浙江省杭州市重点高中高考数学4月命题比赛参赛试题3.doc

浙江省杭州市重点高中2013届高考数学4月命题比赛参赛试题3
（考试时间120分钟，满分150分）
参考公式：
如果事件互斥，那么 棱柱的体积公式

如果事件相互独立，那么 其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高
棱锥的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，
则次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高
球的表面积公式
台体的体积公式
球的体积公式
其中分别表示棱台的上、下底面积，
表示棱台的高 其中表示球的半径

选择题部分（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知为全集，都是的子集，且，则（ ）
开始始
S=0,T=0,n=0
T>S
S=S+5
n=n+2
T=T+n
输出T
结束
是
否
图1
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）（全品改编）执行如图1的程序框图，输出的T的值
为（ ）
（A）12 （B）20 （C）30 （D）42
（3）等比数列中，，则“”
　是“”的（ ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（4）（课本改编）设为虚数单位，则下列运算结果不是纯虚数的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
（5）已知是平面的一条斜线，点，为过点的一条动直线，那么下列情形可能出现的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
（6）（2007模拟题改编）已知点、，则直线 的倾斜角等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
（7） 已知三顶点坐标分别是、、， 直线与线段、都有公共点，则对于下列叙述正确的是 （ ）
（A）有最大值而无最小值 （B）有最小值而无最大值

图2
（C）既有最大值也有最小值 （D）既无最大值也无最小值
（8）如图2，正方体中，
为边的中点，点在底面和侧面
上运动并且使，那么点
的轨迹是（ ）
（A）两段圆弧 （B）两段椭圆弧
（C）两段双曲线弧 （D）两段抛物线弧

（9）（2011模拟题改编）中，内角所对边长为，满足，
如果，那么的面积等于（ ）
（A） （B） （C） （D）以上都不对
（10）（2011模拟题改编）已知是定义在上的函数，其图象是一条连续的曲线，且满足下列条件：的值域为，且；对任意都有．那么，关于的方程在区间上根的情况是（ ） （A）可能没有实数根 （B）有且仅有一个实数根
（C）恰有两个实数根 （D）可能有无数多个实数根

非选择题部分（共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
（11）（课本题改编）若的展开式中含项，则最小自然数．

图3
（12）（2012北京高考题改编）如图3, 与都是等腰直角三角形, 且, , 平面 平面, 如果以平面为水平面, 正视图的观察方向与垂直, 则三棱锥左视图的面积为__________.
（13）（2011模拟题改编）编号为1 ~8的八个小球按编号从小到大顺序排成一排，涂上红、
白两种颜色，5个涂红色，三个涂白色，求恰好有三个连续的小球涂红色，则涂法共有
______种．
（14）首项的等差数列，其前项和为，对于一切，总有
成立，则．
（15）（全品改编）已知双曲线的左右焦点分别为，定点，点在双曲线的右支上运动，则的最小值等于________．
图4
（16）（2011温州模拟题）如图4，线段长度为，点
分别在非负半轴和非负半轴上滑动，以线段为
一边，在第一象限内作矩形，，为坐
标原点，则的取值范围是 .
（17）实数且，，则的取值范围为________．

三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（18）（2012杭州高三期中联考改编）（本题满分14分）
平面直角坐标系中，满足，，
（Ⅰ）若边长等于1，求的值（只需写出内的值）；
（Ⅱ）若恰好等于内角，求此时内角的大小．
（19）（2010高考模拟改编）（本题满分14分）
某种鲜花进价每束元，售价每束元，若卖不出，则以每束元的价格处 理掉．某节日需求量（单位：束）的分布列为

200
300
400
500

（Ⅰ）若进鲜花束，求利润的均值．
（Ⅱ）试问：进多少束花可使利润的均值最大？
（20）（本题满分14分）
如图5，的三边长分别为、、，为其内心；取、
、的中点、、，并按虚线剪拼成一个直三棱柱（如
图6），上下底面的内心分别为与；

