概率论课后习题解答.doc

一、习题详解：
1.1 写出下列随机试验的样本空间：
(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数;
解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故；
(2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和;
解：；
(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;
解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以；
(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品;
解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：

(5) 检查两件产品是否合格;
解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则；
(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2);
解：用表示最低气温, 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故：
；
(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;
解：；
(8) 在长为的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度.
解：；
1.2 设A，B，C 为三事件, 用A;B;C 的运算关系表示下列各事件：
(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; ；
(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;；
(3) A,B,C 中至少有一个发生; ；
(4) A,B,C 中恰有一个发生;；
(5) A,B,C 中至少有两个发生; ；
(6) A,B,C 中至多有一个发生;； (7) A;B;C 中至多有两个发生;；
(8) A,B,C 中恰有两个发生. ；
注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

1.3 设样本空间, 事件=,
具体写出下列各事件：
(1) ; (2) ; (3) ; (4)
（1） ；
(2) =；
(3) =;
(4) =

1.4 用作图法说明下列各命题成立：
略
1.5 用作图法说明下列各命题成立：
略
1.6 按从小到大次序排列, 并说明理由.
解：由于故，而由加法公式，有：
1.7 若W 表示昆虫出现残翅, E 表示有退化性眼睛, 且P(W) = 0.125; P(E) = 0.075,
P(WE) = 0.025, 求下列事件的概率：
(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛;
(2) 昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛;
(3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛.
解：(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：
(2) 由于事件可以分解为互斥事件，昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛对应事件 概率为：
(3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛的概率为：.
1.8 设A 与B 是两个事件, P(A) = 0.6; P(B) = 0.8。试问：
(1) 在什么条件下P(AB) 取到最大值? 最大值是多少?
(2) 在什么条件下P(AB) 取到最小值? 最小值是多少?
解：(1) 由于，故显然当时P(AB) 取到最大值。 最大值是0.6.
(2) 由于。显然当时P(AB) 取到最小值，最小值是0.4.

1.9 设P(A) = 0.2, P(B) = 0.3, P(C) = 0.5, P(AB) = 0, P(AC) = 0.1, P(BC) = 0.2, 求事件
A,B,C 中至少有一个发生的概率.
解：因为 P(AB) = 0，故 P(ABC) = 0.至少有一个发生的概率为：
1.10 计算下列各题：
(1) 设P(A) = 0.5, P(B) = 0.3, P(AB) = 0.6, 求P(AB);
(2) 设P(A) = 0.8, P(AB) = 0.4, 求P(AB);
(3) 设P(AB) = P(A B); P(A) = 0.3, 求P(B)。
解：
（1） 通过作图，可以知道，
（2）

1.11 把3个球随机地放入4个杯子中，求有球最多的杯子中球数是1，2，3 概率各为多少？
解：用表示事件“杯中球的最大个数为个” =1,2,3。三只球放入四只杯中，放法有种，每种放法等可能。
对事件：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4×3×2种，故

(选排列：好比3个球在4个位置做排列)。
对事件：必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子，放入此3个球，选法有4种)，故。

1.12 掷一颗匀称的骰子两次, 求前后两次出现的点数之和为3; 4; 5 的概率各是多少?
解：此题为典型的古典概型，掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36。.出现点数和为“3”对应两个基本事件（1，2），（2，1）。故前后两次出现的点数之和为3的概率为。
同理可以求得前后两次出现的点数之和为4，5 的概率各是。
1.13 在整数中任取三个数, 求下列事件的概率：
(1) 三个数中最小的一个是5; (2) 三个数中最大的一个是5.
解：从10个数中任取三个数，共有种取法，亦即基本事件总数为120。
(1) 若要三个数中最小的一个是5，先要保证取得5，再从大于5的四个数里取两个，取法有种，故所求概率为。
(2) 若要三个数中最大的一个是5，先要保证取得5，再从小于5的五个数里取两个，取法有种，故所求概率为。

1.14 12只乒乓球中有4 只是白色球, 8 只是黄色球。现从这12 只乒乓球中随机地取出两
只, 求下列事件的概率：
(1) 取到两只黄球; (2) 取到两只白球; (3) 取到一只白球, 一只黄球.
解：分别用表示事件：
(1) 取到两只黄球; (2) 取到两只白球; (3) 取到一只白球, 一只黄球.则。
1.15 已知，, 求
解：
由于，故

