思科数学第9讲指数与指数函数.doc

第9讲指数与指数函数基础梳理1根式(1)根式的概念如果一个实数x满足xna(n1，nN*)，那么称x为a的n次方根(2)根式的性质当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数这时，a的n次实数方根只有一个，记为x.当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数这时，正数a的正的n次实数方根用符号表示，负的n次实数方根用符号表示，它们可以合并写成(a0)的形式.0的n次实数方根等于0，若xna，则x叫做a的n次方根，其中n1且nN*.()na.当n为奇数时，a；当n为偶数时，|a|负数没有偶次方根2分数指数幂的意义(1)a(a0，m，nN*，n1)(2)a(a0，m，nN*，n1)3指数幂的运算规律asatast，(as)tast，(ab)tatbt，其中s、tQ，a0，b0.4指数函数的图象与性质yaxa10a1图象定义域R值域(0，)指数函数的图象及其变换将指数函数yf(x)ax(a0，a1)进行平移、翻折，可作出yy0f(xx0)，y|f(x)|，yf(|x|)等函数的图象，要善于灵活应用这类函数图象的变换画图和解题指数函数的复合函数的性质指数函数除在定义域内具有单调性外，不具有奇偶性和周期性等，但可以与其他函数进行复合，所构成的简单的复合函数可能具有奇偶性、周期性、对称性等性质，要灵活应用这类性质解题双基自测1._.解析|4|4.答案42已知函数f(x)4ax1的图象恒过定点P，则点P的坐标是_解析当x1时，f(1)5.答案(1,5)3已知f(x)2x2x，若f(a)3，则f(2a)_.解析f(x)2x2x，f(a)3，2a2a3，f(2a)22a22a(2a2a)22927.答案74已知a，函数f(x)ax，若实数m，n满足f(m)f(n)，则m，n的大小关系为_解析a(0,1)，则f(x)ax为R上的减函数aman，mn.答案mn5函数f(x)的定义域是_解析由12x0，得2x1，x0.答案(，0考向一指数幂的运算【例1】计算下列各式：(1)1.5080.25()6 ；(2).审题视点 先化为分数指数幂，再进行运算解(1)原式1(23)262427110.(2)令am，bn，则原式mm3a. 化简结果：若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂【训练1】 化简下列各式(其中各字母均为正数)(1)；(2)ab2.解(1)原式ab.(2)原式ab3ab3ab.考向二指数函数的图象及应用【例2】(1)函数ya2 010x2 010(a0，且a1)恒过点_(2)方程2x2x的解的个数为_审题视点 利用指数函数的图象解析(1)a01，该函数的图象过点(2 010,2 011)(2)方程的解可看作函数y2x和y2x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图)由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解答案(2 010,2 011)(2)1 (1)指数函数图象经过定点的实质是利用了a01(a0)，故应令幂指数等于0求定点的坐标(2)将方程解的问题转化为两函数图象的交点问题，体现了数形结合思想的应用【训练2】 如图，过原点O的直线与函数y2x的图象交于A，B两点，过B作y轴的垂线交函数y4x的图象于点C.若AC平行于y轴求点A的坐标解设C(a,4a)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，ACy轴，x1a，y12x12a，即A(a,2a)，又BCx轴y24a，y22x24a.x22a，即B(2a,4a)又点O、A、B共线，2a2，即a1，A的坐标为(1,2)考向三指数函数的性质及应用【例3】设a0且a1，函数ya2x2ax1在1,1上的最大值是14，求a的值审题视点 换元令tax，利用二次函数和指数函数的单调性来研究函数的单调性，构建方程获解解令tax(a0且a1)，则原函数化为y(t1)22(t0)当0a1时，x1,1，tax，此时f(t)在上为增函数所以f(t)maxf2214.所以216，所以a或a.又因为a0，所以a.当a1时，x1,1，tax，此时f(t)在上是增函数所以f(t)maxf(a)(a1)2214，解得a3(a5舍去)综上得a或3. 指数函数问题一般常与其它函数复合本题利用换元法将原函数化为二次函数，结合二次函数的单调性和指数函数的单调性判断出原函数的单调性，从而获解由于指数函数的单调性取决于底数的大小，所以要注意对底数的分类讨论，避免漏解【训练3】 已知函数f(x)x3.(1)求函数f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)求证：f(x)0.(1)解由2x10，可解得x0，定义域为x|x0(2)解f(x)(x)3x3x3x3x3x3x3x3f(x)f(x)是(，0)(0，)上的偶函数(3)证明当x0时，2x10，x30，即f(x)0.又f(x)是偶函数，当x0时f(x)f(x)0，f(x)在(，0)(0，)上恒大于零难点突破5如何求解新情景下指数函数的问题高考中对指数函数的考查，往往突出新概念、新定义、新情景中的问题，题目除最基本问题外，注重考查一些小、巧、活的问题，突出考查思维能力和化归等数学思想一、新情景下求指数型函数的最值问题的解法【示例】 设函数yf(x)在(，)内有定义对于给定的正数K，定义函数fK(x)取函数f(x)2xex，若对任意的x(，)，恒有fK(x)f(x)，则K的最大值_二、新情景下求与指数型函数有关的恒成立问题的解法【示例】 若f1(x)3|x1|，f2(x)23|xa|，xR，且f(x)则f(x)f1(x)对所有实数x成立，则实数a的取值范围是_