浙江省杭州市重点高中高考数学4月命题比赛参赛试题8.doc

浙江省杭州市重点高中2013届高考数学4月命题比赛参赛试题8

选择题部分（共50分）
参考公式：
球的表面积公式 棱柱的体积公式

球的体积公式 其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高
棱台的体积公式
其中表示球的半径
棱锥的体积公式 其中分别表示棱台的上、下底面积，
表示棱台的高
其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高 如果事件互斥，那么

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．全集，=，={}， 则=
A．{} B．{} C．{} D．{或}
2．某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍。为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（ ）
（A） 32 （B）36 （C）18 （D）86
3．已知两条不同的直线、，两个不同的平面、，则下列命题中的真命题是
A．若，，，则.
B．若，∥，，则.
C．若∥，∥，∥，则∥.
D．若∥，，，则∥.
4．已知数列，利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框中应填的语句是 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
5．已知函数有两个零点、，则有 ( )

6. 双曲线的左右焦点为F1,F2，过点F2的直l与右支交于点P,Q，若|PF1|=|PQ|，则|PF2|的值为（ ）
(A)4 (B)6 (C)8 (D)10
7．数列满足，，是的前项和，则的值为
A． B． C． D．
8．在△ABC中，是角A、B、C成等差数列的 （ ）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9.设O为△ABC的外心，且，则△ABC的内角C= （ ）
（A） （B） （C） （D）
10、若函数，则函数在，上的不同零点个数为（ ）
A．2 B．5 C．4 D．3
非选择题部分（共100分）
注意事项：
1. 用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2. 在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11．计算 ．12．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是 ．13. 在集合内任取1个元素，能使代数式成立的概率是 ；
14.一个容器的外形是一个棱长为2的正方体，其三视图
如图所示，则容器的容积为
15．二项式的展开式中的系数为，则实数等于___▲ ．
16．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为（、、），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则的最大值为 .
17．将四个相同的红球和四个相同的黑球排成一排，然后从左至右依次给它们赋以编号l，2，…，8。则红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有 种。
三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本题满分14分）已知向量与向量的夹角为，其中A, B, C是△ABC的内角．
（1）求角B的大小；
（2）求的取值范围．

19．（本题满分14分）数列中，
（1）求的值；
（2）求数列的前项和及数列的通项公式；
（3）设，存在数列使得，试求数列的前项和．

20（本题满分14分）如图，已知△AOB，∠AOB＝，∠BAO＝，AB＝4，D为线段AB的中点．若△AOC是△AOB绕直线AO旋转而成的．记二面角B－AO－C的大小为．
（1）当平面COD⊥平面AOB时，求的值；
A
O
B
C
D

（2）当∈[，]时，求二面角C－OD－B的余弦值的取值范围．

21．（本小题满分15分）
如图，过点作抛物线的切线，切点A在第二象限．.
（1）求切点A的纵坐标；
（2）若离心率为的椭圆恰好经过切点A，设切线交椭圆的另一点为B，记切线、OA、OB的斜率分别为，求椭圆方程．

22．(本小题满分15分)
已知函数，。
（Ⅰ）求在区间的最小值；
（Ⅱ）求证：若，则不等式≥对于任意的恒成立；
（Ⅲ）求证：若，则不等式≥对于任意的恒成立。

2013年高考模拟试卷 数学（理）卷参考答案及评分标准
一、 选择题：每小题5分，满分50分。
（1）B （2）C （3）A （4）D （5）A
（6）B （7）C （8）A （9）B （10）D
二、填空题：每小题4分，满分28分。
（11） （12） （13） （14） （15）2
（16） (17) 31
三、解答题
18．（本题满分14分）已知向量与向量的夹角为，其中A, B, C是△ABC的内角．
（1）求角B的大小；
（2）求的取值范围．

18．解：（1）∵=（sinB，1-cosB) ,与向量=（2，0）所成角为
∴…………………………………………3分
∴ ……………3分
（2）：由（1）
可得∴
……………………………………2分
∵
∴……………………………………………………………2分
∴ ………… 4分
19．（本题满分14分）数列中，
（1）求的值；
（2）求数列的前项和及数列的通项公式；
（3）设，存在数列使得，试求数列的前项和．

