直角三角形边角关系(教案)[1].doc

从梯子的倾斜程度谈起（一）教学目标：知识目标：1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系. 2.能够用tanA、cotA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切、余切进行简单的计算.能力目标：1.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.2.经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点.情感目标：积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.教学重点：理解正切的意义，能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等。教学难点：能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算.教学过程：一创设情境 引入课题问题在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他的边和角吗?从而引出课题二活动探究 引出定义梯子是日常生活常见的物体，让学生比较如何比较梯子的倾斜度，有哪些办法？“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的? 从而引出正切、余切的定义教师通过引导学生观察、讨论，通过步步设问，引发学生思考。定义 在在RtABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tanA，即tanA=A的对边/A的邻边定义 在在RtABC中，锐角A的邻边与对边的比叫做A的余切，记作cotA，即cotA=A的邻边/A的对边判断对错:图1，tanA=BC/AC （ ） cotA=AC/BC （ ）图2，tanA=0.7m ( ) cotA=0.7 ( ) 图 1 图2注意： 1.tanA,cotA是一个完整的符号，它表示A的正切和余切，记号里习惯省去角的符号“”. 2.tanA，cotA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中A的对边与邻边的比. 3.tanA不表示“tan”乘以“A”, cotA不表示“cot”乘以“A” 4.初中阶段，我们只学习直角三角形中，A是锐角的正切.05tanA和cotA的大小只与A的大小有关，而与直角三角形的大小无关。三探究思考 应用延伸 探究：梯子的倾斜程度与tanA有什么关系？梯子的倾斜角的对边与邻边的比值刻画了梯子的倾斜程度，梯子越陡，tanA的值越大；反过来，tanA的值越大，梯子越陡；梯子越陡，cotA的值越小；反过来，cotA的值越小，梯子越陡；四典型例题例1如图表示两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？正切在日常生活中的应用很广泛，例如建筑，工程技术等.正切经常用来描述山坡的坡度、堤坝的坡度.山坡的坡度（或坡比）：坡面铅直高度与水平宽度的比（即坡角的正切），。例2在ABC中，C=90，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值.例3.在中，求BC的长及的值。ABC五知识小结本节课你有哪些收获？ 六作业布置随堂练习习题1.1七教学反思从梯子的倾斜程度谈起（二）教学目标知识目标 1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义. 2.能够运用sinA、cosA表示直角三角形两边的比. 3.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算. 4.理解锐角三角函数的意义.能力目标 1.经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点. 2.体会数形结合的思想，并利用它分析、解决问题，提高解决问题的能力.情感目标 1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲. 2.形成合作交流的意识以及独立思考的习惯.教学重点 1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明. 2.能用sinA、cosA表示直角三角形两边的比. 3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算.教学难点 用函数的观点理解正弦、余弦和正切.教学过程一创设情境，引入新课 在上一节课曾讨论过用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度，并且得出了当倾斜角确定时，其对边与斜边之比随之确定.也就是说这一比值只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关.并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切. 邻边与对边之比定义了余切. 现在我们提出两个问题： 问题1当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗? 问题2梯子的倾斜程度与这些比有关吗?如果有，是怎样的关系?二活动探究 引出定义 1.正弦、余弦及三角函数的定义 多媒体演示如下内容：想一想：如图(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系?(2) 有什么关系? 呢? (3)如果改变A2在梯子A1B上的位置呢?你由此可得出什么结论?(4)如果改变梯子A1B的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论?结论：只要梯子的倾斜角确定，倾斜角的对边.与斜边的比值，倾斜角的邻边与斜边的比值随之确定.也就是说，这一比值只与倾斜角有关，而与直角三角形大小无关. 如果改变梯子A1B的倾斜角的大小，如虚线的位置，倾斜角的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值随之改变.