第四讲矩阵特征性质与计算.doc

第四讲 矩阵特征性质与计算
1. 特征计算
2. 特征性质应用于特征值计算、特征向量证明
3. 矩阵相似及其应用
4. 矩阵多项式计算

矩阵特征问题来源
（1） 空间线性变换的不变方向（特征向量）和不变量(特征值）；
（2） 矩阵乘方的快速计算（矩阵对角化后,矩阵乘方就是对角矩阵乘方,就容易了）。
这两种说法好像都是正确的。

矩阵特征问题的概念
定义1　设是阶方阵，若存在数和维非零列向量使得
，
则称为方阵的特征值，非零列向量为方阵的属于特征值的特征向量．
的特征行列式:
的特征多项式:(关于的一元次多项式）
的特征（多项式）方程：（关于的一元次方程）.
关于的特征矩阵：
关于的特征方程组：.
设 ，则
，

称为方阵的迹。

1. 特征计算
求方阵的特征值与特征向量的方法
① 求；
② 令，求得的全部特征值；
③ 对，求齐次线性方程组的一个基础解系（化为行最简形）　（其中），则的相应于特征值的全部特征向量为:
， (为任意不全为0的常数）
由于特征向量是非零向量,故上式必须强调不全为0.
例1　求二阶方阵的特征值与特征向量．
解　由的特征行列式
,
令得的特征值，．
　　对,由于，得到一个基础解系为
.
故的相应于的全部特征向量为（为任意非零常数）．
对，由于，得到一个基础解系为
.
故的相应于的全部特征向量为(为任意非零常数）．
例2　求矩阵

的特征值和与最大特征值对应的特征向量．
解　由的特征行列式
，　
令得的特征值为，．
对的最大特征值，由于
，
得的一个基础解系为
，　　。
故的相应于最大特征值的全部特征向量为
，（为不同时为0的任意常数）．

2 特征性质应用于特征值计算、特征向量证明
特征值性质
设为阶方阵，则一定有个特征值（其中重根按重数计算）,且具有如下性质:
（1） 根性：特征值都满足，从而有时也叫做特征根。
（2） 不变量：只要有为数,使，则就是的特征值。
（3） 整体性：① ，即。
② ,即．
从而，即可逆的充分必要条件是0不为的特征值．
（4） 函数性:为函数，只要有意义，则的全部特征值为，从而的特征值的重数相对于的特征值的重数具有不减少性.
特别， 的全部特征值为.
当可逆时，的全部特征值为。
（5） 化零性:如果，则。反过来，如果，则
注意：仅某些,不一定有。
（6） 转置相同性：与有相同的特征值。
（7） 共轭性：的全部特征值为。
例3 设阶方阵的全部特征值为，求下列矩阵的特征值.
（1)；(2）；（3）；(4)。
解 （1）的全部特征值为；
（2） 的全部特征值为；
（3） 的全部特征值为；
（4） 的全部特征值为
。
例4 设阶方阵的全部特征值为，求下列矩阵的行列式值和迹.
（1）；(2）;（3）;（4).
解 (1）的全部特征值为
。
从而的行列式值为.
的迹为.
（2） 的全部特征值为.从而的行列式值为。的迹为.
（3） 的全部特征值为.从而的行列式值为。的迹为.
(4）的全部特征值为
。
从而的行列式值为.
的迹为.

例5 设矩阵满足，试证明。
证 由于知道是的特征值，从而有一个特征值为，于是.
例6 设矩阵满足，试证明。
证 由于得或知道是的特征值或是的特征值，从而有一个特征值为或有一个特征值为，总之有一个特征值为，于是.
例7 设，证明的特征值只能 取或。
证 设为的特征值 ，根据知道,从而或。
特征向量的性质
设阶方阵的互不相等的特征值为，对每个，取线性无关的特征向量组（其中），则它们合起来组成的大向量组；；；仍然是线性无关的。
例 8 设.试证明不是的特征向量,其中至少有两个不等于.
证 由题设知道向量组是线性无关的，且
①
下面用反证法证明不是的特征向量，其中.设是属于某个特征值的特征向量，即有
②
由上面的①②两式得 ,根据是线性无关的就得到
，再由题设至少有两个不等于，就得到要等于中的两个，这是不可能的.
3矩阵相似及其应用
矩阵相似的概念
定义2 对于矩阵，如果存在可逆矩阵,使得，则称与相似，并称从到得变换为相似变换，可逆矩阵称为相似变换矩阵.
定义3 如果方阵与对角矩阵相似，则称可(相似）对角化。
相似矩阵的性质
（1）设矩阵与相似，则与有相同的特征行列式：.从而与有相同的特征多项式，相同的特征值，相同的行列式，相同的秩，相同的迹.
（2)设矩阵与相似，则与相似、与相似、与相似、与相似（矩阵和可逆时)、与相似．
注意:当与相似，与相似时，不一定成立：与相似，与相似
（3）设与相似,，则分块矩阵与相似.
(4）同阶方阵之间的相似关系式一个等价关系，即具有：
①自反性：对于任意阶方阵，有与相似；
②对称性：若与相似,则与相似；
③传递性：若与相似,与相似，则与相似．
例 9 设矩阵与相似,求，其中

解 由于与相似，所以，的特征值也是的特征值,即
①，
②,
从而。
矩阵可（相似）对角化得条件
阶矩阵可（相似）对角化有个线性无关的特征向量。
对于的每个特征值,设其重数为， 有属于的个线性无关的特征向量。
对于的每个特征值，设其重数为,。
对于的每个特征值， 。
例 10 设矩阵可（相似）对角化,求，其中

解 先求的特征值

得的特征值为，为重根，，为重根。
再对重数的特征值,计算

要，必须，从而.