浙江省杭州市重点高中高考数学4月命题比赛参赛试题5.doc

浙江省杭州市重点高中2013届高考数学4月命题比赛参赛试题5
本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共5页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色的字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷上无效。
参考公式：
如果事件，互斥，那么 棱柱的体积公式

如果事件，相互独立，那么 其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高
棱锥的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高
棱台的体积公式
球的表面积公式
球的体积公式 其中分别表示棱台的上底、下底面积，
其中表示球的半径 表示棱台的高
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（原题）已知集合，则= （ ）
A. B. C. D.
1.（改编题）已知集合，则= （ ）
A. B. C. D.
（原题）已知，是实数，则“”是“”的 （ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2.（改编题）已知，是实数，则“”是“”的 （ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

3.（引用）设曲线上任一点处切线斜率为，则函数的部分图象可以为 （ ）
（原题）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积是 （ ）
A. B. C. D.
4.（改编题）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的 （ ）
A.外接球的半径为 B.体积为
C.表面积为 D.外接球的表面积为
5.（引用）已知函数，则函数的零点所在的区间是（ ）
A.（0,1） B. （1,2） C. （2,3） D. （3,4）
（原题）在二项式的展开式中，常数项等于 （ ）
A．-10 B．-15 C．10 D．15
6.（改编题）在二项式的展开式中，常数项等于 （ ）
A．-45 B．-10 C．10 D．45
（原题）函数的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该等比数列的公比的数是 （ ）
A． B． C． D．
7.（改编题）函数的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等差数列，则以下不可能成为该等差数列的公差的数是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4

（原题）若直线，被圆截得的弦长为4，则 （ ）
A. B. C. D.
8. （改编题）若直线，被圆截得的弦长为4，则的最小值为 （ ）
A. B. C. D.
9.（引用）已知椭圆的中心为O，左焦点为F，A是椭圆上的一点，且，则该椭圆的离心率是 （ ）
A. B. C. D.
10.（引用）已知函数，若关于的方程有六个不同的实根，则常数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
非选择题部分（共100分）
注意事项：
1.用黑色的字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2.在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。
二、本大题共7小题，每小题4分，共28分.
（原题）复数（i为虚数单位）的值为 .
11.（改编题）复数（i为虚数单位）的值为 .
（原题）已知数列中，，，则的值等于 .
12.（改编题）已知数列中，，，则的值等于 .
（原题）在边长为的等边中，为边上中点，则= .
13.（改编题）在边长为的等边中，为边上一动点，则的取值范围是　．

14.（引用）执行如图所示的程序框图，若输出的的值为31，则图中判断框内①处应填的整数为 .
15.（引用）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，，，若其面积则∠A= .
16.（引用））某校开设10门课程供学生选修，其中A、B、C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是 .
17.（引用）已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图象如图所示. 下列关于的命题：

①函数的极大值点为，；②函数在上是减函数；③如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；
④当时，函数有个零点；⑤函数的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（原题）已知函数，．其图象的两个相邻对称中心的距离为，且过点．
（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）在△ABC中．a、b、c分别是角A、B、C的对边，，，角C为锐角。且满足，求c的值．

18．（改编题）已知函数，．其图象的最高点与相邻对称中心的距离为，且过点．
（Ⅰ）求函数的达式；
（Ⅱ）在△中．、、分别是角、、的对边，，，角C为锐角。且满足，求的值．
19.（引用）某中学校本课程共开设了A，B，C，D共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲、乙、丙3名学生：
（Ⅰ）求这3名学生选修课所有选法的总数；
（Ⅱ）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；
（Ⅲ）求A选修课被这3名学生选择的人数的数学期望.

