七年级数学元一次不等式(组)复习华东师大版.doc

初一数学元一次不等式（组）复习华东师大版

【本讲教育信息】
一、教学内容：
一元一次不等式（组）复习

二、知识要点
1. 知识点概要
（1）了解不等式的意义，能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义；
（2）通过类比，猜测，验证发现不等式性质的探索过程，掌握不等式的基本性质；
（3）理解不等式（组）解与解集的含义，会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示一元一次不等式的解集.会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，会在数轴上确定解集，体会数形结合思想.
（4）根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式（组），解决简单的实际问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.
2. 重点难点
（1）重点：理解一元一次不等式组的解集，掌握一元一次不等式（组）的解法.
（2）难点：由已知不等式组解集确定字母的取值范围.解一元一次不等式组及其应用.

三、考点分析
1. 基本概念
（1）不等式：用不等号表示不等关系的式子叫不等式.在此定义中要正确理解常用不等号的意义.
（2）不等式的解：能够使含有未知数的不等式成立的未知数的每一个值都叫做不等式的解.
不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集.
可见，同一个不等式的解和解集是不同的，解是指适合不等式的一个一个的数，而解集是指适合不等式的解的全体.例如，不等式x＋3＜6，2是它的一个解，而它的解集是x＜3的所有数.
（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式.
（4）一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，两边是整式的不等式，叫一元一次不等式.其最简形式为ax＞b，或ax＜b（a≠0）.
（5）一元一次不等式组：几个未知数相同的一元一次不等式所组成的不等式组叫做一元一次不等式组.
（6）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分叫做由它们组成的一元一次不等式组的解集.
（7）解一元一次不等式组：求一元一次不等式组解集的过程叫做解一元一次不等式组.
2. 不等式的性质
（1）不等式的性质1：不等式两边都加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变.即如果a＞b，那么a＋c＞b＋c，a－c＞b－C.
（2）不等式的性质2：不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变.即如果a＞b，并且c＞0，那么ac＞bC.
（3）不等式的性质3：不等式两边都乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变.即如果a＞b，并且c＜0，那么ac＜bC.
3. 规律总结
（1）不等式（组）的解集在数轴上的表示方法：
“大向右，小向左，有等号是实点，无等号是空圈”.
（2）一元一次不等式的解法：
解一元一次不等式与一元一次方程基本相同，首先根据不等式的性质把复杂的不等式转化为它的最简形式ax＜b，或ax＞b（a≠0），然后系数化为1.其步骤可概括为两句话：“去括号，移项并项两边除”；不同的是，在最后一步系数化为1时，如果不等式的未知数的系数是负数，不等号的方向一定要改变，即基本性质3.
（3）解一元一次不等式组的方法：
一元一次不等式组的解法与一次方程组的解法不同，方程组的解法是消元，而一元一次不等式组的解法是先分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后再找出各个解集的公共部分.
（4）求几个不等式解集的公共部分的方法：
一是数轴法，二是口诀法.
①数轴法：将不等式组中每个不等式的解集在数轴上表示出来，公共部分就是这个不等式组的解集，无公共部分就说这个不等式组无解.
②口诀法：
； ； ； .
4. 一元一次不等式（组）的应用：
利用列不等式组解决实际问题的步骤与列一次方程组解应用题的步骤大体相同，不同的是后者寻求的是等量关系，列出的是等式，前者寻求的是不等量关系，并且解不等式组所得的结果通常为一解集，需从解集中找出符合题意的答案.

【典型例题】
例1. 选择题
（1）如果－a＜2，那么下列各式中正确的是（ ）
A. a＜－2 B. a＞2 C. －a＋1＜3 D. －a－1＞1
（2）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. －a＞－b D. a－b＞0
（3）若a＜0，关于x的不等式ax＋1＞0的解集是（ ）
A. B. C. D.
（4）若x是任意实数，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A. 3x＞2x B. C. 3＋x＞2 D.
解：（1）C. （2）D. （3）D. （4）D.
说明：（1）解答本题的关键是对不等式基本性质的理解和掌握程度.在运用不等式三条基本性质求解后，再加以筛选.
（2）对有的选择题，如果直接求解困难或过繁，可用特殊值帮助筛选，以便减少答题时间，如（4）可取x＝－1，0，分别淘汰A、C、B，故选D.

