第四讲矩阵特征性质与计算.doc

第四讲 矩阵特征性质与计算1. 特征计算2. 特征性质应用于特征值计算、特征向量证明3. 矩阵相似及其应用4. 矩阵多项式计算 矩阵特征问题来源（1） 空间线性变换的不变方向（特征向量）和不变量(特征值）；（2） 矩阵乘方的快速计算（矩阵对角化后,矩阵乘方就是对角矩阵乘方,就容易了）。 这两种说法好像都是正确的。 矩阵特征问题的概念 定义1设是阶方阵，若存在数和维非零列向量使得，则称为方阵的特征值，非零列向量为方阵的属于特征值的特征向量 的特征行列式:的特征多项式:(关于的一元次多项式）的特征（多项式）方程：（关于的一元次方程）.关于的特征矩阵：关于的特征方程组：.设 ，则，称为方阵的迹。 1. 特征计算求方阵的特征值与特征向量的方法 求； 令，求得的全部特征值； 对，求齐次线性方程组的一个基础解系（化为行最简形）（其中），则的相应于特征值的全部特征向量为:， (为任意不全为0的常数）由于特征向量是非零向量,故上式必须强调不全为0.例1求二阶方阵的特征值与特征向量解由的特征行列式,令得的特征值，对,由于，得到一个基础解系为.故的相应于的全部特征向量为（为任意非零常数）对，由于，得到一个基础解系为.故的相应于的全部特征向量为(为任意非零常数）例2求矩阵的特征值和与最大特征值对应的特征向量解由的特征行列式，令得的特征值为，对的最大特征值，由于，得的一个基础解系为，。故的相应于最大特征值的全部特征向量为，（为不同时为0的任意常数）2 特征性质应用于特征值计算、特征向量证明特征值性质设为阶方阵，则一定有个特征值（其中重根按重数计算）,且具有如下性质:（1） 根性：特征值都满足，从而有时也叫做特征根。（2） 不变量：只要有为数,使，则就是的特征值。（3） 整体性： ，即。 ,即 从而，即可逆的充分必要条件是0不为的特征值（4） 函数性:为函数，只要有意义，则的全部特征值为，从而的特征值的重数相对于的特征值的重数具有不减少性. 特别， 的全部特征值为. 当可逆时，的全部特征值为。（5） 化零性:如果，则。反过来，如果，则 注意：仅某些,不一定有。（6） 转置相同性：与有相同的特征值。（7） 共轭性：的全部特征值为。 例3 设阶方阵的全部特征值为，求下列矩阵的特征值. （1)；(2）；（3）；(4)。 解 （1）的全部特征值为；（2） 的全部特征值为；（3） 的全部特征值为；（4） 的全部特征值为。 例4 设阶方阵的全部特征值为，求下列矩阵的行列式值和迹. （1）；(2）;（3）;（4). 解 (1）的全部特征值为。从而的行列式值为. 的迹为.（2） 的全部特征值为.从而的行列式值为。的迹为.（3） 的全部特征值为.从而的行列式值为。的迹为.(4）的全部特征值为。从而的行列式值为. 的迹为. 例5 设矩阵满足，试证明。 证 由于知道是的特征值，从而有一个特征值为，于是. 例6 设矩阵满足，试证明。 证 由于得或知道是的特征值或是的特征值，从而有一个特征值为或有一个特征值为，总之有一个特征值为，于是. 例7 设，证明的特征值只能取或。证 设为的特征值 ，根据知道,从而或。特征向量的性质 设阶方阵的互不相等的特征值为，对每个，取线性无关的特征向量组（其中），则它们合起来组成的大向量组；仍然是线性无关的。 例 8 设.试证明不是的特征向量,其中至少有两个不等于. 证 由题设知道向量组是线性无关的，且 下面用反证法证明不是的特征向量，其中.设是属于某个特征值的特征向量，即有 由上面的两式得 ,根据是线性无关的就得到 ，再由题设至少有两个不等于，就得到要等于中的两个，这是不可能的.3矩阵相似及其应用矩阵相似的概念定义2 对于矩阵，如果存在可逆矩阵,使得，则称与相似，并称从到得变换为相似变换，可逆矩阵称为相似变换矩阵.定义3 如果方阵与对角矩阵相似，则称可(相似）对角化。相似矩阵的性质（1）设矩阵与相似，则与有相同的特征行列式：.从而与有相同的特征多项式，相同的特征值，相同的行列式，相同的秩，相同的迹.（2)设矩阵与相似，则与相似、与相似、与相似、与相似（矩阵和可逆时)、与相似注意:当与相似，与相似时，不一定成立：与相似，与相似（3）设与相似,，则分块矩阵与相似.(4）同阶方阵之间的相似关系式一个等价关系，即具有：自反性：对于任意阶方阵，有与相似；对称性：若与相似,则与相似；传递性：若与相似,与相似，则与相似例 9 设矩阵与相似,求，其中 解 由于与相似，所以，的特征值也是的特征值,即 ， ,从而。矩阵可（相似）对角化得条件阶矩阵可（相似）对角化有个线性无关的特征向量。 对于的每个特征值,设其重数为， 有属于的个线性无关的特征向量。对于的每个特征值，设其重数为,。对于的每个特征值， 。 例 10 设矩阵可（相似）对角化,求，其中 解 先求的特征值得的特征值为，为重根，为重根。 再对重数的特征值,计算 要，必须，从而.