我们会发现这是一个变化的过程.对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值都随着倾斜角的改变而改变，同时，如果给定一个倾斜角的值，它的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值是唯一确定的.这是一种什么关系呢?（函数关系） 上面我们有了和定义正切、余切相同的基础，接着我们类比正切、余切还可以有如下定义： 定义 在RtABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做A的正弦，记作sinA，即 sinA 定义 在RtABC中，锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosA，即 cosA= 锐角A的正弦、余弦、正切、余切都是A的三角函数 当直角三角形中的锐角A确定时.A的对边与斜边的比值，A的邻边与斜边的比值，A的对边与邻边的比值也都唯一确定.在“A的三角函数”概念中，A是自变量，其取值范围是0A90；三个比值是因变量.当A变化时，四个比值也分别有唯一确定的值与之对应.三探究思考 应用延伸 梯子的倾斜程度与sinA和cosA的关系上一节知道了梯子的倾斜程度与tanA有关系：tanA的值越大，梯子越陡.由此我们想到梯子的倾斜程度是否也和sinA、cosA有关系呢?如果有关系，是怎样的关系?sinA的值越大，梯子越_；cosA的值越大，梯子越_；四.例题讲解ABC例1.在中，求BC的长及的值。ABC例2.如果在中，是锐角，且求的值。ABCD例3.如图，在中，求的其它几个三角函数值。五知识小结本节课你有哪些收获？ 六作业布置随堂练习习题1.2七教学反思（选用练习）1.在等腰三角形ABC中，AB=AC5，BC=6，求sinB，cosB，tanB. 2.在ABC中，C90，sinA，BC=20，求ABC的周长和面积. 3.在ABC中.C=90，若tanA=，则sinA= . 4.已知：如图，CD是RtABC的斜边AB上的高，用正弦、余弦函数的定义证明：BC2ABBD. 5.如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，求BDE的正切值.ABCDE角的三角函数值学习目标知识目标经过三角函数值的推导过程，能推导并熟记30、45、60角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。能力目标能熟练计算含有30、45、60角的三角函数的运算式情感目标 经过三角函数值的推导过程，形成合作交流的意识以及独立思考的习惯.学习重点熟记30、45、60角的三角函数值，能熟练计算含有30、45、60角的三角函数的运算式学习难点30、45、60角的三角函数值的推导过程教学过程一回忆定义： 引导学生回忆三角函数的定义。二、合作交流思考：两块三角尺中有几个不同的锐角？是多少度？你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值、正切和余切值吗？三、归纳结果四典型例题例1：求下列各式的值 （1）cos260+sin260 （2）-tan45例2：（1）如图（1），在RtABC中，C=90，AB=，BC=，求A的度数 （2）如图（2），已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍，求aABCD例3.如图，在中，求的值。例4.如图，在中，AD是BC边上的高，E为AC的中点，BC=14,AD=12,sinB=.求ABCDE（1） DC的长。（2）的正切值。五知识小结本节课你有哪些收获？ 六作业布置随堂练习习题1.3七教学反思三角函数的有关计算（一）教学目标：知识目标1.经历用计算器由已知锐角求三角函数的过程，进一步体会三角函数的意义。2.能够用三角函数值进行有关直角三角形边的计算。能力目标能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题，提高用现代工具解决实际问题的能力。发现实际问题中的边角关系，提高学生有条理地思考和表达的能力。情感目标培养学生学数学，用数学的思想。教学重点：1.用计算器求已知锐角的三角函数值。2.能够用三角函数值计算直角三角形的边的实际问题。教学难点：能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题。教学过程：一、问题引入，激发兴趣DABCE问题1. 如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200米，已知缆车行驶的路程与小平面的夹角为16，那么缆车垂直上升的距离是多少？问题2. 200sin16米中的sin16是多少呢？二、讲授新课：1.用科学计算器求一般锐角的三角函数值.如：求sin16,cos42,tan85和sin723825按键顺序如下表所示：按键顺序显示结果sin16cos61sinsin16=0.275637355cos425tan24cos42=0.743144825tan858tan85=11.4300523sin723825=DMS52DMS83sin2DMS7sin723825=0.954450312对于本节一开始的问题，利用科学计算器可以求得BC200 sin1655.12想一想：在本节一开始的问题中，当缆车继续由点B到达D时，它又走过了200米，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角为42，由此你还能计算什么？随堂练习：练习1.用计算器计算下列各式的值（1）sin56 (2)sin1549(3) cos20 (4)tan29(5)tan445959 (6)sin15+cos61+tan76练习2.你能用计算器计算说明下列等式成立吗？（1） sin15+sin25=sin40（2） cos20+cos26=cos46（3） tan25+tan15=tan40练习3.课本P17随堂练习.2、用三角函数值解决实际问题1.一个人从山底爬到山顶，需先爬40的山坡300米，再爬30的山坡100米，求山高. （精确到0.01）ABCDE4030ABCD456020m2.求图中避雷针CD的长度.三知识小结：1.本节课你有什么收获？ 2.本节课你认为自己解决的问题是什么？3.通过今天的学习，你想进一步研究的问题是什么？