江苏省高三数学二轮专题训练-解答题(17).doc

江苏省2012届高三数学二轮专题训练：解答题（17）

本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1．（14分）已知函数f(x)=sin(2－)+2sin2(－) (R)
（1）求函数f(x)的最小正周期 ;
（2）求使函数f(x)取得最大值的的集合.

2．（14分）已知函数
（1）判断并证明在上的单调性；
（2）若存在，使，则称为函数的不动点，现已知该函数有且仅有一个不动点，
求的值，并求出不动点；
（3）若在上恒成立 , 求的取值范围．

3．（15分）已知三次曲线C：f （x）＝x3＋bx2＋cx＋d的图象关于点A（1，0）中心对称。
（1）求常数b的值及c与d的关系；
（2）当x＞1时，f（x）＞0恒成立，求c的取值范围。

4．（15分）如图，从边长为2a的正方形铁皮的四个角各截去一个边长为x的小正方形，再将四边向上折起，做成一个无盖的长方体铁盒，且要求长方体的高度x与底面正方形的边长的比不超过常数t，问：x取何值时，长方体的容积V有最大值？

x
x
x
x
x
x
x
x

5．（16分）已知m∈R，直线l：和圆C：。
(1)求直线l斜率的取值范围；
(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧? 为什么?

6．（16分）设｛an｝是由正数组成的等差数列，Sn是其前n项和
（1）若Sn＝20，S2n＝40，求S3n的值；
（2）若互不相等正整数p，q，m，使得p＋q＝2m，证明：不等式SpSq＜S成立；
（3）是否存在常数k和等差数列｛an｝，使ka－1＝S2n－Sn+1恒成立（n∈N*），若存在，试求出常数k和数列｛an｝的通项公式；若不存在，请说明理由。

1.解：(1) f()=sin(2－)+1－cos2(－)
= 2[sin2(－)－ cos2(－)]+1
=2sin[2(－)－]+1
= 2sin(2x－) +1 …………………………………………5分
∴ T==π …………………………………………7分
(2)当f(x)取最大值时， sin(2x－)=1，有 2x－ =2kπ+ ……………12分
即=kπ+ (kZ) …………………………………………13分
∴所求的集合为{x∈R|x= kπ+ ， (kZ)}．………………………14分

2.解：（1）
对任意的------------------------------------------- 1分
-------------------------------- 3分
∵ ∴
∴，函数在上单调递增。-----------------4分
（2）解：令， ------------------------------------5分
令（负值舍去）--------------------------------------7分
将代入得---------9分
（3）∵ ∴ ----------------------------------------12分
∵ ∴（等号成立当） --------------------13分
∴
的取值范围是 ------------------------------------------14分

3.解：．（1）由图象关于A（1，0）对称得f （x）＋f（2－x）＝0恒成立…………………………5分
即：（2b＋b）x2－4（b＋3）x＋2d＋2c＋4b＋8＝0恒成立
∴
∴………………………………………………………………………7分
（2）f（x）＞0得
x3－3x2＋cx＋2－c＞0恒成立
x3－3x2＋2＋（x－1）c＞0
∴x2－2x－2＋c＞0恒成立
而x＞1时　　x2－2x－2＋c＞－3＋c≥0
∴c≥3………………………………………………………………………………14分

4.解：长方体的体积V＝4x（x－a）2，（o＜x＜a）由≤ t 得　0＜x≤
而V′＝12（x－）（x－a） ……………………………………………………………6分
∴V在（0，）增，在（，a）递减 ……………………………………………7分
∴若≥　即 t≥，当x＝时，V取最大值a3 ……………………………………9分
若＜　即 0＜t＜，当x＝时，
V取最大值 ……………………………………………………………15分

x
x
x
x
x
x
x
x

5.解：（1）直线的方程可化为， 直线的斜率，………………4分
因为，所以，当且仅当时等号成立．
所以，斜率的取值范围是． ……………………………………………………8分
（2）不能． …………………………………………………………………………………9分
由（Ⅰ）知的方程为，其中． ……………………………………10分
圆的圆心为，半径． …………………………………………………11分
圆心到直线的距离．由，得，即．
从而可知，若与圆相交，则圆截直线所得的弦所对的圆心角小于． …………13分
所以不能将圆分割成弧长的比值为的两段弧． …………………………………………16分

6.解：（1）在等差数列｛an｝中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等差数列，
∴Sn＋（S3n－S2n）＝2（S2n－Sn）
∴S3n＝3 S2n－3 Sn＝60…………………………………………………………………5分
（2）SpSq＝pq（a1＋ap）（a1＋aq）＝pq［a＋a1（ap＋aq）＋apaq］
＝pq（a＋2a1am＋apaq）＜（）2［a＋2a1am＋（）2］
＝m2（a＋2a1am＋a）＝［m（a1+am）］2
＝S………………………………………………………………………10分
（3）设an＝pn＋q（p，q为常数），则ka－1＝kp2n2＋2kpqn＋kq2－1
Sn+1＝p（n＋1）2＋（n＋1） S2n＝2pn2＋（p＋2q）n
∴S2n－Sn+1＝pn2＋n－（p＋q），…………………………………………………………12分
依题意有kp2n2＋2kpqn＋kq2－1＝ pn2＋n－（p＋q）对一切正整数n成立，
∴
由①得，p＝0或kp＝； 若p＝0代入②有q＝0，而p＝q＝0不满足③，
∴p≠0 由kp＝代入②，
∴3q＝，q＝－代入③得， －1＝－（p－），将kp＝代入得，∴ p＝，
解得q＝－，k＝………………………………………………………………………………15分
故存在常数k＝及等差数列an＝n－使其满足题意……………………………………16分