例2. 解不等式.
分析：既含分母又有小数的不等式，可将小数化为分数，也可将分数化为小数，但后者有可能出现无限小数，会使运算答案不正确，常将小数全部化为分数后再解.
解：小数化为分数，得，
去分母，得4（2x－1）－6（3x－5）－2（x＋1）＋3×5＞0，
去括号，得8x－4－18x＋30－2x－2＋15＞0，
合并同类项，得－12x＋39＞0，
移项，得－12x＞－39，
系数化为1，得.

例3. 解不等式组
分析：在解不等式②时要注意去分母时括号的正确使用，如0.2（x－3）－0.5（x＋4） ≤－1.4；本题也可先化小数系数为整数系数，如.
解：
解不等式①，得x＜－3；
解不等式②，得x≥－4，
∴不等式组的解集为－4≤x＜－3.

例4. 求不等式组的非负整数解.
解：由不等式2x＋1＜3x＋3，
得x＞－2；
由不等式，
得x≤5，
所以原不等式组的解集是－2＜x≤5，它的非负整数解为0，1，2，3，4，5这六个数.
说明：对解答的不等式（组）的解集，在数轴上表示出来，可彻底解决漏解现象.如本例中，将所得不等式组的解集在数轴上表示成如下图，显然其非负整数一目了然，为0，1，2，3，4，5.

例5. 已知不等式组与的解相同，求a的值.
分析：将两个不等式组解表示出来，再比较.
解：，
可化为，
解不等式组，
得－2＜x＜1，
而两不等式组的解相同，
故－2＜x＜a－4.
从而a－4＝1，
故a＝5.

例6. 已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是__________.
分析：这种题型最好的方法是画数轴，可直观地找到答案，注意字母包括还是不包括那个点.
解：原不等式组可化为，
因为不等式组无解，
所以x≤3，x＞a没有公共部分，
即a≥3.

例7. 如果不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a、b各是什么数？
分析：不等式①的解集是，不等式②的解集是，由于a、b两数待求，故不能在数轴上表示.但题目条件有不等式组的整数解仅为1，2，3，即本不等式组不但有解，而且有三个整数解，根据“公共部分”的原则，在数轴上有如下图的表示.由图易知，即a取1，2，3，4，5，6，7，8，9九个整数；，即b取25，26，27，28，29，30，31，32八个整数.

说明：上述问题属于根据不等式（组）解的情况，确定不等式中的某个参数的范围这一类问题，这类问题如果没有数轴引入，确定参数的范围是比较困难的.因此，借助于数轴，使数与形有机地结合起来.

例8. 在方程组中，若未知数x、y满足x＋y＞0，则m的取值范围是（ ）
A. m＞3 B. m＜3 C. m≥3 D. m≤3
分析：此题是不等式与方程组的综合题，一般解法是先解方程组，求出x，y（用含有m的式子表示），再根据x＋y＞0列出关于m的不等式，然后解不等式即可得解.
解法1：

解法2：

说明：对于这类题目不要急于求出x，y的值，要观察所给方程组的特点，考虑用整体的思想解题，如解法2.

例9. 甲、乙、丙三个班向希望工程捐赠图书，已知甲班有1人捐6册，有2人捐7册，其余各捐11册；乙班有1人捐6册，有3人捐8册，其余的人各捐10册；丙班有2人各捐4册，6人各捐7册，其余人各捐9册.已知甲班捐书总数比乙班多28册，乙班比丙班多101册，各班捐书总数在400～550册之间，问各班各有多少人？
分析：本题是求甲、乙、丙三个班的人数，为此可先估算甲班人数.
解：先估算甲班人数，由题意，甲班比丙班多捐28＋101＝129（册），而丙班捐书不少于400册，则529≤1×6＋2×7＋11（x－3）≤550，
∴，
故x可取50或51.
下面再逐一核算.如果甲班有50人，则甲班共捐书1×6＋2×7＋11（50－3）＝537（册），这样乙班人数应有（人），人数应为整数，所以不合题意，因此甲班应有51人.甲班共捐书1×6＋2×7＋11（51－3）＝548（册），丙班有（548－129－4×2－7×6）÷9＋8＝49（人），这里乙班共有（548－28－6－8×3）÷10＋4＝53（人）.

