资源描述
指数与指数函数
课时作业
1．计算1.5－×0＋80.25×－＝( )
A．0 B．1
C． D．2
答案 D
解析 原式＝＋2×2－＝2.应选D．
2．函数f(x)＝的值域是( )
A．(－2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－∞，－2)
答案 B
解析 设y＝f(x)＝，令u＝2x－1，那么u>－1，y＝，那么y<－2或y>0.应选B．
3．给出以下结论：
①当a<0时，(a2)＝a3；
②＝|a|(n>1，n∈N*，n为偶数)；
③函数f(x)＝(x－2)－(3x－7)0的定义域是；
④假设5a＝0.3,0.7b＝0.8，那么ab>0.
其中正确的选项是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．②④
答案 B
解析 (a2)>0，a3<0，故①错误；∵0<5a<1,0<0.7b<1，∴a<0，b>0，∴ab<0.故④错误．
4．(2022·北京市通州区高三模拟)c<0，那么以下不等式中成立的是( )
A．c>2c B．c>c
C．2c>c D．2c<c
答案 D
解析 ∵c<0，∴c>1,0<2c<1，∴c>2c，应选D．
5．(2022·四川泸州期末)函数f(x)＝ex－x，那么以下判断正确的选项是( )
A．函数f(x)是奇函数，且在R上是增函数
B．函数f(x)是偶函数，且在R上是增函数
C．函数f(x)是奇函数，且在R上是减函数
D．函数f(x)是偶函数，且在R上是减函数
答案 A
解析 f(x)的定义域为R，且f(－x)＝－ex＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，又y＝ex和y＝－x都是R上的增函数，∴f(x)＝ex－x是R上的增函数．应选A．
6．f(x)＝ax和g(x)＝bx是指数函数，那么“f(2)>g(2)〞是“a>b〞的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 由f(x)＝ax与g(x)＝bx是指数函数可知a>0，b>0.充分性：假设“f(2)>g(2)〞成立，即a2>b2，由于a，b都是正数，那么a>b，充分性成立；必要性：假设a>b，那么f(2)＝a2>b2＝g(2)，必要性成立．
综上所述，“f(2)>g(2)〞是“a>b〞的充分必要条件．应选C．
7．以下函数中值域为正实数集的是( )
A．y＝－5x B．y＝1－x
C．y＝ D．y＝3|x|
答案 B
解析 ∵1－x∈R，y＝x的值域是正实数集，
∴y＝1－x的值域是正实数集．
8．假设函数f(x)，g(x)分别是R上的奇函数和偶函数，且满足f(x)－g(x)＝2x，那么有( )
A．f(2)<f(3)<f(0) B．f(0)<f(3)<f(2)
C．f(2)<f(0)<f(3) D．f(0)<f(2)<f(3)
答案 D
解析 ∵函数f(x)，g(x)分别是R上的奇函数和偶函数，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)．由f(x)－g(x)＝2x，得f(－x)－g(－x)＝2－x，∴－f(x)－g(x)＝2－x，即f(x)＋g(x)＝－2－x，与f(x)－g(x)＝2x联立，得f(x)＝，∴f(0)＝0，f(2)＝＝，f(3)＝＝，∴f(0)<f(2)<f(3)，应选D．
9．(2022·西安调研)假设函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝，那么f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
答案 B
解析 由f(1)＝，得a2＝，解得a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝|2x－4|.
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．应选B．
10．(2022·福建厦门第一次质量检查)a>b>0，x＝a＋beb，y＝b＋aea，z＝b＋aeb，那么( )
A．x<z<y B．z<x<y
C．z<y<x D．y<z<x
答案 A
解析 ∵x＝a＋beb，y＝b＋aea，z＝b＋aeb，
∴y－z＝a(ea－eb)，又a>b>0，e>1，
∴ea>eb，∴y>z，
∵z－x＝(b－a)＋(a－b)eb＝(a－b)(eb－1)，
又a>b>0，eb>1，∴z>x，综上x<z<y，
应选A．
11．(2022·安徽皖江名校开学考)假设ea＋πb≥e－b＋π－a，e为自然对数的底数，那么有( )
A．a＋b≤0 B．a－b≥0
C．a－b≤0 D．a＋b≥0
答案 D
解析 令f(x)＝ex－π－x，那么f(x)在R上单调递增，又ea＋πb≥e－b＋π－a，所以ea－π－a≥e－b－πb，即f(a)≥f(－b)，所以a≥－b，即a＋b≥0，应选D．
12．(2022·齐鲁名校教科研协作体湖北、山东局部重点中学第一次联考)函数y＝4x－3·2x＋3，假设其值域为[1,7]，那么x可能的取值范围是( )
A．[2,4] B．(－∞，0]
C．(0,1]∪[2,4] D．(－∞，0]∪[1,2]
答案 D
解析 令t＝2x，那么y＝t2－3t＋3＝2＋，对称轴为直线t＝.当x∈[2,4]时，t∈[4,16]，此时y∈[7,211]，不满足题意；当x∈(－∞，0]时，t∈(0,1]，此时y∈[1，3)，不满足题意；当x∈(0,1]∪[2,4]时，t∈(1,2]∪[4,16]，此时y∈∪[7,211]，不满足题意；当x∈(－∞，0]∪[1,2]时，t∈(0,1]∪[2,4]，此时y∈[1,7]，满足题意．应选D．
13．函数y＝x2＋2x－1的值域为________.
