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2022版高考数学大一轮复习 第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ第4讲 指数与指数函数备考试题

2022版高考数学大一轮复习 第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ第4讲 指数与指数函数备考试题

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第二章　函数概念与基本初等函数Ⅰ
第四讲　指数与指数函数
练好题·考点自测
1.下列说法正确的个数为(　　)
①nan=(na)n=a(n∈N*);
②分数指数幂amn可以理解为mn个a相乘;
③函数y=3·2x与y=2x+1都不是指数函数;
④若am<an(a>0,且a≠1),则m<n;
⑤函数y=2-x在R上为减函数;
⑥指数函数的图象恒过定点(0,1).
A.2 B.3 C.4 D.5
2.[2020天津,6,5分]设a=30.7,b=(13)-0.8,c=log0.70.8,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.a<b<c B.b<a<c
C.b<c<a D.c<a<b
3.[2020全国卷Ⅲ,4,5分][文]Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic
模型:I(t)=K1+e-0.23(t-53),其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 19≈3)(　　)
A.60 B.63 C.66 D.69
4.[2020全国卷Ⅱ,12,5分][文]若2x-2y<3-x-3-y,则(　　)
A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0
C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0
5.[2019北京,13,5分]设函数f(x)=ex+ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a=　　　　;若f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是　　　　. 
6.[山东高考,5分]已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=　　　. 
7.[福建高考,4分][文]若函数f(x)=2|x-a|(a∈R)满足f(1+x)=f(1-x),且f(x)在[m,+∞)上单调递增,则实数m的最小值等于　　　. 
拓展变式
1.(1)若将示例2(2)中“曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点”改为“曲线y=|2x-1|与直线y=b有两个公共点”,则b的取值范围为　　　　. 
(2)若将示例2(2)改为:函数y=|2x-1|在(-∞,k]上单调递减,则k的取值范围是　　　　. 
(3)若将示例2(2)改为:直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是　　　　. 
2.已知a,b∈(0,1)∪(1,+∞),当x>0时,1<bx<ax,则(　　)
A.0<b<a<1 B.0<a<b<1
C.1<b<a D.1<a<b
3.若f(x)=ex-ae-x为奇函数,则满足f(x-1)>1e2-e2的x的取值范围是(　　)
A.(-2,+∞) B.(-1,+∞)
C.(2,+∞) D.(3,+∞)
4.已知函数f(x)=2|2x-m|(m为常数).若f(x)在[2,+∞)上单调递增,则m的取值范围是　　　　. 

答 案
第二章　函数概念与基本初等函数Ⅰ
第四讲　指数与指数函数

1.B　根据指数运算的性质和指数函数的图象与性质可知①②④错误,③⑤⑥正确,故选B.
2.D　由题知c=log0.70.8<1,b=(13)-0.8=30.8,易知函数y=3x在R上单调递增,所以b=30.8>30.7=a>1,所以c<a<b,故选D.
3.C　由题意可知,当I(t*)=0.95K时,K1+e-0.23(t*-53)=0.95K,即10.95=1+e-0.23(t*-53),e-0.23(t*-53)=119,e0.23(t*-53)=19,∴0.23(t*-53)=ln 19≈3,∴t*≈66.故选C.
4.A　由2x-2y<3-x-3-y,得2x-3-x<2y-3-y,即2x-(13)x<2y-(13)y.设f(t)=2t-(13)t,则f(x)<f(y).因为函数z1=2t在R上为增函数,z2=-(13)t在R上为增函数,所以f(t)=2t-(13)t在R上为增函数,则由f(x)<f(y),得x<y,所以y-x>0,所以y-x+1>1,所以ln(y-x+1)>0,故选A.
5.-1　(-∞,0]　∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),即e-x+aex=-ex-ae-x,∴(1+a)e-x+(1+a)ex=0,∴a=-1.∵f(x)单调递增,∴f'(x)=ex-ae-x=e2x-aex≥0,∴e2x-a≥0,∴a≤0,故a的取值范围是(-∞,0].
6.-32　①当0<a<1时,函数f(x)在[-1,0]上单调递减,由题意可得f(-1)=0,f(0)=-1,即a-1+b=0,a0+b=-1,解得a=12,b=-2,此时a+b=-32.
②当a>1时,函数f(x)在[-1,0]上单调递增,
由题意可得f(-1)=-1,f(0)=0,即a-1+b=-1,a0+b=0,显然无解.
所以a+b=-32.
7.1　因为f(1+x)=f(1-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,所以a=1,所以函数f(x)=2|x-1|的图象如图D 2-4-1所示,因为函数f(x)在[m,+∞)上单调递增,所以m≥1,所以实数m的最小值为1.

图D 2-4-1

1.(1)(0,1)　曲线y=|2x-1|与直线y=b的图象如图D 2-4-2所示,由图象可得,如果曲线y=|2x-1|与直线y=b有两个公共点,则b的取值范围是(0,1).
(2)(-∞,0]　因为函数y=|2x-1|的单调递减区间为(-∞,0],所以k≤0,即k的取值范围为(-∞,0].

图D 2-4-2
(3)(0,12)　y=|ax-1|的图象是由y=ax先向下平移1个单位长度,再将x轴下方的图象沿x轴翻折过来得到的.
当a>1时,两图象只有一个交点,不合题意,如图D 2-4-3(1);当0<a<1时,要使两个图象有两个公共点,则0<2a<1,得到0<a<12,如图D 2-4-3(2).

(1)　　　　　　　　　　　(2)
图D 2-4-3
综上可知,a的取值范围是(0,12).
2.C　因为当x>0时,1<bx,所以b>1.因为当x>0时,bx<ax,所以(ab)x>1,可得ab>1,所以a>b.所以1<b<a.故选C.
3.B　由f(x)=ex-ae-x为奇函数,得f(-x)=-f(x),即e-x-aex=ae-x-ex,解得a=1,所以f(x)=ex-e-x,则f(x)在R上单调递增.又f(x-1)>1e2-e2=f(-2),所以x-1>-2,解得x>-1,故选B.
4.(-∞,4]　令t=|2x-m|,则t=|2x-m|在[m2,+∞)上单调递增,在(-∞,m2]上单调递减.因为f(x)=2t在R上为增函数,所以若函数f(x)=2|2x-m|在[2,+∞)上单调递增,则m2≤2,即m≤4,所以m的取值范围是(-∞,4].