图5

图6

（Ⅰ）求直三棱柱的体积；
（Ⅱ）直三棱柱中，设线段与平面交于点，求二面角
的余弦值．
（21）（全品改编）（本题满分14分）
定长等于的线段的两个端点分别在直线和上滑 动，线段中点的轨迹为；
（Ⅰ）求轨迹的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与轨迹交于两点，问：在轴上是否存在定点，
使得不论如何转动，为定值．
（22）（原创并将发表在数学通讯“我为高考设计题目”栏目）（本题满分16分）
设函数，，（其中为自然底数）；
（Ⅰ）求（）的最小值；
（Ⅱ）探究是否存在一次函数使得且对一切恒成立；若存在，求出一次函数的表达式，若不存在，说明理由；
（Ⅲ）数列中，，，求证：．

学校 班级 姓名 考号

装 订 线
2013年高考模拟试卷数学卷（理科）
答题卷
一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分, 共50分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案

二、填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分。
11 ________. 12 ________. 13________ .14________.
15________. 16________. 17____ ____.
三、解答题: 本大题共5小题, 共72分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。
18、(本小题满分14分)

19、(本小题满分14分)

20、(本小题满分14分)

21、(本小题满分14分)

21、(本小题满分16分)

2013年高考模拟试卷数学卷（理科）参考答案与评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
（1）D；（2）C；（3）B；（4）B；（5）A；（6）B；（7）D；（8）C （9）C；（10）B
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
(11) 7； (12)； （13）24； （14）或；
（15）11； （16）； （17） ．
三、解答题：本大题共5小题，共72分，
（18）解：（Ⅰ）因为，所以，-------2分
若边长等于1，则，在内或或----5分
由于与不共线，所以或．----------------------------7分
（Ⅱ），--10分
所以，---------------------------12分
所以．-----------------------------------------------------14分
（19） 解：（Ⅰ）销售量（单位：束）的分布列为

200
300
400

所以，-----------------------------------------------4分
而，所以．--------------7分
（Ⅱ）设进（）束花，当时，销售量（单位：束）的
分布列为

200
300
400

可得；而；
同理可对其它区间讨论后得
；-------------------------11分
易知，时，取最大值．------------------------------14分
（20）解：（Ⅰ）易知为直角三角形，且其内切圆 半径等于2，--------1分
所以直三棱柱的高等于1，-----------------------------2分
体积； ---------------------------------------5分

图7
（Ⅱ）如图7以为原点建立空间直角坐标系，则
，，设平面
的法向量，则，
所以--------------------7分
再设，则由得
；即；-----------------------------------------10分
而，所以若设平面的法向量，则
，可得；-------------------------------12分
所以，而二面角为钝角，
所以其余弦值等于．---------------------------------------------14分
（21）解：（Ⅰ）设，
则、；--------------------------------2分
代入得轨迹的方程为
，即；-----------------------------5分
（Ⅱ）（1）若不与轴重合，设直线方程为，代入椭圆的方程得
，设，
则，；---------------------7分
设点，则

------10分
使为定值，则 ，解得
即对于点总有；----------------------12分
（2）当与轴重合时，，对于点也有，
故在轴上存在定点使得为定值．---------------14分
（22）解：（Ⅰ）时，易知时、时；所以时求取最小值等于0；-------------4分
（Ⅱ）由题Ⅰ易知，，所以；----------------6分
所以可设，代入得
恒成立，所以，所以，；--------------8分
此时设，则，
易知，即对一切恒成立；
综上，存在符合题目要求，它恰好是图象的公切线．
（如图8所示）---------------------------------------------10分
图8
（Ⅲ）先证递减且；
由题（Ⅱ）知，所以
，即为递减数列；
又，，所以
，…
因为当时总有，
所以；------------------------------13分
所以
．-------------------------------------16分

13