答案 (0,4]
解析 设t＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，那么t≥－2.
因为y＝t是关于t的减函数，所以y≤－2＝4.又y>0，所以0<y≤4.
14．(2022·福州质检)实数a≠1，函数f(x)＝假设f(1－a)＝f(a－1)，那么a的值为________.
答案
解析 当a<1时，41－a＝21，a＝，符合题意．当a>1时，代入不成立．
15．(2022·贵阳监测)函数f(x)＝ax－1(a>0，且a≠1)满足f(1)>1，假设函数g(x)＝f(x＋1)－4的图象不过第二象限，那么a的取值范围是________.
答案 (2,5]
解析 ∵f(1)>1，∴a－1>1，即a>2.∵函数g(x)＝f(x＋1)－4的图象不过第二象限，∴g(0)＝a1－1－4≤0，∴a≤5，∴a的取值范围是(2,5]．
16．函数y＝2－x2＋ax＋1在区间(－∞，3)内单调递增，那么a的取值范围为________.
答案 [6，＋∞)
解析 函数y＝2－x2＋ax＋1是由函数y＝2t和t＝－x2＋ax＋1复合而成．因为函数t＝－x2＋ax＋1在区间上单调递增，在区间上单调递减，且函数y＝2t在R上单调递增，所以函数y＝2－x2＋ax＋1在区间上单调递增，在区间上单调递减．又函数y＝2－x2＋ax＋1在区间(－∞，3)内单调递增，所以3≤，即a≥6.
17．(2022·安徽皖东名校联盟高三第二次联考)关于x的函数f(x)＝2x＋(a－a2 )·4x，其中a∈R.
(1)当a＝2时，求满足f(x)≥0的实数x的取值范围；
(2)假设当x∈(－∞，1]时，函数f(x)的图象总在直线y＝－1的上方，求a的整数值．
解 (1)当a＝2时，f(x)＝2x－2·4x≥0，
即2x≥22x＋1，x≥2x＋1，x≤－1.故实数x的取值范围是(－∞，－1]．
(2)f(x)>－1在x ∈(－∞，1]上恒成立，
即a－a2>－在x ∈(－∞，1]上恒成立．
因为函数x 和x在x ∈(－∞，1]上均为单调递减函数，所以－在(－∞，1]上为单调递增函数，
最大值为－＝－.
因此a－a2>－，解得－<a<.
故实数a的整数值是0,1.
18．函数y＝F(x)的图象如下图，该图象由指数函数f(x)＝ax与幂函数g(x)＝xb“拼接〞而成．
(1)求F(x)的解析式；
(2)比拟ab与ba的大小；
(3)假设(m＋4)－b<(3－2m)－b，求m的取值范围．
解 (1)依题意，得解得
所以F(x)＝
(2)因为ab＝＝2，ba＝，
指数函数y＝x在R上单调递减，
所以2<，即ab<ba.
(3)由(m＋4)－<(3－2m) －，得
解得－<m<，
所以m的取值范围是.
19．(2022·南宁模拟)f(x)＝(a∈R)的图象关于坐标原点对称．
(1)求a的值；
(2)假设存在x∈[0,1]，使不等式f(x)＋2x－<0成立，求实数b的取值范围．
解 (1)由题意知f(x)是R上的奇函数，
所以f(0)＝0，得a＝1.
(2)设h(x)＝＋2x－＝，
由题设知存在x∈[0,1]使h(x)<0成立，
即存在x∈[0,1]使不等式(2x)2＋2x＋1－1－b<0成立，即存在x∈[0,1]使b>(2x)2＋2x＋1－1成立，
令t＝2x，那么存在t∈[1,2]使b>t2＋2t－1成立，
只需b>(t2＋2t－1)min.
令g(t)＝t2＋2t－1，g(t)图象的对称轴为直线t＝－1，
那么g(t)在[1,2]上单调递增，
所以当t∈[1,2]时，g(t)min＝g(1)＝2，所以b>2.
所以实数b的取值范围为(2，＋∞)．
20．定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M>0，都有|f(x)|≤M成立，那么称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界，函数f(x)＝＋＋1.
(1)当a＝－1时，求函数f(x)在(－∞，0)上的值域，并判断函数f(x)在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；
(2)假设函数f(x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
解 (1)设y＝f(x)＝＋＋1.
当a＝－1时，y＝f(x)＝2x－x＋1(x<0)，
令t＝x，x<0，
那么t>1，y＝t2－t＋1＝2＋，
∴y>1，即函数f(x)在(－∞，0)上的值域为(1，＋∞)，
∴不存在常数M>0，使得|f(x)|≤M成立．
∴函数f(x)在(－∞，0)上不是有界函数．
(2)由题意，知|f(x)|≤3对x∈[0，＋∞)恒成立，
即－3≤f(x)≤3对x∈[0，＋∞)恒成立，
令t＝x，x≥0，那么t∈(0,1]．
∴－≤a≤－t对t∈(0,1]恒成立，
∴max≤a≤min.
设h(t)＝－，p(t)＝－t，t∈(0,1]，
∵h(t)在(0,1]上递增，p(t)在(0,1]上递减，
∴h(t)在(0,1]上的最大值为h(1)＝－5，p(t)在(0,1]上的最小值为p(1)＝1.
∴实数a的取值范围为[－5,1]．
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