浙江省杭州市重点高中高考数学4月命题比赛参赛试题13.doc

浙江省杭州市重点高中2013届高考数学4月命题比赛参赛试题13

学科：高三数学（理科）满分：150分 考试时间：120分钟
一、选择题。（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1、已知集合，集合，集合，则（ ）
A B C D
2、“”是“函数在区间上为减函数”的（ ）
A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件
C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
开始
结束

是
否
输出S
第3题图
S=0
k=1
k>2011
k = k+1
3、右图是某程序的流程图，则其输出结果为( )
A B C D
4、已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5、 (原创）把函数的图像上向右平移，再把图像上各点的横坐标变为原来的2倍，则所得的图像的一条对称轴方程为 （ ）
A、 B、 C、 D、
6、设，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
7、(2012全国卷改编）数列满足，则的前60项和等于（ ）
A、960 B、1920 C、930 D、1830
8、已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A. [3,5) B. [3,) C. (0,3] D. [2,3)
9、（2012年江苏一检卷改编）已知函数满足：①定义域为R；②,有；③当时，，,设根据以上信息，可以得到函数的零点个数为（ ）
A、4 B、5 C、9 D、8
10、 （2013年高考自测样卷改编）已知向量满足，的夹角为，。若对每一个确定的，的最大值和最小值分别为，则对任何的，的最小值是 （ ）
A. B. C.2 D. 1
二、填空题。（本大题共7小题，共28分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上。）
11、复数,,若为纯虚数，则的值为________
12、已知某几何体的三视图如下，则该几何体的体积是 ．
正视图
侧视图
俯视图
4
4
3
（12题图）
13、（2010·江苏，4）某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)．所得数据均在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中，有________根棉花纤维的长度小于20 mm
（13题图）
.

14、 已知实数，满足不等式，则的取值范围是
15、（2012年浙江五校联考卷）在1，2，3，4，5，6，7的任一排列中，使相邻两数都互质的排列方式种数共有_______________
16、（艾青中学2011年模拟）在平面直角坐标平面内,不难得到“对于双曲线（）上任意一点P,若点P在轴、轴上的射影分别为、，则必为定值”.类比于此，对于双曲线上任意一点P,类似的命题为:_______________
17、过椭圆的左顶点A做圆的切线，切点为B，延长AB交抛物线于于点C，若点B恰为A、C的中点，则的值为
三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18、 在锐角△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为，，，若，
(1) 若，求的大小。
(2) 若三角形为非等腰三角形，求的取值范围。

19、(2011·山东理，18)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘，已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立．
(1)求红队至少两名队员获胜的概率；
(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望Eξ.

20、 如下图所示，平面四边形PABC中，为直角，为等边三角形，现把沿着AB折起，使得垂直，且点M为AB的中点。
（1）求证：平面PAB⊥平面PCM
（2）若2PA=AB，求直线BC与平面PMC所成角的余弦值。
A
B
P
C

21、（2011.镇海中学高三模拟.21）在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线相交于、两点.
（I）设，求的最小值；
（II）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由.

22、(2013.广东陆丰碣石中学.21）已知函数
（1）求函数f(x)的极值；
（2）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；
（3）求证.

双向细目表
题型
题号
分值
考察内容
难易度
简单
中等
较难
选择题50
1
5
集合及其交并补运算
√

2
5
充要条件的判断
√

3
5
程序框图及数列求和运算
√

4
5
立体几何线面位置判断
√

5
5
三角函数图像伸缩平移变换

√

6
5
二项式展开以及系数运算

√

7
5
数列运算

√

8
5
函数图像，函数值域问题

√
9
5
函数零点个数判断

√
10
5
向量运算

√
填空题28
11
4
复数及其运算
√

12
4
三视图求体积
√

13
4
统计初步
√

14
4
线性规划

√

15
4
排列组合计算

√

16
4
推理证明以及双曲线的特征推理

√
17
4
圆锥曲线综合问题

√
解答题72
18
14
三角函数与解三角形

√

19
14
概率、分布列、数学期望

√

20
14
立体几何证明、求线面角

√

21
15
圆锥曲线综合应用

√
22
15
函数极值与恒成立问题及不等式证明

√

2013年高考模拟试卷理科数学参考答案及评分标准
一、 选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
C
B
A
A
A
B
D
D
二、填空题
11、 12、 16
13、 30 14、
15、 864
16、 若P在直线上的射影分别为M、N，则必为定值
17、
三、解答题
18、解：(1)
··········2分
········3分
所以 ·········4分
（a） 若,，则. ········5分
（b） 若,,则. ·········6分
(2) 若三角形为非等腰三角形，则 且 ········8分
又因为三角形为锐角三角形，
故 ···········10分
而 ··········12分
所以 ············14分

19、解：(1)设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，
则分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．
因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5
由对立事件的概率公式知P()＝0.4，P()＝0.5，P()＝0.5.
红队至少两人获胜的事件有：，，，DEF. ········2分
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，
因此红队至少两人获胜的概率为
P＝P()＋P(＋P()＋P(DEF)
＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.
········6分
(2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.
又由(1)知、、是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，
因此P(ξ＝0)＝P( )＝0.4×0.5×0.5＝0.1， ·········7分
P(ξ＝1)＝P()＋P()＋P()＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35. ·········8分
P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＝0.15. ·········9分
由对立事件的概率公式得
P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4. · ··········10分
所以ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P
0.1
0.35
0.4
0.15

·············12分
因此E(ξ)＝0×0.1＋1×0.35＋2×0.4＋3×0.15＝1.6. ·············14分

20、
A
B
P
C

（1） 证明： 且交线为AB
又为直角
所以 ··········2分
故 ·········3分
又为等边三角形，点M为AB的中点
所以 ··········4分
又
所以 ·········5分
又
所以平面PAB⊥平面PCM ·········6分
（2）假设PA=a，则AB=2a
方法一：(等体积法)
··············8分
而三角形PMC为直角三角形，故面积为·············10分
故 ··················12分
所以直线BC与平面PMC所成角的正弦值 ········13分
x
y
z
所以余弦值为 ·············14分
方法二：（向量坐标法）
以M点为坐标原点，以MB为x轴，以MC为y轴，且设PA=a,则M(0，0，0),
P(-a,0,a),
B(a,0,0),
C(0,,0) ················8分
故·假设平面PMC的法向量为
则y=0，x=z,令x=1
故 ················11 分
则直线BC与平面PMC所成角的正弦值,····13分
所以余弦值为 ················14分
21、解：（I）依题意,可设, ,直线AB的方程为:
由 ··········2分

当m=0时的最小值为.· ············7分
（II）假设满足条件的直线存在,其方程为x=a,AC的中点为,与以AC为直径的圆
相交于P,Q,PQ中点为H,则,的坐标为.
·············9分

…………………13分
令=0得.此时为定值.故满足条件的直线存在,
其方程为x= …………………15分
22、解：（1）因为， x >0，则， ………1分
当时，；当时，.
所以在（0，1）上单调递增；在上单调递减，
所以函数在处取得极大值f（1）=1 ，无极小值。 …………3分

（2）不等式即为 记
所以 …………7分
令，则， ，
在上单调递增， ，从而，
故在上也单调递增， 所以，所以 . ………9分
（3）由（2）知：恒成立，即，
令，则

9