资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．某市计划争取“全面改薄”专项资金120 000 000元，用于改造农村义务教育薄弱学校100所数据120 000 000用科学记数法表示为（ ）
A．12×108 B．1.2×108 C．1.2×109 D．0.12×109
2．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
3．已知点都在函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y1＞y3 B．y1＞y2＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y1＞y2
4．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别交AB、BC于点D、E．若四边形ODBE的面积为9，则k的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
5．如图，在⊙O中，若点C是 的中点，∠A=50°，则∠BOC=（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
6．抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示．下列叙述中：①；②关于的方程的两个根是；③；④；⑤当时，随增大而增大．正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中不变的是（ ）
A．主视图 B．左视图
C．俯视图 D．主视图和俯视图
8．如图，函数的图象与轴的一个交点坐标为(3,0)，则另一交点的横坐标为（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
9．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．1或5
10．计算得（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，已知正方形OABC的三个顶点坐标分别为A (2，0)，B (2，2)，C (0，2)，若反比例函数的图象与正方形OABC的边有交点，请写出一个符合条件的k值__________．
12．如图，在菱形ABCD中，E是BC边上的点，AE交BD于点F，若EC=2BE，则的值是 ．
13．如图,从一块直径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角是的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，那么圆锥的底面圆的半径为___________．
14．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AC=20，请用含α的式子表示BC的长___________．
15．反比例函数的图象在一、三象限,则应满足_________________.
16．将抛物线向上平移1个单位后，再向左平移2个单位，得一新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是__________________________．
17．若，则的值是______.
18．若一个圆锥的主视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该圆锥的侧面积是____________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）某学校在倡导学生大课间活动中，随机抽取了部分学生对“我最喜爱课间活动”进行了一次抽样调查，分别从打篮球、踢足球、自由活动、跳绳、其它等5个方面进行问卷调（每人只能选一项），根据调查结果绘制了如图的不完整统计图，请你根据图中信息，解答下列问题.
（1）本次调查共抽取了学生 人；
（2）求本次调查中喜欢踢足球人数；
（3）若甲、乙两位同学通过抽签的方式确定自己填报的课间活动，则两位同学抽到同一运动的概率是多少？
20．（6分）如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=30°，将AC绕着点A顺时针旋转60°得AE，连接BE，CE．
（1）求证：△ADC≌△ABE；
（2）求证：
（3）若AB=2，点Q在四边形ABCD内部运动，且满足，直接写出点Q运动路径的长度．
21．（6分）如图，在中，是边上的一点，若，求证：.
22．（8分）解方程
（1）（用配方法）
（2）
（3）计算：
23．（8分）将四人随机分成甲、乙两组参加羽毛球比赛，每组两人．
（1）在甲组的概率是多少？
（2）都在甲组的概率是多少？
24．（8分）京剧脸谱是京剧艺术独特的表现形式，现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“红脸”，另外一张卡片的正面图案为“黑脸”，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张.请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率（图案为“红脸”的两张卡片分别记为、，图案为“黑脸”的卡片记为）.
25．（10分）如图，已知直线的函数表达式为，它与轴、轴的交点分别为两点．
（1）若的半径为2，说明直线与的位置关系；
（2）若的半径为2，经过点且与轴相切于点，求圆心的坐标；
（3）若的内切圆圆心是点，外接圆圆心是点，请直接写出的长度．
26．（10分）综合与实践：
如图，已知 中,．
（1）实践与操作： 作 的外接圆，连结 ，并在图中标明相应字母；（尺规作图，保留作图痕迹， 不写作法）
（2）猜想与证明： 若，求扇形的面积.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】120 000 000＝1.2×108，
故选：B．
【点睛】
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2、C
【解析】设，那么点（3，2）满足这个函数解析式，∴k=3×2=1．∴．故选C
3、A
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点分别代入函数，求得的，然后比较它们的大小．
【详解】解：把分别代入：
∵＞＞，
∴＞＞
故选：A．
【点睛】
本题考查的是反比例函数的性质，考查根据自变量的值判断函数值的大小，掌握判断方法是解题的关键．
4、C
【分析】本题可从反比例函数图象上的点E、M、D入手，分别找出△OCE、△OAD、▱OABC的面积与|k|的关系，列出等式求出k值．
【详解】解：由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则，，
过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S▱ONMG＝|k|，
又∵M为矩形ABCO对角线的交点，则S矩形ABCO＝4S▱ONMG＝4|k|，
由于函数图象在第一象限，
∴k＞0，则，
∴k＝1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
5、A
【解析】试题解析：
∵点C是 的中点，
故选A.
