浙江省杭州市重点高中高考数学4月命题比赛参赛试题10.doc

浙江省杭州市重点高中2013届高考数学4月命题比赛参赛试题10
数 学（文科）
本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
注意事项：
参考公式：
如果事件，互斥，那么 棱柱的体积公式
其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高
如果事件，相互独立，那么 棱锥的体积公式
其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高
在次独立重复试验中事件恰好 棱台的体积公式
发生次的概率是， 其中分别表示棱台的上底、下底面积，
其中表示在一次试验中事件发生的概率 表示棱台的高球的表面积公式
球的体积公式 其中表示球的半径
选择题部分（共50分）
一．选择题（本大题共10小题,每题5分,共50分,在每题所给的四个选项中，只有一个是正确的）
T
S
U
1．【原创】．设集合，，，则右图韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ）
A B 　 C D
（命题意图：考查函数定义域、值域、集合运算）
2. 【原创】已知i为虚数单位，a为实数，复数在复平面内对应的点为M，则“”是“点M在第四象限”的( )
A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件
C 充要条件 　D 既不充分也不必要条件
（命题意 图：考查复数运算、复平面的理解、充分、必要条件）
3. 【原创】设x，y满足，则x＋y： (　　)
A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值
C．有最大值3，无最小值 D．既无最小值，也无最大值
（命题意图：考查线性规划）
4．[原创]某甲上大学前把手机号码抄给同学乙.后来同学乙给他打电话时，发现号码的最后一个数字被撕掉了，于是乙在拨号时随意地添上最后一个数字，且用过了的数字不再重复.则拨号不超过3次而拨对甲的手机号码的概率是（　　　）.
　　　　（A）　　　　　　（B）　　　　　（C）　　　　（D）
（命题意图：考查古典概型的计算）
5．【改编教材必修4】为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
（命题意图：诱导公式及函数图象的平移）
6．[原创]　已知：是直线，是平面，给出下列四个命题：
①若垂直于内的无数条直线，则； ②若，则平行于内的所有直线；
③若且则； ④若且则；
⑤若且则。其中正确命题的个数是( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
（命题意图：考查空间位置关系）
7．[原创]　函数，则下列不等式一定成立的是( )
A． B． C． D．
（命题意图：考查函数奇偶性、单调性、三角函数）
8．【2010年福建高考题改编】已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点在双曲线上.则＝( )
A. －12 B. －2 C. 0 D. 4
（命题意图：考查双曲线的性质、向量的数量积）
9．【原创】在等差数列中，若，且它的前项和有最小值，那么当取得最小正值时，（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
（命题意图：考查等差数列的概念、性质）

10．【改编】曲线x2+y2－ay=0 与ax2+bxy+x=0 有且只有3个不同的公共点,那么必有（ ）
A．(a4+4ab+4)(ab+1)=0 B．(a4－4ab－4)(ab+1)=0
C．(a4+4ab+4)(ab－1)=0 D．(a4－4ab－4)(ab－1)=0
（命题意图：考查直线与圆、创新思维）

第II 卷(共100分)
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．【由2012浙江省高考考试说明样卷改编】已知，则的值为 ．
正视图
侧视图
（命题意图：考查同角三角函数关系、两倍角关系、两角和与差）
12．【原创】设，若，则实数________。
(13 题)
（命题意图：考查向量的坐标运算）
13. 【改编】
一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 .
（命题意图：考查三视图、几何体积）
14．【改编由2013浙江省高考考试说明样卷第5题】如下左图是某学校举行十佳歌手比赛，七位评委为某选手打出

（15题）
的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，
所剩数据的平均数是 ，方差是 .
（命题意图：考查平均数、方差的计算）
15．【改编】 (命题意图：考查）
某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的值是
_____________________

6

(14题)

16．若函数在区间(-2，-1)上恒有，则关于的不等式的解集为____________
(命题意图：考查对数函数、指数函数、不等式)
17．【2011徐州高三第三次质量检测】
如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，CA=CB=2，若，则与的夹角等于__________________。
(命题意图：向量的运算

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．【根据2011年全国高考山东卷改编】（本题满分14分）
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且＝－.
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积．
（命题意图：考查正弦定理的运用、三角函数的性质）

19．【2012浙江省高考19改编】（本题满分14分）
已知数列的前项和为，且成等差数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，设求数列的前项和.
（命题意图：考查数列的性质和应用）

20．【2009浙江省高考卷17改编】（本题满分14分）

如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E为CD的中点，将沿AE折起，使平面平面ABCE，得到几何体.
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
（第20题图）
（1）求证：平面；
（2）求BD和平面所成的角的正弦值.

