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广义逆矩阵的求法探讨

the seeking of the dharma and research into generalized inverse matrix

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摘 要

本文介绍了广义逆矩阵的定义，讨论了由Moore-Penrose方程所定义的各种广义逆的性质，在广义逆矩阵的初等变换法和满秩分解法的基础上，研究了几种特殊的广义逆矩阵的计算方法.

关键词: 广义逆矩阵；满秩分解；消元；初等变换法

Abstract

This article discusses the system of generalized Inverse matrices defined, discussed by the Moore-Penrose equation is defined by the nature of the various Generalized inverse, generalized inverse matrix elementary transformation and full rank decomposition, studied several particular generalized inverse matrix calculatio.
Keywords: Generalized inverse matrix; full rank decomposition; elimination; elementary transformation

目录
摘 要 I
Abstract II
0 引言 1
1 广义逆矩阵的概念与定理 8
2 广义逆矩阵的计算方法 8
2.1 广义逆矩阵的奇异值分解法 8
2.2 广义逆矩阵的最大值秩分解法 9
2.2极限法求广义逆矩阵 9
2.3广义逆矩阵的满秩分解法 11
2.4 初等变换法求广义逆矩阵 15
参考文献 21

0 引言

矩阵逆的概念只对非奇异方阵才有意义. 但是，在实际问题中，我们碰到的矩阵并不都是方阵，即使是方阵，也不都是非奇异的。 因此，有必要推广逆矩阵的概念.为此，本文给出了广义逆矩阵的定义，并利用广义逆的性质，给出其计算方法。

1 广义逆矩阵的概念与定理　

定义1.1 设是的矩阵，若的矩阵满足如下四个方程的全部或者一部分，则称为的广义逆矩阵，简称广义逆.
(1.1)
(1.2)
(1.3)
(1.4)
则称是的逆，记为.
如果某个只满足（1.1）式，为的{1}广义逆，记为G{1}；如果另一个
满足（1.1），（1.2）式，则称为的{1,2}广义逆，记为{1，2}；如果{1，2，3，4}，则是逆等.下面介绍常用的5种
{1},{1, 2}，{1, 3},{1,4},{1,2,3,4}
每一种广义逆矩阵又都包含着一类矩阵，分述如下：
（1） {1}中任意一个确定的广义逆，称作减号广义逆，或g逆，记为；
（2） {1,2}中任意一个确定的广义逆，称作自反减号逆，记为；
（3） {1,3}中任意一个确定的广义逆，称作最小范数广义逆，记为；
（4） {1,4}中任意一个确定的广义逆，称作最小二乘广义逆，记为；
（5） {1,2,3,4}：唯一一个，称作加号逆，或，记为.
定义1.2 设是的矩阵（, 当时，可以讨论），若有一个的矩阵（记为）存在，使下式成立，则称为的减号广义逆或者逆：
(1.5)
当存在时，显然满足上式，可见减号广义逆是普通广义逆矩阵的推广；另外，由得

可见，当为的一个减号广义逆时，就是的一个减号广义逆.
定义1.3 设 的特征值为

则称为矩阵的正奇异值，简称奇异值.
定义1.4 设矩阵
，
如果时存在；或者当时，存在有，称这两种长方阵为最大秩方阵（满秩方阵），前者又称行最大秩矩阵（行满秩矩阵），后者又称为列最大秩矩阵（列满秩矩阵）.
定义1.5 设是矩阵, 若有矩阵满足(或), 则称为的右逆(或左逆), 记为(或).
定理1.1 设是的矩阵，则的逆存在且唯一.
证明 先证的存在性. 设的奇异值分解

其中，是的非零奇异值，与是酉矩阵.令

容易验证满足四个方程，因此存在.
下面证的唯一性. 假定也是满足4个方程，则

因此, 说明是唯一的，且

若是非奇异矩阵，容易验证满足4个方程，此时.由此可见逆把逆推广到所有矩阵（甚至零矩阵）.
定理1.2 设，，存在阶的可逆矩阵及阶可逆矩阵，使

则阶矩阵使得的充分必要条件是

其中分别是阶任意矩阵.
证明 先证必要性，由条件有阶及阶可逆矩阵，使

那么

根据应满足的, 有

再令
分块如题设要求，代入上式

所以,于是有

得到

再证充分性，由于

则

引理1.1 对于任意的矩阵，它的减号逆总存在，但不唯一，并且

是的一个减号逆【1，2】.
引理1.2 对于任意的矩阵，它的极小范数总存在，但不唯一，并且

是的一个极小范数逆【1‘2】.
引理1.3 对于任意矩阵,它的最小二乘逆总存在 ,但不唯一,并且

它是的一个最小二乘逆【1，2】.