点睛：垂直于弦的直径，平分弦并且平分弦所对的两条弧.
6、B
【分析】由抛物线的对称轴是，可知系数之间的关系，由题意，与轴的一个交点坐标为，根据抛物线的对称性，求得抛物线与轴的一个交点坐标为，从而可判断抛物线与轴有两个不同的交点，进而可转化求一元二次方程根的判别式，当时，代入解析式，可求得函数值，即可判断其的值是正数或负数.
【详解】抛物线的对称轴是
；③正确，
与轴的一个交点坐标为
抛物线与与轴的另一个交点坐标为
关于的方程的两个根是；②正确，
当x=1时，y=；④正确
抛物线与轴有两个不同的交点
，则①错误；
当时，随增大而减小
当时，随增大而增大，⑤错误；
②③④正确，①⑤错误
故选：B.
【点睛】
本题考查二次函数图象的基本性质：对称性、增减性、函数值的特殊性、二次函数与一元二次方程的综合运用，是常见考点，难度适中，熟练掌握二次函数图象基本性质是解题关键.
7、B
【解析】主视图是从正面观察得到的图形，左视图是从左侧面观察得到的图形，俯视图是从上面观察得到的图形，结合图形即可作出判断．
解：根据图形，可得：平移过程中不变的是的左视图，变化的是主视图和俯视图．
故选B．
8、D
【分析】根据到函数对称轴距离相等的两个点所表示的函数值相等可求解．
【详解】根据题意可得：函数的对称轴直线x=1，则函数图像与x轴的另一个交点坐标为(－1，0)．
故横坐标为-1,
故选D
考点：二次函数的性质
9、D
【分析】分圆P在y轴的左侧与y轴相切、圆P在y轴的右侧与y轴相切两种情况，根据切线的判定定理解答．
【详解】当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3-2=1，
当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2=5，
故选D．
【点睛】
本题考查的是切线的判定、坐标与图形的变化-平移问题，掌握切线的判定定理是解题的关键，解答时，注意分情况讨论思想的应用．
10、A
【分析】根据题意对原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
【详解】解：
=1．
故选：A．
【点睛】
本题考查分式的加减法，熟练掌握分式的加减法运算法则是解答本题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1（满足条件的k值的范围是0＜k≤4）
【分析】反比例函数上一点 向x 、y 轴分别作垂线，分别交于y轴和x轴，则围成的矩形的面积为|k|，据此进一步求解即可.
【详解】∵反比例函数图像与正方形有交点，
∴当交于B点时，此时围成的矩形面积最大且为4，
∴|k|最大为4，
∵在第一象限，
∴k为正数，即0＜k≤4，
∴k的取值可以为：1.
故答案为：1（满足条件的k值的范围是0＜k≤4）.
【点睛】
本题主要考查了反比例函数中比例系数的相关运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
12、
【解析】EC=2BE,得 ,由于AD//BC,得
13、
【分析】根据题意可知扇形ABC围成圆锥后的底面周长就是弧BC的弧长，再根据弧长公式和圆周长公式来求解.
【详解】解：作于点,连结OA、BC,
∵∠BAC=90°
∴BC是直径，OB=OC,
,
圆锥的底面圆的半径
故答案为：
【点睛】
本题考查了扇形围成圆锥形，圆锥的底面圆的周长就是原来扇形的弧长，找到它们的关系是解题的关键.
14、
【分析】在直角三角形中，角的正切值等于其对边与邻边的比值，据此求解即可.
【详解】在Rt△ABC中，∵∠A=α，AC=20，
∴=，即BC=.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了三角函数解直角三角形，熟练掌握相关概念是解题关键.
15、
【分析】根据条件反比例函数的图象在一、三象限,可知k+2＞0，即可求出k的取值.
【详解】解：∵反比例函数的图象在一、三象限,
∴＞0，
∴k+2＞0，
∴
故答案为：
【点睛】
难题考察的是反比例函数的性质，图象在一三象限时k＞0,图象在二四象限时k＜0.
16、y=(x+2)2-1
【分析】根据函数图象的平移规律解答即可得到答案
【详解】由题意得：平移后的函数解析式是，
故答案为：.