四作业布置习题1.4 1、2题五教学反思三角函数的有关计算(二)教学目标(一)知识目标 1经历用计算器由三角函数值求相应锐角的过程，进一步体会三角函数的意义2能够利用计算器进行有关三角函数值的计算3能够运用三角函数值计算直角三角形中锐角的实际问题(二)能力目标1借助计算器，解决含三角函数的实际问题，提高用现代工具解决实际问题的能力2发现实际问题中的边角关系，提高学生有条理地思考和表达能力(三)情感目标1积极参与数学活动，体会解决问题后的快乐2形成实事求是的严谨的学习态度教学重点1用计算器由已知三角函数值求锐角2能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题教学难点用计算器辅助解决含三角函数值计算直角三角形的锐角的实际问题教学过程一创设情境，引入新课随着人民生活水平的提高，农用小轿车越来越多，为了交通安全，某市政府要修建10m高的天桥，为了方便行人推车过天桥，需在天桥两端修建40m长的斜道这条斜道的倾斜角是多少？我们知道了sinA时，锐角A是唯一确定的现在我要告诉大家的是要解决这个问题，我们可以借助于科学计算器来完成这节课，我们就来学习如何用科学计算器由锐角三角函数值求相应锐角的大小二讲授新课1用计算器由锐角三角函数值求相应锐角的大小已知三角函数求角度，要用到sin、cos、tan键的第二功能“sin1，cos1，tan1”和2ndf键例如：已知sinA0.9816，求锐角A；已知cosA0.8607，求锐角A；已知tanA0.1890，求锐角A；已知tanA56.78，求锐角A按键顺序显示结果sinA0.98162ndf sin 0 98 1 6 sin10.981678.99184039cosA0.86072ndf cos 0 86 0 7 cos10.860730.60473007tanA0.18902ndf tan 0 18 9 0 tan10.189010.70265749tanA56.782ndf tan 5 6 7 8 tan156.7888.99102049上表的显示结果是以“度”为单位的再按2ndf DMS键即可显示以“度、分、秒”为单位的结果你还能完成下列已知三角函数值求角度的题吗？ 1根据下列条件求锐角的大小：(1)tan2.9888；(2)sin0.3957；(3)cos0.7850；(4)tan0.8972；(5)sin；(6)cos；(7)tan22.3；(8)tan；2某段公路每前进100米，路面就升高4米，求这段公路的坡角2运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题例1如图，工件上有一V形槽，测得它的上口宽20mm，深19.2mm，求V形角(ACB)的大小(结果精确到1) 例2如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤已知肿瘤在皮下6.3cm的A处，射线从肿瘤右侧9.8cm的B处进入身体，求射线的入射角度 例3如图，美国侦察机B飞抵我国近海搞侦察活动，我战斗机A奋起拦截，地面雷达C测得：当两机都处在雷达的正东方向，且在同一高度时，它们的仰角分别为DCA45，DCB30，它们与雷达的距离分别为AC80千米，求此时两机的距离是多少千米？ 3.解直角三角形我们讨论锐角三角形函数，都是将锐角放到直角三角形中讨论，又一次揭示了直角三角形中的边角关系在直角三角形中，除直角外，有5个元素，两个锐角，两条直角边和一条斜边在RtABC中，C90，A、B、C所对的边分别为a、b、c(1)边的关系：a2b2c2(勾股定理)；(2)角的关系：AB90；(3)边角关系：sinA，cosA，tanA；sinB，cosB，tanB很多实际问题中的数量关系都可归结为直角三角形中元素之间的关系，使实际问题都得到解决三随堂练习1已知sin0.82904，求的大小2一梯子斜靠在一面墙上已知梯长4m，梯子位于地面上的一端离墙壁2.5m，求梯子与地面所成的锐角四知识小结本节课我们学习了用计算器由三角函数值求相应的锐角的过程，进一步体会三角函数的意义，并且用计算器辅助解决含有三角函数值计算的实际问题五作业布置习题15第1、2、3题六教学反思船有触礁的危险吗教学目标知识目标 1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用. 2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.能力目标 发展学生的数学应用意识和解决问题的能力.情感目标 1.在经历弄清实际问题题意的过程中，画出示意图，培养独立思考问题的习惯和克服困难的勇气. 2.选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数学的欲望.教学重点 1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用. 2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力.教学难点 根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.教学过程一创设情境，引入新课 海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流. 下面就请同学们用锐角三角函数知识解决此问题.(板书：船有触礁的危险吗)二讲授新课 我们注意到题中有很多方位，在平面图形中，方位是如何规定的? 请同学们根据题意在练习本上画出示意图，然后说明你是怎样画出来的.示意图如下. 货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定? 引导学生将实际问题清晰条理地转化成数学问题. AD如何求？根据题意，有哪些已知条件呢? 接下来，我们再来研究一个问题.还记得本章开头小明要测塔的高度吗?现在我们来看他是怎样测的，并根据他得到的数据帮他求出塔的高度. 问题：如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30，再往塔的方向前进50m至B处.测得仰角为60.那么该塔有多高?三典型例题1.如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成45夹角，且DB5 m，现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少?2.