组问题转化为解一元一次方程问题，当然本题还运用了方程的思想.例3. 古代有这样一个寓言故事：驴子和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的.驴子抱怨负担太重，骡子说：“你抱怨干吗？如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多！”那么驴子原来所驮货物的袋数是()A.5B.6C.7D.8分析：此题中有两个未知量驴子和骡子各驮的货物的袋数.问题中有两个等量关系：骡子驮袋数+1袋=2（驴子驮的袋数-1袋）;骡子驮袋数-1袋=驴子驮的袋数+1袋.解: 设驴子驮x袋,骡子驮y袋,根据题意, 得解这个方程组,得答:驴子驮5袋,骡子驮7袋.故选A.说明：列方程（组）解应用题是方程思想在数学中的最典型、最基本的体现，也是方程思想反映的最常见的题型，是中考必考查的考点.例4. 某班春游，上午8时从学校出发，先沿平路到山脚下，再爬到山顶，在山顶停留1个半小时，沿原路返回学校时已是下午3时30分，已知平路每小时行4千米，上山速度是平路的，下山速度是上山的2倍，求所行全程.分析：设全程中平路为2x千米，上、下山路各为y千米，则平路所用的时间为小时，上山时间为小时，下山时间为小时，而总时间为15.5-8-1.5=6小时，得到方程+=6.从而求解.解：设全程中平路为2x千米，上、下山路各为y千米，依题意有+=6.6x+2y+4y=72,所以2x+2y=24.答：全程为24千米.例5. 小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图1所示，小红看见了，说：“我来试一试”.结果小红七拼八凑,拼成如图2所示的正方形,中间还留下一个洞,恰好是边长为2mm的小正方形!你能算出每个长方形的长和宽是多少吗?分析: 本题有两个未知量长方形的长与宽.观察图形得到两个等量关系:由图1得:长的3倍等于宽的5倍;由图2得:长的2倍+2=长+宽的2倍.解: 设长方形的长为xmm,宽为ymm,根据题意,得整理,得解得答:这些小长方形的长为10mm,宽为6mm.说明:本题巧妙地运用了两个拼图,建立起小长方形的长与宽的关系,它体现了数与形之间的相互关系,打破了用语言描述两个量之间关系的常规,渗透了数形结合的数学思想.例6. 如图,在长方形ABCD中,AB=8cm，BC=6cm且BEC的面积比DEF的面积大5,求的DF长.分析: 本题是数形结合题,未知数只有一个,若直接设DF的长为x,不易找出等量关系,可以分步来解,如设BEC的面积为x,DEF的面积为y,梯形ABED的面积为z，则有从中求出ABF的面积y+z=43，再求DF就容易了.解: 设BEC的面积为x,DEF的面积为y,梯形ABED的面积为z，梯形的面积为依题意,得-得y+z=43，即ABF的面积为43.设DF的长为a,有答: DF的长为注意:本题综合性较强，涉及到的知识有三角形的面积、长方形的面积、看图识图、列方程等.本题解方程组有一定的技巧，要求整体求解.解题思路超出常规，要求我们认真理解题意，努力探索解题方法.例7. 解方程组解：设，则原方程组变为+9得17u=68，u=4.将u=4代入中得v=2.解得说明:本题借助换元的方法,将复杂的方程组转化为简单的方程组来解决.例8. 不等式的负整数解只有2个.求m的范围.解析：的解集为：.因为不等式的负整数解只有2个.则借助于数轴知：只能在-3与-2之间，并且可以等于-3.即：-3-2.故m的范围是：-11m-8.例9. 如果不等式组 无解，则m的取值范围是 .解析：不等式2x-40的解集为x2，借助于数轴分析，如图，可知m2.例10. 不等式组有解，则（ ）.A. m2 B. m2 C. m1 D. 1m2解析：借助下图，可以发现：要使原不等式组有解，表示m的点不能在2的右边，也不能在2上，所以，m2.故选（A）.例11. 若不等式组的解集中的任何一个x的值均不在x内，则a的范围是.解析：解不等式组，得axa+1，借助下图可知，满足条件的a的取值范围应是：a+12或a5.