【点睛】
此题考查抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，正确掌握平移的规律并运用解题是关键.
17、
【分析】根据合比性质：，可得答案．
【详解】由合比性质，得，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了比例的性质，利用合比性质是解题关键．
18、15π．
【分析】根据圆锥的主视图得到圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【详解】解：根据题意得圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，
所以这个圆锥的侧面积=×5×2π×3=15π．
【点睛】
本题考查圆锥侧面积的计算，掌握公式，准确计算是本题的解题关键.
三、解答题(共66分)
19、（1）50；（2）12；（3）.
【分析】（1）根据条形图和扇形图中打篮球的数据计算得出总人数；
（2）用总人数减去其他组的人数即可得到踢足球的人数；
（3）列表解答即可.
【详解】（1）本次调查抽取的学生人数为： （人），
故答案为：50；
（2）本次调查中喜欢踢足球人数为：50-5-20-8-5=12（人）；
（3）列表如下：
共有25种等可能的情况，其中两位同学抽到同一运动的有5种，
∴P(两位同学抽到同一运动的)= .
【点睛】
此题考查数据的计算，正确掌握根据部分计算得出总体的方法，能计算某部分的人数，会列树状图或表格求概率.
20、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【解析】（1）推出∠DAC=∠BAE，则可直接由SAS证明△ADC≌△ABE；
（2）证明△BCE是直角三角形，再证DC=BE，AC=CE即可推出结论；
（3）如图2，设Q为满足条件的点，将AQ绕着点A顺时针旋转60度得AF，连接QF，BF，QB，DQ，AF，证△ADQ≌△ABF，由勾股定理的逆定理证∠FBQ=90°，求出∠DQB=150°，确定点Q的路径为过B，D，C三点的圆上，求出的长即可．
【详解】（1）证明：∵∠CAE=∠DAB=60°，
∴∠CAE-∠CAB=∠DAB-∠CAB，
∴∠DAC=∠BAE，
又∵AD=AB，AC=AE，
∴△ADC≌△ABE（SAS）；
（2）证明：在四边形ABCD中，
∠ADC+∠ABC=360°-∠DAB-∠DCB=270°，
∵△ADC≌△ABE，
∴∠ADC=∠ABE，CD=BE，
∴∠ABC+ABE=∠ABC+∠ADC=270°，
∴∠CBE=360°-（∠ABC+ABE）=90°，
∴CE2=BE2+BC2，
又∵AC=AE，∠CAE=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴CE=AC=AE，
∴AC2=DC2+BC2；
（3）解：如图2，设Q为满足条件的点，将AQ绕着点A顺时针旋转60度得AF，连接QF，BF，QB，DQ，AF，
则∠DAQ=∠BAF，AQ=QF，△AQF为等边三角形，
又∵AD=AB，
∴△ADQ≌△ABF（SAS），
∴AQ=FQ，BF=DQ，
∵AQ2=BQ2+DQ2，
∴FQ2=BQ2+BF2，
∴∠FBQ=90°，
∴∠AFB+∠AQB=360°-（∠QAF+∠FBQ）=210°，
∴∠AQD+∠AQB=210°，
∴∠DQB=360°-（∠AQD+∠AQB）=150°，
∴点Q的路径为过B，D，C三点的圆上，
如图2，设圆心为O，则∠BOD=2∠DCB=60°，
连接DB，则△ODB与△ADB为等边三角形，
∴DO=DB=AB=2，
∴点Q运动的路径长为：．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，四边形的内角和，勾股定理的逆定理，圆的有关性质及计算等，综合性较强，解题关键是能够熟练掌握并灵活运用圆的有关性质．
21、见解析
【分析】根据相似三角形的判定，由题意可得，进而根据相似三角形的性质，可得，推论即可得出结论.
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
即.
【点睛】
本题主要考察了相似三角形的判定以及性质，灵活运用相关性质是解题的关键.