19解：（1）；…….2分
（2）；……………………….3分
………………………3分
（3）…………………3分
……………….3分

20（本题满分14分）如图，已知△AOB，∠AOB＝，∠BAO＝，AB＝4，D为线段AB的中点．若△AOC是△AOB绕直线AO旋转而成的．记二面角B－AO－C的大小为．
（1）当平面COD⊥平面AOB时，求的值；
A
O
B
C
D

（2）当∈[，]时，求二面角C－OD－B的余弦值的取值范围．

y
A
O
B
C
D
(第20题)
x
z
解法一：
（1）解：如图，以O为原点，在平面OBC内垂直于OB的直线为x轴，OB，OA所在的直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系O－xyz，
则A (0，0，2)，B (0，2，0)，
D (0，1，)，C (2sin，2cos，0)．
设＝(x，y，z)为平面COD的一个法向量，
由　得
取z＝sin，则＝(cos，－sin，sin)．
因为平面AOB的一个法向量为＝(1，0，0)，
由平面COD⊥平面AOB得＝0，
所以cos＝0，即＝． ………………………7分
（2）设二面角C－OD－B的大小为，
由（1）得
当＝时， cos＝0；
当∈(,]时，tan≤－，
cos= ＝＝－，
故－≤cos＜0．
综上,二面角C－OD－B的余弦值的取值范围为[－，0]．…………14分
解法二：
（1）解：在平面AOB内过B作OD的垂线，垂足为E，
F
C
A
O
B
D
(第20题)
G
E
因为平面AOB⊥平面COD，
平面AOB∩平面COD＝OD，
所以BE⊥平面COD，
故BE⊥CO．
又因为OC⊥AO，
所以OC⊥平面AOB，
故OC⊥OB．
又因为OB⊥OA，OC⊥OA，
所以二面角B－AO－C的平面角为∠COB，
即＝． ………………………………………7分
（2）解：当＝时，二面角C－OD－B的余弦值为0；
当∈(,]时，
过C作OB的垂线，垂足为F，过F作OD的垂线，垂足为G，连结CG，
则∠CGF的补角为二面角C－OD－B的平面角．
在Rt△OCF中，CF＝2 sin，OF＝－2cos，
在Rt△CGF中，GF＝OF sin＝－cos，CG＝，
所以cos∠CGF ＝＝－．
因为∈(,]，tan≤－，
故0＜cos∠CGF＝≤．
所以二面角C－OD－B的余弦值的取值范围为 [－，0]． ……………14分
21．（本小题满分15分）
如图，过点作抛物线的切线，切点A在第二象限．.
（1）求切点A的纵坐标；
（2）若离心率为的椭圆恰好经过切点A，设切线交椭圆的另一点为B，记切线、OA、OB的斜率分别为，求椭圆方程．

【解析】（本小题满分15分）
解：（1）设切点，且，
由切线的斜率为，得的方程为，又点在上，，即点的纵坐标． …………5分
（2）由（1）得，切线斜率，设，切线方程为，由，得．…………7分
所以椭圆方程为，且过，．………9分
由，
， …………………11分
∴

．将，代入得：，所以，∴椭圆方程为． ………………15分

22．(本小题满分15分)
已知函数，。
（Ⅰ）求在区间的最小值；
（Ⅱ）求证：若，则不等式≥对于任意的恒成立；
（Ⅲ）求证：若，则不等式≥对于任意的恒成立。
解(Ⅰ): ………………………………………………1分
①若
∵，则，∴，即。
∴在区间是增函数，故在区间的最小值是。……3分
②若
令，得.
又当时，；当时，，
∴在区间的最小值是………………………………5分
综上，当时，在区间的最小值是，当时，在区间的最小值是。………………………………………………………………6分

（Ⅱ）证明:当时，，则，
……………………………………………………………………………………………7分
∴,
当时，有，∴在内是增函数，
∴，
∴在内是增函数，
∴对于任意的，恒成立。…………………………………10分
(Ⅲ)证明:
,
令
则当时,≥
,……………………………………………………12分
令,则,
当时, ；当时，；当时，，
则在是减函数，在是增函数，
∴，∴，
∴，即不等式≥对于任意的恒成立。………………………15分

萧山五中 命题人 毛国伟 朱玲

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