资源描述
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若过两点的直线的斜率为1，则等于（）
A. B.
C. D.
2．将进货单价为40元的商品按60元一个售出时，能卖出400个．已知该商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，为了赚得最大利润，售价应定为
A.每个70元 B.每个85元
C.每个80元 D.每个75元
3．圆关于直线对称的圆的方程为
A. B.
C. D.
4．为了得到函数的图象，只需将的图象上的所有点
A.横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度
B.横坐标缩短倍，再向上平移1个单位长度
C.横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度
D.横坐标缩短倍，再向下平移1个单位长度
5．用二分法求函数零点时,用计算器得到下表：
1.00
1.25
1.375
1.50
1.0794
0.1918
-0.3604
-0.9989
则由表中数据,可得到函数的一个零点的近似值（精确度为0.1）为
A.1.125 B.1.3125
C.1.4375 D.1.46875
6．已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
7．若，，，则，，的大小关系是（）
A. B.
C. D.
8．已知点P(1，a)在角α的终边上，tan＝－则实数a的值是（）
A.2 B.
C.－2 D.－
9．函数图像大致为（）
A. B.
C. D.
10．所有与角的终边相同的角可以表示为，其中角（ ）
A.一定是小于90°的角 B.一定是第一象限的角
C.一定是正角 D.可以是任意角
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知扇形的圆心角为，其弧长是其半径的2倍，则__________
12．若，则__________
13．已知定义在上的偶函数，当时，若直线与函数的图象恰有八个交点，其横坐标分别为，，，，，，，，则的取值范围是___________.
14．已知球O的内接圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则球O的表面积为________.
15．的值是__________
16．已知若，则（ ）.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在四棱锥中，是正方形，平面，，，，分别是，，的中点
（）求四棱锥的体积
（）求证：平面平面
（）在线段上确定一点，使平面，并给出证明
18．已知集合A={x|x=m2-n2，m∈Z，n∈Z}．求证：
（1）3∈A；
（2）偶数4k-2（k∈Z）不属于A
19．已知函数在区间上的最大值为6.
（1）求常数m的值；
（2）当时，将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数，求函数的单调递减区间、对称中心.
20．某工厂某种航空产品的年固定成本为万元，每生产件，需另投入成本为，当年产量不足件时，（万元）.当年产量不小于件时，（万元）.每件商品售价为万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（件）的函数解析式；
（2）年产量为多少件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
21．已知，函数.
（Ⅰ）当时，解不等式；
（Ⅱ）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围；
（Ⅲ）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的和不大于，求的取值范围.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】根据斜率的计算公式列出关于的方程，由此求解出.
【详解】因为，所以，
故选：C.
2、A
【解析】设定价每个元，利润为元，则
，故当，时，故选A.
考点：二次函数的应用.
3、A
【解析】由题意得，圆心坐标为，设圆心关于直线的对称点为，则，解得，所以对称圆方程为
考点：点关于直线的对称点；圆的标准方程
4、B
【解析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论
【详解】将的图象上的所有点的横坐标缩短 倍（纵坐标不变），可得y＝3sin2x的图象；
再向上平行移动个单位长度，可得函数的图象，
故选B
【点睛】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，熟记变换规律是关键，属于基础题
5、B
【解析】
根据二分法的思想,确定函数零点所在区间,并确保精确度为0.1即可.
【详解】根据二分法的思想,因为,
故的零点在区间内,
但区间的长度为,不满足题意,
因而取区间的中点,
由表格知,
故的零点在区间内,
但区间的长度为,不满足题意,
因而取区间的中点,
可知区间和中必有一个存在的零点,
而区间长度为,
因此是一个近似解,
故选:B.
【点睛】本题考查二分法求零点问题,注意满足题意的区间要满足两个条件:①区间端点的函数值要异号;②区间长度要小于精确度0.1.
6、C
【解析】求解不等式化简集合，，再由题意可得Ü，由此可得的取值范围
【详解】解：由，即，解得或，
所以或，
，
命题是命题的必要不充分条件，
Ü，则
实数的取值范围是
故选：C
7、A
【解析】根据指数函数、对数函数的单调性，结合题意，即可得x，y，z的大小关系，即可得答案.
【详解】因为在上为单调递增函数，且，
所以，即，
因为在R上为单调递增函数，且，
所以，即，
又，
所以.
故选：A
8、C
【解析】利用两角和的正切公式得到关于tan α的值，进而结合正切函数的定义求得a的值.
【详解】∵，
∴tan α＝－2，
∵点P(1，a)在角α的终边上，
∴tan α＝＝a，
∴a＝－2.
故选：C.
9、B
【解析】先求出函数的定义域，判断出函数为奇函数，排除选项D，由当时，，排除A，C选项，得出答案.
【详解】解析：定义域为，
，所以为奇函数，可排除D选项，
当时，，，由此，排除A，C选项，
故选： B
10、D
【解析】由终边相同的角的表示的结论的适用范围可得正确选项.
【详解】因为结论与角的终边相同的角可以表示为适用于任意角，所以D正确，
故选：D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、-1
【解析】由已知得，所以 则，故答案.
12、
【解析】先求出的值,然后再运用对数的运算法则求解出和的值,最后求解答案.
【详解】若,则,所以.
故答案为:
【点睛】本题考查了对数的运算法则,熟练掌握对数的各运算法则是解题关键,并能灵活运用法则来解题,并且要计算正确,本题较为基础.
13、
【解析】先作出函数的大致图象，由函数性质及图象可知八个根是两两关于轴对称的，因此分析可得,，进而将转化为
形式，再数形结合，求得结果.