例10. 惊闻5月12日四川汶川发生强烈地震后，某地民政局迅速地组织了30吨食物和13吨衣物的救灾物资，准备于当晚用甲、乙两种型号的货车将它们快速地运往灾区.已知甲型货车每辆可装食物5吨和衣物1吨，乙型货车每辆可装食物3吨和衣物2吨，但由于时间仓促，只招募到9名长途驾驶员志愿者.
（1）3名驾驶员开甲种货车，6名驾驶员开乙种货车，这样能否将救灾物资一次性地运往灾区？
（2）要使救灾物资一次性地运往灾区，共有哪几种运货方案？
解：（1） ∵3×5+6×3=33＞30，3×1+6×2=15＞13，
∴3名驾驶员开甲种货车，6名驾驶员开乙种货车，这样能将救灾物资一次性地运到灾区．
（2）设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车（9–x）辆，
由题意得：
解得：1.5≤x≤5
注意到x为正整数，∴x=2，3，4，5
∴安排甲、乙两种货车方案共有下列4种：
方案一：2辆甲种货车，7辆乙种货车；方案二：3辆甲种货车，6辆乙种货车；方案三：4辆甲种货车，5辆乙种货车；方案四：5辆甲种货车，4辆乙种货车.

五、本讲数学思想方法的学习
1. 数形结合思想
在数轴上表示不等式（组）的解集是数形结合的具体体现，在数轴上表示解集比在数轴上表示数又进了一步，本章中把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，可以形象、直观地看到不等式有无数个解，并且易于确定不等式组的解集.
2. 转化思想
转化思想是初中数学中常见的一种数学思想方法，它的应用十分广泛，我们在解题时，经常运用转化的思想，将复杂的问题转化为简单的问题，将未知转化为已知，将生疏的问题转化为熟悉的问题.如解不等式中先将复杂的不等式转化为最简形式，将不等式组的问题转化为不等式，将实际问题转化为数学问题等.
3. 数学方法
本章所应用的数学方法主要是类比方法.类比方法是指在不同的对象之间，或者在事物与事物之间，根据它们的某些方面的相似之处进行比较，通过类比可以发现新旧知识之间的相同点和不同点，有助于利用已有的知识去认识新知识和加深理解新知识，如学习不等式的性质应与等式的性质进行类比，学习一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法进行类比等.

【模拟试题】（答题时间：60分钟）
一、选择题（每小题4分，共32分）
1. a是任意有理数，下列判断一定正确的是（ ）
A. a＞－a B. C. D.
2. 不等式3x－1＞0的解集是（ ）
A. x＞3 B. x＜3 C. D.
3. 在方程组中，若未知数x，y满足x＋y＞0，则m的取值范围在数轴上表示应是 （ ）

4. 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，下列式子中正确的是（ ）

A. b＋c＞0 B. a＋b＜a＋c C. ac＞bc D. ab＞ac
5. 满足不等式组的整数m的值有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6. 使代数式的值不大于3x＋5的值的x的最大整数值是（ ）
A. 4 B. 6 C. 7 D. 不存在
7. 不等式2x－5≤0的正整数解有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个
*8. 已知三个数：3、1－2m、8，如果任意两个数的和都大于第三个数，则m的取值范围是（ ）
A. B. －5＜m＜－2 C. －2＜m＜5 D.

二、填空题（每小题4分，共24分）
9. 若a＞b，则.
10. 不等式3（x＋1） ≥5x－3的正整数解是_________.
*11. 已知不等式4x－a≤0的正整数解是1，2，则a的取值范围是_________.
*12. 若a＜b＜0，把1、1－a、1－b这三个数按由小到大的顺序用“＜”连接起来：_________.
*13. 若不等式组无解，则m的取值范围是_________.
14. 小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，那么小明最多能买_________支钢笔.

三、解答题（共44分）
15.（10分）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来.
16.（10分）已知，求x的最大整数值.
17.（10分）比较下面两列算式结果的大小（在横线上选填“＞”“＜”“＝”）
，
，
，
…
通过观察归纳比较，并写出能反映这种规律的一般结论_________.
18.（14分）火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，现计划用50节A、B两种型号的车厢将这批货物运至北京，已知每节A型货厢的运费是0.5万元.每节B型货厢的运费是0.8万元；甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢，按此要求安排A、B两种货厢的节数，共有哪几种方案？请你设计出来；并说明哪种方案的运费最少？

【试题答案】
一、
1. D 2. C 3. B 4. D 5. C 6. B 7. B 8. B

二、
9. ＜
10. 1，2，3
11. 8≤a＜12
12. 1＜1－b＜1－a
13. m≥2
14. 13

三、
15.
在数轴上表示为：

16. 0
17. ＞，＞，＝，＞，
18. 共有三种方案
（1）A型车厢28节，B型车厢22节；
（2）A型车厢29节，B型车厢21节；
（3）A型车厢30节，B型车厢20节.
方案（3）运费最少.