（命题意图：考查立体几何中的位置关系、空间角的计算）

(21)．【2009年浙江省高卷22题改编】（本题满分15分）
已知函数
（I）当的单调区间；
（II）若对任意给定的，使得
的取值范围。
（命题意图：考查函数、导数、不等式的应用及分类讨论问题。）
22．【选自2012届嘉兴二检】（本题满分15分）
已知抛物线 的准线方程为．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设F是抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，记直线的斜率之和为．求常数，使得对于任意的实数，直线恒过定点，并求出该定点的坐标．

（命题意图：考查求曲线的轨迹方程、直线和圆锥曲线的位置
备注：
1．.原题（必修1第十二页习题1.1B组第一题）已知集合A={1，2}，集合B满足A∪B={1，2}，则这样的集合B有 个
7
9

8
4
4
5
7
8
8
9
2

(第5题图)
14．原题（2013浙江省高考考试说明样卷第5题）在某学校组织的校十佳歌手评选活动中，八位评委为某学生的演出打出的分数的茎叶统计图如图所示．去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数与方差分别为
A．86，3 B．86， C．85，3 D．85，
19．原题（2012浙江省高考考试19题）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=，n∈N﹡，数列{bn}满足an=4log2bn＋3，n∈N﹡.
（1）求an，bn；
（2）求数列{an·bn}的前n项和Tn.

20．原题（2009浙江省高考考试17题）如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点．现将沿折起，使平面平面．在平面内过点
作，为垂足．设，则的取值范围是 ．

21．原题（2009浙江省高考考试22题）已知函数，，
其中．
（I）设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；
（II）设函数 是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一
的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存
在，请说明理由．

浙江省2013年高考模拟试卷
数学（文科）答题卷
一.选择题（本大题共10小题,每题5分,共50分,在每题所给的四个选项中，只有一个是正确的）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案

二. 填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11. ;12. ;13. ; 14． ； 15． 16． 17．
三、解答题：本大题共6小题，共72分。解答应定出文字说明、证明过程或演算步骤。
18、（本题满分14分）
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且＝－.
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积．

19、（本题满分14分）
已知各项均为正数的数列的前项和为，且成等差数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，设求数列的前项和.

C
B
E
A
D
20. （本题14分）如图，在矩形中，,, 为的中点。将
折起，使平面平面得到几何体-。
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ） 求与平面所成角的正切值。
E
C
B
A
D

21、本题满分15分）
已知函数
（I）当的单调区间；
（II）若函数的最小值；
（III）若对任意给定的，使得
的取值范围。

22、（本题15分）

（本题满分15分）
已知抛物线 的准线方程为．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设F是抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，记直线的斜率之和为．求常数，使得对于任意的实数，直线恒过定点，并求出该定点的坐标．

备注：
2011年高考模拟试卷 数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题: 每小题5分，共50分．
(1)C (2)A (3)B (4 )A (5) A　
(6) B (7)B (8)C (9) C (10) B
二、二、填空题：每小题4分，满分28分。
(11).. (12).-3 (13).3 (14) 0.85 (15) .-1 (16) (0,) (17)
三、本大题共5小题，满分72分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
(18)．（本题满分14分）
（Ⅰ）由正弦定理，
可得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，
将上式代入已知的＝－，
得＝－，…………………………（3分）
即2sin Acos B＋sin Ccos B＋cos Csin B＝0，
即2sin Acos B＋sin(B＋C)＝0.
，
因为A＋B＋C＝π，所以sin(B＋C)＝sin A，
故2sin Acos B＋sin A＝0.因为sin A≠0，故cos B＝－，
又因为B为三角形的内角，所以B＝π. ……………………………………　（7分）
方法二　由余弦定理，得
cos B＝，cos C＝.
将上式代入＝－，
得×＝－，
整理得a2＋c2－b2＝－ac，
所以cos B＝＝＝－，
因为B为三角形内角，所以B＝π.
（Ⅱ）将b＝，a＋c＝4，B＝π代入余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B的变形式：
b2＝(a＋c)2－2ac－2accos B. ………………（9分）

所以13＝16－2ac，即得ac＝3，
所以S△ABC＝acsin B＝.……………………（14分）.
(19)．（本题满分14分）
解：（Ⅰ）由题意知
当时，
当
两式相减得（）
整理得：（） ………………………………………………4分
∴数列是为首项，2为公比的等比数列.
……………………………………6分
（Ⅱ） ………………………………7分

…… ①
…… ②
①－②得 ……………9分
………………………12分
………………………………………………………14分

(20)．（本题满分14分）
证明：（1）过D作于H. ………………………………2分
由平面平面得，平面，所以， ……………4分
由题意可得，因此平面。 ………………………………6分

（2）在平面CDE内，过C作CE的垂线，与过D作CE的平行线交于F，再过B作于G，连结DG，CH，BH可得平面； 所以为BD和平面CDE所成的角. …………10分

在中，中，可得，又，因此.由题意得，因此，BD和平面所成的角的正弦值为.………………………………14分

(21)．（本小题满分15分）
解：解：（I）当 …………2分
由由 …………5分
故 …………6分
（II）

所以，函数 …………9分

故 ① …………12分
此时，当的变化情况如下：

—
0
+

↘
最小值
↗

②③

即②对任意恒成立。 …………13分
由③式解得： ④ …………14分
综合①④可知，当
在
使成立。…………15分
(22)．（本题满分15分）
解：（Ⅰ）∵，∴．
∴抛物线C的准线方程为：． …3分
∴，解得．
∴抛物线C的方程是． …6分
（Ⅱ），设A，B，
由，得．
∴，，． …8分

． …10分
∴．∴直线．
令对任意的恒成立． …12分
则，解得．
所以，，直线过定点． …15分

13