引理1.4 对于任意矩阵,它的加号逆总存在，并且唯一. 其中

这里是的满秩分解式【1，2，3】.
定理1.3 是 矩阵 , 若是行满秩矩阵 ,则总有；是列满秩矩阵，则总有；，则总有，其中是 的满秩分解式.
定理1.4 设则可将做满秩分解（或的最大秩分解）

其中是阶矩阵，且.
将一非列或非行满秩的非零矩阵表示为一列满秩和一行满秩的矩阵的积的分解称为满秩分解. 在各种广义逆的直接计算方法中, 几乎都要对矩阵进行满秩分解, 例如分解等等. 但当计算某些广义逆时,分解将带来大量非必要的计算, 因而有必要对满秩分解的方法进行简化, 为此, 我们首先用构造性方法证明下述定理.
定理1.5 对任意矩阵, 总存在着矩阵和矩阵，使得成立.
证明 设，则必有一个最大线性无关列，，…，，故令
=[，，…，]
于是有非奇异矩阵，使, 亦即有
(1.6)
成立，其中为阶数适当的零矩阵，再另置换矩阵

便有
,
于是由（1）知
， = (1.7)
其中, 且显然有，.
类似地可证存在着和，使有
,
成立，倘令
(1.8)
(1.9)
同样有.
特别，若A为行满秩或者列满秩，则与中之一为单位阵，定理依然成立.
定理1.6 对任何的矩阵，都有

性质1.1 (1)的充分必要条件是，此时, 称为的一个左逆，记为.
(2) 的充分必要条件是，此时=称为的一个右逆，记为.
证明 (1)充分性，若则

所以
必要性，若，则存在阶及阶可逆矩阵,使
或
由定理1.2可得, 则有

即，于是有
由于

所以是可逆阵，那么

所以，可取

(2)同理可证性质(2)，可逆，有

所以，可取

2 广义逆矩阵的计算方法
2.1广义逆矩阵A+的奇异值分解法
设矩阵，由定理1.1知存在并且唯一，当时，则有奇异值分解：

其中， ，为的奇异值，则具有如下形式：
.
例1 用奇异值分解求，其中.
解 的奇异值分解为
,
所以
=.
例2 设

用奇异值分解法求.
解

因此特征值
求出对应于
所以

=

2.2 广义逆矩阵的最大秩分解法
的矩阵的秩，的最大秩分解为

其中是阶矩阵，是阶矩阵，且，则
(2.1)
特别当时（行满秩阵）
(2.2)
当时（列满秩阵）
(2.3)
例3 求矩阵的逆.
解 首先求得的满秩分解为
，
故
=
=.
2.3极限法求广义逆矩阵
设是阶矩阵，则

(2.4)
证明 因为

由定理1.6得

例4 设

用极限法求.
解 因为

因此
2.4 广义逆矩阵的满秩分解法

对任意矩阵，由定理1.5知，其中是阶矩阵，是阶矩阵，且，再由性质1.1可得

如果A是实矩阵，有

设为矩阵的最大秩分解 ,则的广义逆矩阵的一般形式为.
例5 设，求其广义逆矩阵.
解　首先对 进行最大秩分解 ,对作行初等变换如下:

所以的最大秩分解为=
由定理1.3知，这里为3阶可逆方阵，故

为行满秩矩阵，故可取
=
从而
=
例6 设矩阵
=
求.
解 有满秩分解为

取= ，从而 = ，得
取,得 得

在依据性质1.1的(1.5)及(1.6)可分别求出

于是得到

2.4 初等变换法求广义逆矩阵

方法和步骤：经过一系列的初等行或初等列变换总可以将写成式的形式, 这里分别是m和矩阵，由定理1.2，则的全部广义逆为

这里、分别是任意的
例7.
解　由上述定理 ,首先要将 写成式的形式. 为此 , 将作初等变换得
=
设, , ,,
则

,
从而，有

=

例8 设
,
求广义逆.
解 =
于是 , .
所以的减号广义逆为
,
其中 .
以上介绍了的初等变换法，那么我们现在给定一个矩阵, 总有，有定理1.3知当时，有，当时，有, 当时，有，其中是的满秩分解式. 我们可以看出要求矩阵的任何一种广义逆矩阵 , 关键是求出一个.那么下给出了利用初等变换法求出的具体方法.
设, (不必限制 )则存在阶可逆矩阵 使得

则，令

由于

所以是的一个广义逆矩阵(.
据此，我们对下面分块矩阵进行初等变换：
=
因此, .
同理，对下面的分块矩阵施行初等变换：
=
因此，.
这里、均指可逆矩阵.
例9 设= ，求的最小二乘逆.
解 因为，所以. 对下列矩阵施行初等行变换有

所以=.
例10 设，求最小范数逆.
解 因为=，所以=, 对下列矩阵施行初等变换有

所以.
上述例题给出的求广义逆矩阵和的方法 , 简便易行且使各种广义逆矩阵的计算得到了彻底解决.

致谢 本文是在 的指导下完成的，在此衷心的感谢周教授的细心的指导，才能顺利完成本论文.

参考文献

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