第四讲矩阵的运算与逆矩阵.doc

§2.2 矩阵的运算
1.矩阵的加法定义：设有两个矩阵,那么矩阵与的和记作+,规定为

设矩阵,称为矩阵的负矩阵.显然有 .
规定矩阵的减法为.
2.数与矩阵相乘定义:数与矩阵的乘积记作，规定为
由数与矩阵的每一个元素相乘。
数乘矩阵满足下列运算规律（设为同型矩阵，为数）：

3.矩阵与矩阵相乘定义:设是一个矩阵,是一个矩
那么规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵,其中
并把此乘积记作，两矩阵相乘，要求左边距阵的列等于右边矩阵的行，乘积的矩阵的行与左边的行相同，列与右边的列相同。
例3：求矩阵的乘积.
解
从本例可以看出不一定等于,即矩阵乘法不满足交换律
注:若有两个矩阵满足,不能得出的结论,即矩阵乘法不满足消去律.
矩阵的乘法满足下列结合律与分配律

对单位矩阵,易知

可简记为
4.矩阵的转置的定义：把矩阵的行列交换得到一个新矩阵,叫做的转置矩阵,记作
矩阵的转置运算满足下述运算规律(假设运算都是可行的)

5.对称矩阵与反对称矩阵的定义：设是阶方阵,如果满足,即则称是对称矩阵.对称矩阵的特点是:它的元素以对角线为对称轴对应相等. 如果满足,即则称是反对称矩阵.反对称矩阵的特点是:它的元素以对角线为对称轴对应相反
6.方阵的行列式：由阶矩阵的元素构成的行列式（各元素位置不变），称为矩阵的行列式，记作或
设，为阶方阵，为数，则有下列等式成立：

例4：设是阶反对称矩阵，是阶对称矩阵，证明：是阶反对称矩阵
证明：
所以结论成立
例5：设是阶方阵，满足,且，求
解：由于
所以，即=0
§2.3矩阵的逆
7.逆矩阵：对于阶矩阵，如果有一个阶矩阵，使，则称矩阵是可逆的，并把称为的逆矩阵。的逆矩阵记为
注意：若可逆，则的逆唯一
设都是的逆矩阵，则一定有
8.伴随矩阵:设是阶方阵, 为行列式的各元素的代数余子式.
记,称为的伴随矩阵.
有行列式的按行(列)展开定理,我们可以证明
9.定理:若矩阵是阶方阵，则可逆的充要条件是，且,其中是的伴随矩阵。
证：必要性：可逆，即有，使，故 所以
充分性：设，由伴随矩阵的性质，有
因，则,这说明是可逆的，且
证 由例1知：
因，故有
所以有逆矩阵的定义，既有
10.推论：若（或），则
证 ，故，因而存在，且
11.方程的逆矩阵满足下述运算规律
①若可逆，则也可逆，且
②若可逆，数，则可逆，且
③若为同阶矩阵且均可逆，则也可逆，且
④若可逆，则也可逆，且
⑤若可逆，则也可逆，且
⑥设是对角矩阵,则可逆的充要条件是，且.
例2 求方程的逆矩阵
解 ，知存在

于是的伴随矩阵为
,所以
注：利用伴随矩阵法求逆矩阵的主要步骤是
1. 求矩阵的行列式，判断是否可逆；
2. 若存在，求的伴随矩阵；
3. 利用公式，求
小结与提问:
小结：本讲介绍了方程的行列式、逆矩阵及其求法
提问：求逆矩阵应注意什么？
课外作业:
P62 8. 9. 13. 15.