逆矩阵的运算.doc

11.5逆矩阵11.5.1逆矩阵的概念在前面，我们看到矩阵的运算性形式上有些类似于数的地方。比如零矩阵在矩阵的加法中与数0在数的加法中有类似的性质：；单位矩阵在矩阵的乘法中与数1在数的乘法中有类似的性质：，。而在数的乘法中，对于任何一个数有所谓它的倒数存在，适合。下面我们在矩阵的范围中引进起到类似作用的所谓逆矩阵的概念。定义11.17 对于阶矩阵，如果存在阶矩阵，使得则称矩阵为可逆矩阵，而称矩阵为的逆矩阵。如果可逆，则的逆矩阵是唯一的。事实上，如果和都是的逆矩阵，则有，那么即 。 我们把矩阵唯一的逆矩阵记作，读作的逆。注意，不能读作的负一次方，同时由于我们没有定义过矩阵的除法，也不能看作。1伴随矩阵求逆法 定义11.18 若阶矩阵的行列式，则称矩阵为非奇异的或非退化的。定理11.11 阶矩阵为可逆的充分必要条件是为非奇异的，而且 （11.17）其中 （11.18）称为的伴随矩阵，是中元素的代数余子式。 例1 求矩阵的逆矩阵。课堂练习: 1 (2)定理11.12 若是阶矩阵，且存在阶矩阵使得，则必为可逆矩阵，且。证：由，得到，从而，由定理11.11知必为可逆矩阵；将等式两边左乘以的逆矩阵，得到。证毕。2逆矩阵的性质(1) 可逆矩阵的逆矩阵是可逆矩阵，且。 证：若可逆，则有存在，使得。由定理11.12可知，。(2) 同阶可逆矩阵、的乘积是可逆矩阵，且。 证：因为、可逆，故、存在。由及定理11.12得。(3) 可逆矩阵与非零数的乘积是可逆矩阵，且。证：因为可逆，所以。而，故。所以是可逆矩阵。又因，由定理11.12可知，。(4) 可逆矩阵的转置矩阵是可逆矩阵，且。 证：因可逆，故，从而是可逆矩阵。由及定理11.12可知，。(5) 若可逆，则有。 证：因为可逆，所以有存在。而，故有。（6）可逆矩阵的伴随矩阵是可逆矩阵，且。证：因为可逆，所以。又因，有，故是可逆矩阵。由于，所以由定理11.12可知，。注意，同阶可逆矩阵与的和差不一定是可逆矩阵，即使可逆，也不一定有成立。例如，都可逆，但不可逆。例 设矩阵，矩阵满足，求矩阵。解：由得，即计算，得，故可逆。 因此，有。计算得课堂练习: p147.1.(2)(4)小结:本次课的重点是你矩阵的定义和伴随矩阵求逆法，尤其要记住下列公式： 并要弄清楚的构造。