B
A1
C1
B1
A
C
（原题）在直三棱柱（侧棱垂直底面）中，，，且异面直线与所成的角等于．
（Ⅰ）求棱柱的高；
（Ⅱ）求与平面所成的角的大小．

（改编题）在直三棱柱（侧棱垂直底面）中，，．
B
A1
C1
B1
A
C
D
（Ⅰ）若异面直线与所成的角为，求棱柱的高；
（Ⅱ）设是的中点，与平面所成的角为，当棱柱的高变化时，求的最大值．

（原题）如图，已知圆C与y轴相切于点T(0，2)，与x轴正半轴相交于两点M，N(点M必在点N的右侧），且，已知椭圆D：的焦距等于，且过点
（Ⅰ）求圆C和椭圆D的方程；
（Ⅱ）若过点M斜率不为零的直线与椭圆D交于A、B两点，求证：直线NA与直线NB的倾角互补．
21．（改编题）如图，已知圆C与y轴相切于点T(0，2)，与x轴正半轴相交于两点M，N(点M必在点N的右侧），且，椭圆D：的焦距等于，且过点
（Ⅰ）求圆C和椭圆D的方程；
（Ⅱ）设椭圆D与x轴负半轴的交点为P，若过点M的动直线与椭圆D交于A、B两点，是否恒成立？给出你的判断并说明理由．

（原题）已知函数，
（Ⅰ）当时，求的极值；
（Ⅱ）当时，求的单调区间；
（Ⅲ）对任意的恒有成立，求m的取值范围。
22.（改编题）设函数
（Ⅰ）当时，求函数的极值；
（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性.
（Ⅲ）若对任意及任意，恒有 成立，求实数的取值范围.
2013年高考模拟试卷 数学卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共5页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色的字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷上无效。
参考公式：
如果事件，互斥，那么 棱柱的体积公式

如果事件，相互独立，那么 其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高
棱锥的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高
棱台的体积公式
球的表面积公式
球的体积公式 其中分别表示棱台的上底、下底面积，
其中表示球的半径 表示棱台的高
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（改编题）已知集合，则= （ ）
A. B. C. D.
2.（改编题）已知，是实数，则“”是“”的 （ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.（引用）设曲线上任一点处切线斜率为，则函数的部分图象可以为 （ ）

4.（改编题）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的 （ ）
A.外接球的半径为 B.体积为
C.表面积为 D.外接球的表面积为
5.（引用）已知函数，则函数的零点所在的区间是 （ ）
A.（0,1） B. （1,2） C. （2,3） D. （3,4）
6.（改编题）在二项式的展开式中，常数项等于 （ ）
A．-45 B．-10 C．10 D．45
7.（改编题）函数的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等差数列，则以下不可能成为该等差数列的公差的数是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8. （改编题）若直线，被圆截得的弦长为4，则的最小值为 （ ）
A. B. C. D.
9.（引用）已知椭圆的中心为O，左焦点为F，A是椭圆上的一点，且，则该椭圆的离心率是 （ ）
A. B. C. D.
10.（引用）已知函数，若关于的方程有六个不同的实根，则常数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．

非选择题部分（共100分）
注意事项：
1.用黑色的字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2.在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。
二、本大题共7小题，每小题4分，共28分.
11.（改编题）复数（i为虚数单位）的值为 .
12.（改编题）已知数列中，，，则的值等于 .
13.（改编题）在边长为的等边中，为边上一动点，则的取值范围是　 ．
14.（引用）执行如图所示的程序框图，若输出的的值为，则图中判断框内①处应填的整数为 .
15.（引用）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，，，若其面积则∠A= .
16.（引用）某校开设10门课程供学生选修，其中A、B、C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是 .
17.（引用）已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图象如图所示. 下列关于的命题：

①函数的极大值点为，；②函数在上是减函数；③如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；④当时，函数有个零点；⑤函数的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是 ．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（改编题）已知函数，．其图象的最高点与相邻对称中心的距离为，且过点．
（Ⅰ）求函数的达式；
（Ⅱ）在△中．、、分别是角、、的对边，，，角C为锐角。且满足，求的值．
19.（引用）某中学校本课程共开设了A，B，C，D共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲、乙、丙3名学生：
（Ⅰ）求这3名学生选修课所有选法的总数；
（Ⅱ）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；
（Ⅲ）求A选修课被这3名学生选择的人数的数学期望.
20.（改编题）在直三棱柱（侧棱垂直底面）中，，．
B
A1
C1
B1
A
C
D
（Ⅰ）若异面直线与所成的角为，求棱柱的高；
（Ⅱ）设是的中点，与平面所成的角为，当棱柱的高变化时，求的最大值．