22、（1），；（2），；（3）
【分析】（1）方程整理配方后，开方即可求出解；
（2）把方程左边进行因式分解，求方程的解；
（3）根据二次根式、特殊角的三角函数值、0次幂、负整数指数幂的运算法则计算即可．
【详解】（1），
方程整理得：，
配方得：，
即，
开方得：，
解得：，；
（2），
，
即，
∴或，
解得：， ；
（3）
．
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程－配方法、因式分解法以及实数的混合运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握一元二次方程的各种解法以及熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
23、（1）（2）
【解析】解：所有可能出现的结果如下：
甲组
乙组
结果
（）
（）
（）
（）
（）
（）
总共有6种结果，每种结果出现的可能性相同．
（1）所有的结果中，满足在甲组的结果有3种，所以在甲组的概率是，··· 2分
（2）所有的结果中，满足都在甲组的结果有1种，所以都在甲组的概率是．
利用表格表示出所有可能的结果，根据在甲组的概率=，
都在甲组的概率=
24、抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率是.
【分析】根据题意画出树状图，求出所有的情况数和两次抽取的卡片上都是“红脸”的情况数，再根据概率公式计算即可．
【详解】画树状图如图
由树状图可知，所有可能出现的结果共有9种，其中两次抽取的卡片都是“红脸”的结果有4种，所以（两张都是“红脸”）
答：抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率是.
【点睛】
此题主要考查了概率的求法．用到的知识点为树状图和概率的求法，概率=所求情况数与总情况数之比，关键是根据题意画出树状图．
25、（1）直线AB与⊙O的位置关系是相离；（2）（，2）或（-，2）；（3）
【分析】（1）由直线解析式求出A（-4，0），B（0，3），得出OB=3，OA=4，由勾股定理得出AB==5，过点O作OC⊥AB于C，由三角函数定义求出OC=＞2，即可得出结论；
（2）分两种情况：①当点P在第一象限，连接PB、PF，作PC⊥OB于C，则四边形OCPF是矩形，得出OC=PF=BP=2，BC=OB-OC=1，由勾股定理得出PC=，即可得出答案；②当点P在的第二象限，根据对称性可得出此时点P的坐标；
（3）设⊙M分别与OA、OB、AB相切于C、D、E，连接MC、MD、ME、BM，则四边形OCMD是正方形，DE⊥AB，BE=BD，得出MC=MD=ME=OD=（OA+OB-AB）=1，求出BE=BD=OB-OD=2，由直角三角形的性质得出△ABO外接圆圆心N在AB上，得出AN=BN=AB=，NE=BN-BE=，在Rt△MEN中，由勾股定理即可得出答案．
【详解】解：（1）∵直线l的函数表达式为y=x+3，
∴当x=0时，y=3；当y=0时，x=4；
∴A（﹣4，0），B（0，3），
∴OB=3，OA=4，
AB==5，
过点O作OC⊥AB于C，如图1所示：
∵sin∠BAO=，
∴，
∴OC=＞2，
∴直线AB与⊙O的位置关系是相离；
（2）如图2所示，分两种情况：
①当点P在第一象限时，连接PB、PF，作PC⊥OB于C，
则四边形OCPF是矩形，
∴OC=PF=BP=2，
∴BC=OB﹣OC=3﹣2=1，
∴PC=，
∴圆心P的坐标为：（，2）；
②当点P在第二象限时，
由对称性可知，在第二象限圆心P的坐标为：（-，2）．
综上所知，圆心P的坐标为（，2）或（-，2）．
（3）设⊙M分别与OA、OB、AB相切于C、D、E，连接MC、MD、ME、BM，如图3所示：
则四边形OCMD是正方形，DE⊥AB，BE=BD，
∴MC=MD=ME=OD=（OA+OB﹣AB）=×（4+3﹣5）=1，
∴BE=BD=OB﹣OD=3﹣1=2，
∵∠AOB=90°，∴△ABO外接圆圆心N在AB上，
∴AN=BN=AB=，∴NE=BN﹣BE=﹣2=，
在Rt△MEN中，
MN=．
【点睛】
本题是圆的综合题目，考查了直线与圆的位置关系、直角三角形的内切圆与外接圆、勾股定理、切线长定理、正方形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握直线与圆的位置关系，根据题意画出图形是解题的关键．
26、（1）答案见解析；（2）
【分析】（1）直角三角形外接圆的圆心在斜边中点，做出AB的垂直平分线找到斜边中点O，然后连接OC即可；（2）根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半求出圆心角的度数，然后利用扇形面积公式进行求解.
【详解】解：（1）如图所示：外接圆与线段为所求.
【点睛】
本题考查尺规作图和扇形面积的求法，掌握直角三角形外接圆的圆心是斜边中点，从而做出斜边的垂直平分线，熟记扇形面积公式并正确计算是本题的解题关键.
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