浙江省杭州市重点高中高考数学4月命题比赛参赛试题8.doc

浙江省杭州市重点高中2013届高考数学4月命题比赛参赛试题8 选择题部分（共50分）参考公式：球的表面积公式 棱柱的体积公式 球的体积公式 其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高 棱台的体积公式其中表示球的半径 棱锥的体积公式 其中分别表示棱台的上、下底面积， 表示棱台的高其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高 如果事件互斥，那么 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1全集，=，=， 则=A B C D或2某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍。为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（ ）（A） 32 （B）36 （C）18 （D）863已知两条不同的直线、，两个不同的平面、，则下列命题中的真命题是A若，则.B若，则. C若，则.D若，则. 4已知数列，利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框中应填的语句是 （ ）（A）（B）（C）（D）5已知函数有两个零点、，则有 ( ) 6. 双曲线的左右焦点为F1,F2，过点F2的直l与右支交于点P,Q，若|PF1|=|PQ|，则|PF2|的值为（ ）(A)4(B)6 (C)8(D)107数列满足，是的前项和，则的值为 A B C D8在ABC中，是角A、B、C成等差数列的 （ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件9.设O为ABC的外心，且，则ABC的内角C= （ ）（A） （B） （C） （D）10、若函数，则函数在，上的不同零点个数为（ ）A2 B5 C4 D3非选择题部分（共100分）注意事项：1. 用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。2. 在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。11计算 12若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是 13. 在集合内任取1个元素，能使代数式成立的概率是 ； 14.一个容器的外形是一个棱长为2的正方体，其三视图如图所示，则容器的容积为 15二项式的展开式中的系数为，则实数等于_ 16一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为（、），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则的最大值为 .17将四个相同的红球和四个相同的黑球排成一排，然后从左至右依次给它们赋以编号l，2，8。则红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有 种。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18（本题满分14分）已知向量与向量的夹角为，其中A, B, C是ABC的内角 （1）求角B的大小； （2）求的取值范围 19（本题满分14分）数列中，（1）求的值；（2）求数列的前项和及数列的通项公式；（3）设，存在数列使得，试求数列的前项和20（本题满分14分）如图，已知AOB，AOB，BAO，AB4，D为线段AB的中点若AOC是AOB绕直线AO旋转而成的记二面角BAOC的大小为 （1）当平面COD平面AOB时，求的值；AOBCD （2）当，时，求二面角CODB的余弦值的取值范围21（本小题满分15分）如图，过点作抛物线的切线，切点A在第二象限.（1）求切点A的纵坐标；（2）若离心率为的椭圆恰好经过切点A，设切线交椭圆的另一点为B，记切线、OA、OB的斜率分别为，求椭圆方程22(本小题满分15分) 已知函数，。（）求在区间的最小值；（）求证：若，则不等式对于任意的恒成立；（）求证：若，则不等式对于任意的恒成立。2013年高考模拟试卷 数学（理）卷参考答案及评分标准一、 选择题：每小题5分，满分50分。（1）B （2）C （3）A （4）D （5）A（6）B （7）C （8）A （9）B （10）D二、填空题：每小题4分，满分28分。（11） （12） （13） （14） （15）2（16） (17) 31三、解答题18（本题满分14分）已知向量与向量的夹角为，其中A, B, C是ABC的内角 （1）求角B的大小； （2）求的取值范围 18解：（1）=（sinB，1-cosB) ,与向量=（2，0）所成角为3分 3分（2）：由（1）可得2分2分 4分19（本题满分14分）数列中，（1）求的值；（2）求数列的前项和及数列的通项公式；（3）设，存在数列使得，试求数列的前项和19解：（1）；.2分（2）；.3分3分 （3）3分.3分20（本题满分14分）如图，已知AOB，AOB，BAO，AB4，D为线段AB的中点若AOC是AOB绕直线AO旋转而成的记二面角BAOC的大小为 （1）当平面COD平面AOB时，求的值；AOBCD （2）当，时，求二面角CODB的余弦值的取值范围yAOBCD(第20题)xz解法一：（1）解：如图，以O为原点，在平面OBC内垂直于OB的直线为x轴，OB，OA所在的直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，则A (0，0，2)，B (0，2，0)， D (0，1，)，C (2sin，2cos，0)设(x，y，z)为平面COD的一个法向量， 由得取zsin，则(cos，sin，sin)因为平面AOB的一个法向量为(1，0，0)，由平面COD平面AOB得0，所以cos0，即 7分（2）设二面角CODB的大小为，由（1）得当时， cos0；当(,时，tan，cos= ， 故cos0综上,二面角CODB的余弦值的取值范围为，014分解法二：（1）解：在平面AOB内过B作OD的垂线，垂足为E，FCAOBD(第20题)GE因为平面AOB平面COD，平面AOB平面CODOD，所以BE平面COD，故BECO又因为OCAO，所以OC平面AOB，故OCOB又因为OBOA，OCOA，所以二面角BAOC的平面角为COB，即 7分 （2）解：当时，二面角CODB的余弦值为0；当(,时，过C作OB的垂线，垂足为F，过F作OD的垂线，垂足为G，连结CG，则CGF的补角为二面角CODB的平面角在RtOCF中，CF2 sin，OF2cos，在RtCGF中，GFOF sincos，CG，所以cosCGF 因为(,，tan，故0cosCGF所以二面角CODB的余弦值的取值范围为 ，0 14分21（本小题满分15分）如图，过点作抛物线的切线，切点A在第二象限.（1）求切点A的纵坐标；（2）若离心率为的椭圆恰好经过切点A，设切线交椭圆的另一点为B，记切线、OA、OB的斜率分别为，求椭圆方程【解析】（本小题满分15分）解：（1）设切点，且，由切线的斜率为，得的方程为，又点在上，即点的纵坐标 5分（2）由（1）得，切线斜率，设，切线方程为，由，得7分所以椭圆方程为，且过，9分由， 11分将，代入得：，所以，椭圆方程为 15分22(本小题满分15分) 已知函数，。（）求在区间的最小值；（）求证：若，则不等式对于任意的恒成立；（）求证：若，则不等式对于任意的恒成立。解(): 1分 若，则，即。 在区间是增函数，故在区间的最小值是。3分 若令，得.又当时，；当时，在区间的最小值是5分综上，当时，在区间的最小值是，当时，在区间的最小值是。6分（）证明:当时，则，7分,当时，有，在内是增函数，在内是增函数，对于任意的，恒成立。10分()证明: ,令则当时, ,12分令,则,当时, ；当时，；当时，则在是减函数，在是增函数，即不等式对于任意的恒成立。15分萧山五中 命题人 毛国伟 朱玲11