【详解】作出函数的图象如图：
直线与函数的图象恰有八个交点，其横坐标分别为，，，，，，，，
不妨设从左到右分别是，，，，，，，，则 ，
由函数解析式以及图象可知： ，
即 ，同理： ；
由图象为偶函数，图象关于轴对称可知： ，
所以
又因为是方程 的两根，
所以 ，
而 ，所以 ，
故 ，
即，
故答案为：
14、
【解析】根据内接圆柱的轴截面是边长为2的正方形，确定球O的半径，再由球的表面积公式即得。
【详解】由题得，圆柱底面直径为2，球的半径为R，球O的内接圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的轴截面的对角线即为球的直径，故，则球的表面积.
故答案为：
【点睛】本题考查空间几何体，球的表面积，是常见的考题。
15、
【解析】分析：利用对数运算的性质和运算法则，即可求解结果.
详解：由
.
点睛：本题主要考查了对数的运算，其中熟记对数的运算法则和对数的运算性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
16、
【解析】利用平面向量平行的坐标表示进行求解.
【详解】因为，
所以，即；
故答案：.
【点睛】本题主要考查平面向量平行的坐标表示，两向量平行坐标分量对应成比例，侧重考查数学运算的核心素养.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）见解析（3）当为线段的中点时，满足使平面
【解析】（1）根据线面垂直确定高线，再根据锥体体积公式求体积（2）先寻找线线平行，根据线面平行判定定理得线面平行，最后根据面面平行判定定理得结论（3）由题意可得平面，即，取线段的中点，则有，而，根据线面垂直判定定理得平面
试题解析：（）解：∵平面，
∴
（）证明：∵，分别是，的中点
∴，
由正方形，
∴，
又平面，∴平面，
同理可得：，
可得平面，
又，
∴平面平面
（）解：当为线段中点时，满足使平面，
下面给出证明：取的中点，连接，，
∵，
∴四点，，，四点共面，由平面，
∴，
又，，
∴平面，
∴，
又为等腰三角形，为斜边中点，
∴，
又，
∴平面，即平面
点睛：(1)探索性问题通常用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.
18、（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）由3=22-12即可证得；
（2）设4k-2∈A，则存在m，n∈Z，使4k-2=m2-n2=（m+n）（m-n）成立，分当m，n同奇或同偶时和当m，n一奇，一偶时两种情况进行否定即可.
试题解析：
（1）∵3=22-12，3∈A；
（2）设4k-2∈A，则存在m，n∈Z，使4k-2=m2-n2=（m+n）（m-n）成立，
1、当m，n同奇或同偶时，m-n，m+n均为偶数，
∴（m-n）（m+n）为4的倍数，与4k-2不是4的倍数矛盾
2、当m，n一奇，一偶时，m-n，m+n均为奇数，
∴（m-n）（m+n）为奇数，与4k-2是偶数矛盾
综上4k-2不属于A
19、（1）3（2）单调递减区间为；对称中心.
【解析】（1）先对化简，根据最大值求m；
（2）利用整体代入法求单调递减区间和对称中心.
【小问1详解】
，
由，所以在区间上的最大值为2+m+1=6，解得m=3.
【小问2详解】
由（1）知，.
将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到
.
要求函数的单调递减区间，只需，解得.
所以的单调递减区间为
要求函数的对称中心，只需，解得.
所以的对称中心为.
20、（1）；（2）年产量为件时，利润最大为万元.
【解析】（1）实际应用题首先要根据题意，建立数学模型，即建立函数关系式，这里，要用分类讨论的思想，建立分段函数表达式；（2）根据建立的函数关系解模，即运用数学知识求函数的最值，这里第一段，运用的是二次函数求最值，而第二段，则可运用基本不等式求最值，然后再作比较，确定最终的结果，最后要回到实际问题作答.
试题解析：解：（1）当时，；
当时，，
所以.
（2）当时，
此时，当时，取得最大值万元.
当时，
此时，当时，即时，取得最大值万元，
所以年产量为件时，利润最大为万元.
考点：函数、不等式的实际应用.
21、（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）.
【解析】（Ⅰ）当时，利用对数函数的单调性，直接解不等式即可；
（Ⅱ）化简关于的方程，通过分离变量推出的表达式，通过解集中恰有一个元素，利用二次函数的性质，即可求的取值范围；
（Ⅲ）在上单调递减利用复合函数的单调性求解函数的最值，令，化简不等式，转化求解不等式的最大值，然后 推出的范围.
【详解】（Ⅰ）当时，，
∴，整理得，解得．所以原不等式的解集为.
（Ⅱ）方程，即为，
∴，∴，
令，则，
由题意得方程在上只有一解, 令,,
转化为函数与的图象在上只有一个交点.
则分别作出函数与的图象，如图所示
结合图象可得，当或时，直线y=a和的图象只有一个公共点，即方程只有一个解
所以实数范围为.
（Ⅲ）因为函数在上单调递减，
所以函数定义域内单调递减，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为，
所以
由题意得，
所以恒成立，
令，
所以恒成立，
因为在上单调递增，
所以∴，解得，
又，∴
所以实数的取值范围是.
【点睛】解答此类题时注意以下几点：
（1）对于复合函数的单调性，可根据“同增异减”的方法进行判断；
（2）已知方程根的个数（函数零点的个数）求参数范围时，可通过解方程的方法求解，对于无法解方程的，可通过分离、构造函数的方法转化为函数图象公共点个数的问题处理
（3）解不等式的恒成立问题时，通常采取分离参数的方法，将问题转化为求函数的最值的问题
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