思科数学第9讲指数与指数函数.doc

第9讲　指数与指数函数

基础梳理
1．根式
(1)根式的概念
如果一个实数x满足xn＝a(n>1，n∈N*)，那么称x为a的n次方根．
(2)根式的性质
①当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数．这时，a的n次实数方根只有一个，记为x＝.
②当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数．这时，正数a的正的n次实数方根用符号表示，负的n次实数方根用符号－表示，它们可以合并写成±(a>0)的形式.0的n次实数方根等于0，若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.
③()n＝a.
④当n为奇数时，＝a；
当n为偶数时，＝|a|＝
⑤负数没有偶次方根．
2．分数指数幂的意义
(1)a＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)
(2)a－＝＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)
3．指数幂的运算规律
asat＝as＋t，(as)t＝ast，(ab)t＝atbt，其中s、t∈Q，a>0，b>0.
4．指数函数的图象与性质

y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象

定义域
R
值域
(0，＋∞)

指数函数的图象及其变换
将指数函数y＝f(x)＝ax(a＞0，a≠1)进行平移、翻折，可作出y－y0＝f(x－x0)，y＝|f(x)|，y＝f(|x|)等函数的图象，要善于灵活应用这类函数图象的变换画图和解题．
指数函数的复合函数的性质
指数函数除在定义域内具有单调性外，不具有奇偶性和周期性等，但可以与其他函数进行复合，所构成的简单的复合函数可能具有奇偶性、周期性、对称性等性质，要灵活应用这类性质解题．
双基自测
1.＝________.
解析　＝|π－4|＝4－π.
答案　4－π
2．已知函数f(x)＝4＋ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
解析　当x＝1时，f(1)＝5.
答案　(1,5)
3．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)＝________.
解析　∵f(x)＝2x＋2－x，f(a)＝3，
∴2a＋2－a＝3，
f(2a)＝22a＋2－2a＝(2a＋2－a)2－2＝9－2＝7.
答案　7
4．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)＞f(n)，则m，n的大小关系为________．
解析　∵a＝∈(0,1)，
则f(x)＝ax为R上的减函数．∵am＞an，∴m＜n.
答案　m＜n
5．函数f(x)＝的定义域是________．
解析　由1－2x≥0，得2x≤1，∴x≤0.
答案　(－∞，0]

考向一　指数幂的运算
【例1】►计算下列各式：
(1)1.5－×0＋80.25×＋(×)6－ ；
(2)÷×.
[审题视点] 先化为分数指数幂，再进行运算．
解　(1)原式＝×1＋(23)×2＋6－＝2＋4×27＝110.
(2)令a＝m，b＝n，则原式＝÷·m＝·＝＝m3＝a.
化简结果：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．
【训练1】 化简下列各式(其中各字母均为正数)．
(1)；
(2)a·b－2·÷.
解　(1)原式＝＝a－－－·b＋－＝.
(2)原式＝－a－b－3÷＝－a－·b－3÷＝－a－·b－＝－·＝－.
考向二　指数函数的图象及应用
【例2】►(1)函数y＝a2 010－x＋2 010(a＞0，且a≠1)恒过点________．
(2)方程2x＝2－x的解的个数为________．
[审题视点] 利用指数函数的图象．
解析　(1)∵a0＝1，∴该函数的图象过点(2 010,2 011)．

(2)方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图)．
由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．
答案　(2 010,2 011)　(2)1
(1)指数函数图象经过定点的实质是利用了a0＝1(a≠0)，故应令幂指数等于0求定点的坐标．
(2)将方程解的问题转化为两函数图象的交点问题，体现了数形结合思想的应用．

【训练2】 如图，过原点O的直线与函数y＝2x的图象交于A，B两点，过B作y轴的垂线交函数y＝4x的图象于点C.若AC平行于y轴．求点A的坐标．
解　设C(a,4a)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵AC∥y轴，∴x1＝a，y1＝2x1＝2a，
即A(a,2a)，又BC∥x轴．
∴y2＝4a，y2＝2x2＝4a.
∴x2＝2a，即B(2a,4a)．
又∵点O、A、B共线，∴＝，
∴2a＝2，即a＝1，∴A的坐标为(1,2)．
考向三　指数函数的性质及应用
【例3】►设a＞0且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值．
[审题视点] 换元令t＝ax，利用二次函数和指数函数的单调性来研究函数的单调性，构建方程获解．
解　令t＝ax(a＞0且a≠1)，
则原函数化为y＝(t＋1)2－2(t＞0)．
①当0＜a＜1时，x∈[－1,1]，t＝ax∈，
此时f(t)在上为增函数．
所以f(t)max＝f＝2－2＝14.
所以2＝16，所以a＝－或a＝.
又因为a＞0，所以a＝.
②当a＞1时，x∈[－1,1]，t＝ax∈，
此时f(t)在上是增函数．
所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，
解得a＝3(a＝－5舍去)．综上得a＝或3.
指数函数问题一般常与其它函数复合．本题利用换元法将原函数化为二次函数，结合二次函数的单调性和指数函数的单调性判断出原函数的单调性，从而获解．由于指数函数的单调性取决于底数的大小，所以要注意对底数的分类讨论，避免漏解．
【训练3】 已知函数f(x)＝x3.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的奇偶性；
(3)求证：f(x)＞0.
(1)解　由2x－1≠0，可解得x≠0，
∴定义域为{x|x≠0}．
(2)解　f(－x)＝·(－x)3
＝－·x3
＝－·x3＝·x3
＝·x3＝·x3
＝·x3＝·x3＝f(x)．
∴f(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数．

(3)证明　当x＞0时，2x－1＞0，
∴x3＞0，
即f(x)＞0.
又∵f(x)是偶函数，
∴当x＜0时f(x)＝f(－x)＞0，
∴f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上恒大于零．　　

难点突破5——如何求解新情景下指数函数的问题

高考中对指数函数的考查，往往突出新概念、新定义、新情景中的问题，题目除最基本问题外，注重考查一些小、巧、活的问题，突出考查思维能力和化归等数学思想．
一、新情景下求指数型函数的最值问题的解法
【示例】 设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝取函数f(x)＝2＋x＋e－x，若对任意的x∈(－∞，＋∞)，恒有fK(x)＝f(x)，则K的最大值________．

二、新情景下求与指数型函数有关的恒成立问题的解法
【示例】 若f1(x)＝3|x－1|，f2(x)＝2·3|x－a|，x∈R，且f(x)＝则f(x)＝f1(x)对所有实数x成立，则实数a的取值范围是________．