即a的范围是：a1或a5.例12. 已知不等式组的整数解只有3、4.求a和b的范围.解析：解不等式组得，借助于数轴，如下图知：2+a只能在2与3之间.只能在4与5之间.所以：22+a3 45所以：0a1， 9b11.四、本讲数学思想方法的学习1. 数学思想方法是解题的灵魂，在解与一次方程组有关的题型中，要体会这些思想方法的应用.2. 已知不等式（组）解集，求有关字母的取值范围，画数轴运用数形结合的思想可以顺利地解决此类问题.【模拟试题】（答题时间：60分钟）一、解下列方程组：1.解方程组.2.解方程组3.解方程组4.解方程组5.解方程组6.解方程组7.解方程组.8.解方程组.二、一次方程（组）的应用：9.工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？10.某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅.经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐.求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由. 三、求不等式（组）中字母的取值范围：11. 已知不等式组的解集为2，则（ ）A.2 B.2 C.2 D.212. 若关于的不等式组的解集为2，则的取值范围是 .13. 如果不等式组无解，则的取值范围是 .【试题答案】一、解下列方程组：两个方程的常数项相同1. 解方程组.解析：这样的方程组的解法是将两个方程相减后再用代入消元法求解.由得，整理得.再用代入消元法解得.有一个为未知数的系数相差2. 解方程组解析：这样的方程组的解法是两个方程相减后用代入法求解.由整理得,用代入消元法解得.两个未知数的系数之差相等或互为相反数3. 解方程组解析：这样的方程组的解法是两个方程相减后用代入法求解.由整理得.再用代入消元法解得.两个未知数的系数之和相等且系数互换4. 解方程组解析：这样的方程组的解法是两个方程相加、相减后用得到的简单的方程组求解.由整理得.;由整理得.解、组成的方程组得.方程组中某一未知数的系数成倍数关系5. 解方程组解析：方程变形为3x47;方程可以变形为23719.把“347”整理代入上式，消去，解得5，代入方程，求得9.所以原方程组的解为.方程组的两个方程中均含有相同的某一未知数的代数式6. 解方程组解析：方程组的两个方程中含有相同的代数式2，采用整体代入，消.将代入，得43（1）12,解得0，将0代入方程，求得1.所以,原方程组的解为.有方程是比例的形式7. 解方程组.解析：方程组中含有比例的形式,通常是设出比例系数，将两个未知数用表示,再求解.本题可设,得x=5k-1,y=2k+3.将中的两式代入方程,得3(5k-1)+4(2k+3)=32.解关于k的方程,得k=1.将代入.解得，. 换元法解法是设出比例系数，将两个未知数用表示，再求解.8. 解方程组.解析：注意到两个方程中含有同样结构（）、（），可以设，；原方程组变为.解这个较为简单的方程组，得，所以得到新方程组，解得.二、一次方程组的应用：9. 解：设进价为x元,标价为y元.可得方程组:，解得答：进价为155元,标价为200元.10. 解:设1个大餐厅可供名学生就餐，1个小餐厅可供名学生就餐，根据题意，得解这个方程组，得答：1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐. 因为，所以如果同时开放7个餐厅，能够供全校的5300名学生就餐. 三、求不等式（组）中字母的取值范围：11. 解：由1，解得5，即6，2.于是原不等式组可简化为：，且不等式组的解集为：2，根据数轴，必有2.故选B.12. 解：由，解得，2.又0，即.于是原不等式组可简化为：，且该不等式组的解集为2，根据数轴可知，必有2，即.所以的取值范围为.13. 解：由0，解得.又由0，得，于是原不等式组可简化为：，由于该不等式组无解，结合数轴，可知.即的取值范围为.