21．（改编题）如图，已知圆C与y轴相切于点T(0，2)，与x轴正半轴相交于两点M，N(点M必在点N的右侧），且，椭圆D：的焦距等于，且过点
（Ⅰ）求圆C和椭圆D的方程；
（Ⅱ）设椭圆D与x轴负半轴的交点为P，若过点M的动直线与椭圆D交于A、B两点，是否恒成立？给出你的判断并说明理由．
22.（改编题）设函数
（Ⅰ）当时，求函数的极值；
（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性.
（Ⅲ）若对任意及任意，恒有 成立，求实数的取值范围.
准 考 证 号
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
7
7
7
7
7
8
8
8
8
8
9
9
9
9
9
2013年高考模拟试卷
数学（理科）答题卡

班级:________ 姓名:_________ 考场:_______
正确 错误 缺考
填涂 填涂 标记
特别注意：作答时请勿超出实线答题区
考生请勿填涂缺考标记
√
×

一、 选择题

二．填空题

1
A
B
C
D
2
A
B
C
D
3
A
B
C
D
4
A
B
C
D
5
A
B
C
D
6
A
B
C
D
7
A
B
C
D
8
A
B
C
D
9
A
B
C
D
10
A
B
C
D

11． 12． 13．
14． 15． 16．
17．

三．解答题
18．（满分14分）

19（满分14分）

20（满分14分）

21．（满分15分）

22（满分15分）

2013年高考模拟试卷 数学 参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选项
B
D
C
D
B
D
D
C
A
C
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.
11. 12. 13. 14.4
15. 16.98 17.①②⑤
三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.
解：（Ⅰ）. （2分）
∵最高点与相邻对称中心的距离为，则，即， （3分）
∴，∵，∴， （4分）
又过点，
∴，即，∴. （5分）
∵，∴，∴. （6分）
（Ⅱ），由正弦定理可得， （8分）
∵，∴， （9分）
又，，∴， （11分）
由余弦定理得，∴. （12分）
19. （Ⅰ）每个学生有四个不同选择，根据乘法法则，选法总数N= （3分）
（Ⅱ）恰有2门选修课这3名学生都没选择的概率为
（7分）
（Ⅲ）设A选修课被这3名学生选择的人数为，则＝0,1,2,3
P(＝0)＝；P(＝1)＝；P(＝2)＝；
P(＝3)＝ （9分）
的分布列是

0
1
2
3
P

(10分)

(12分)
20.
A1
C1
B1
C
z
A
y
x
B

D
解：建立如图所示的空间直角坐标系，设，则有，，，，，， （2分）
（Ⅰ）因为异面直线与所成的角，所以，即，得，解得. （6分）
（Ⅱ）由是的中点，得，于是.设平面的法向量为，于是由，，可得 即 可取， （8分）
于是.而
.令， （10分）
因为，当且仅当，即时，等号成立.
所以，故当时，的最大值. （12分）

21.
解：（Ⅰ）设圆C的半径为，由题意，圆心为，∵，∴，
故圆C的方程为.① （2分）
在①中，令得或，所以，，即，. （3分）
又，消去得，解得或（舍去），解得，故椭圆D的方程为. （5分）
（Ⅱ）假设恒有成立.
∵点M在椭圆的外部，∴直线可设为.
由，得，
此时
设，，则，. （7分）
因为
=
=
=. （10分）
所以，即. （11分）
当或时，，此时，不合题意.
综上，过点M的动直线与椭圆D交于A、B两点，是否恒成立.（12分）
21.
解：(Ⅰ)函数的定义域为.当时， （2分）
当时，当时， 无极大值.（4分）
（Ⅱ） （5分）
当，即时， 在定义域上是减函数；
当，即时，令得或令得
当，即时，令得或令得
综上，当时，在上是减函数；
当时，在和单调递减，在上单调递增；
当时，在和单调递减，在上单调递增； （8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，在上单减，是最大值，是最小值.， (10分)
,而经整理得，
由得，所以 (12分)
19