如图，水库大坝的截面是梯形ABCD，坝顶AD6 m，坡长CD8 m.坡底BC30 m，ADC=135. (1)求ABC的大小： (2)如果坝长100 m.那么建筑这个大坝共需多少土石料?(结果精确到0.01 m3) 3.如图，某货船以20海里时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40海里时的速度由A向北偏西60方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响. (1)问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由. (2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?四.课时小结 本节课我们运用三角函数解决了与直角三角形有关的实际问题，提高了我们分析和解决实际问题的能力. 其实，我们这一章所学的内容属于“三角学”的范畴.请同学们阅读“读一读”，了解“三角学”的发展，相信你会对“三角学”更感兴趣.五课后作业 习题1.6第1、2、3题.六教学反思 测量物体的高度教学目标知识目标 1、经历活动设计方案。 2、能利用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题。能力目标 1、体会数型之间的联系，逐步学会利用数型结合的思想分析和解决问题。 2、积累数学活动的经验。情感目标 培养学生不怕困难的品质，发展合作意识和科学精神。教学重点 能利用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题。教学难点利用数型结合的思想分析和解决问题。教学过程：一.问题引入你能测量学校旗杆的高度吗?以前，我们搞过类似的的活动，我们知道可以利用数学解决一些实际问题。现在我们学了三角函数后，当然也要学以致用。所以我们这次是用三角函数的知识来测量以学校操场为水平面的其它物体的高度。二实践活动活动一：测量底部可以到达的物体的高度所谓底部可以到达，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被被测物体底部间距离。我们先测学校餐厅的柱子高度MN：设计方案（1）测出人眼睛到脚的高度。（2）人手拿测倾器，测得仰角的度数。（3）量出此时测点及到柱子底部的水平距离。构造图形解决问题。活动二：测量底部不可到达的物体的高度所谓底部不可到达就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离。我测量一高楼的高度。设计方案（1）手拿测倾器，在测点上，测得此时楼顶的仰角度数。（2）在测点与物体间再取一测点，人站在此处，测得此时的仰角，（楼顶、头顶、测倾器在同一直线）（3）量出测点间距离。构造图形解决问题在实验的过程中，需要我们科学地设计行动方案，准备好必要的工具；在方法上要舍弃一些次要的因素，抓住问题的主要矛盾，作出合理的假设，将复杂问题简单化。在实验中要针对目标，分析哪些量是已知的，哪些量是未知的，怎样获取相关数据，等等。三典型例题 例1如图，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为450和600，试求塔高与楼高（精确到0.01米）。（参考数据：1.41421，1.73205）例2如图，直升飞机在跨河大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO450米，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为，求大桥AB的长（精确到1米，选用数据：1.41，1.73【例3】一艘渔船正以30海里小时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在船的北偏东600方向，40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东300方向，已知以小岛C为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？ 【例4】某水库大坝横断面是梯形ABCD，坝顶宽CD3米，斜坡AD16米，坝高8米，斜坡BC的坡度13，求斜坡AD的坡角和坝底宽AB。 选用练习1.如图，等边三角形ABC中，D是BC边上一点，BD：DC=2：1，求CAD的四个三角函数值。ABCD2.如图，D为AB的中点，DCAC，BCD=30，求ADC的四个三角函数值。ABCD3.如图,三角形ABC中,AE平分BAC，AC=CB，C=90，求BAE的正切值。CABE4.如图，BAC=45，ADBC于D，AD=6，BD=3，求C的正切值。ABCD5.如图，四边形ABCD中，AD=CD，AB=7，tanA=2，B=D=90，求BC的长。ABCDABCD6.如图，在直角三角形ABC中，C=90,SinB=,点D在BC边上，ADC=45，DC=6,求tanBAD的值。ABCDE7如图，在菱形ABCD中，AEBC于E,EC=1,SinB=,求四边形AECD的周长。.8.在直角三角形ABC中，C=90，已知A、B、C所对的边分别是a、b 、c, 且a+b=12, A=60,求c的值。9.在直角三角形ABC中，C=90，a-b=2,CosA=,求a、b、c的值。10.如图，B是AD的中点， ACB=90,tanA=,求tan BCD的值。ACBD11如图，梯形ABCD中，AB/CD,两对角线AC、BD相交于点O，且BDAD,已知BC=CD=7,AD=2,(1)求AB的长；（2）求SinDAC的值。ABCDO12.如图，P、Q是正方形ABCD外两点，APD和BCQ都是等边三角形，（1）求证：PQ/AB; (2) 求PQD的正切值。ABCDPQQ13.如图，矩形AOCB的两边OC、OA分别位于x轴、y轴上，点B坐标为（，5），D是AB边上一点，将ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线0B上的点E处，若点E在一反比例函数上，（1） 求反比例函数的解析式；（2） 求AOD的余切值；xyABCDE（3） 过A、E两点作直线，除去E点外，直线AE与反比例函数图像是否还有其它交点？若存在，求出其坐标；若不存在，说明理由。