1.16 已知,。 计算下列二式：
(1) （2）
解：（1）
（2）
注意：因为，所以。

1.17 一批产品共20 件, 其中有5 件是次品, 其余为正品。现从这20 件产品中不放回地任 意抽取三次, 每次只取一件, 求下列事件的概率：
(1) 在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品;
(2) 第三次才取到次品;
(3) 第三次取到次品.
解：用表示事件“第次取到的是正品”（），则表示事件“第次取到的是次品”（）。
(1) 事件“在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品”的概率为：
。
(2) 事件“第三次才取到次品”的概率为：

（3） 事件“第三次取到次品”的概率为：
此题要注意区分事件（1）、(2）的区别，一个是求条件概率，一个是一般的概率。再例如，设有两个产品，一个为正品，一个为次品。用表示事件“第次取到的是正品”（），
则事件“在第一次取到正品的条件下, 第二次取到次品”的概率为：；而事件“第二次才取到次品”的概率为：。区别是显然的。

1.18 有两批相同的产品, 第一批产品共14 件, 其中有两件为次品, 装在第一个箱中; 第二批有10 件, 其中有一件是次品, 装在第二个箱中。今在第一箱中任意取出两件混入到第二箱中, 然后再从第二箱中任取一件, 求从第二箱中取到的是次品的概率。
解：用表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数”。用表示事件“从第二箱中取到的是次品”。则
，，，
根据全概率公式，有：

1.19 一等小麦种子中混有5%的二等种子和3%的三等种子。已知一、二、三等种子将来长出的穗有50 颗以上麦粒的概率分别为50%, 15% 和10%。假设一、二、三等种子的发芽率相同,求用上述的小麦种子播种后, 这批种子所结的穗有50 颗以上麦粒的概率.
解：设表示事件“所用小麦种子为等种子”，
表示事件“种子所结的穗有50 颗以上麦粒”。
则，，，根据全概率公式，有：

1.20 设男女两性人口之比为51 : 49, 男性中的5% 是色盲患者, 女性中的2.5% 是色盲患者.今从人群中随机地抽取一人, 恰好是色盲患者, 求此人为男性的概率。
解：用表示色盲，表示男性，则表示女性，由已知条件，显然有：因此：
根据贝叶斯公式，所求概率为：

1.21 根据以往的临床记录, 知道癌症患者对某种试验呈阳性反应的概率为0.95, 非癌症患者因对这试验呈阳性反应的概率为0.01, 被试验者患有癌症的概率为0.005。若某人对试验呈阳性反应, 求此人患有癌症的概率

解：用表示对试验呈阳性反应，表示癌症患者，则表示非癌症患者，显然有：
因此根据贝叶斯公式，所求概率为：

1.22 仓库中有10 箱同一规格的产品, 其中2 箱由甲厂生产, 3 箱由乙厂生产, 5 箱由丙厂生产, 三厂产品的合格率分别为95%; 90% 和96%.
(1) 求该批产品的合格率;
(2) 从该10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 问此件产品由甲、
乙、丙三厂生产的概率各是多少?
解：设，
，则
（1） 根据全概率公式，，该批产品的合格率为0.94.
（2） 根据贝叶斯公式，
同理可以求得，因此，从该10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率分别为：。
1.23 甲、乙、丙三人独立地向同一目标各射击一次, 他们击中目标的概率分别为0.7， 0.8 和
0.9，求目标被击中的概率。
解：记={目标被击中}，则
1.24 在四次独立试验中, 事件A 至少发生一次的概率为0.5904, 求在三次独立试验中, 事件A发生一次的概率.

解：记={四次独立试验，事件A 至少发生一次}，={四次独立试验，事件A 一次也不发生}。而，因此。所以
三次独立试验中, 事件A 发生一次的概率为：。

二、第一章定义、定理、公式、公理小结及补充：
（1）
排列组合公式
从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
（2）加法和乘法原理
加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。
（3）一些常见排列
重复排列和非重复排列（有序）
对立事件（至少有一个）
顺序问题
（4）随机试验和随机事件
如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
（5）基本事件、样本空间和事件
在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；
②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。
一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。
为必然事件，为不可能事件。
不可能事件的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件Ω的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
（6）事件的关系与运算
①关系：
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：
如果同时有，，则称事件A与事件B等价，或称A等于B。
A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为，也可表示为或者，它表示A发生而B不发生的事件。
同时发生：，或者。，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。
②运算：
结合律：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
分配律：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
对偶律： ，
（7）概率的公理化定义
设为样本空间，为事件，对每一个事件都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：
1° 0≤P(A)≤1，
2° P(Ω) =1
3° 对于两两互不相容的事件，，…有

常称为可列（完全）可加性。
则称P(A)为事件的概率。
（8）古典概型
1° ，
2° 。
设任一事件，它是由组成的，则有
P(A)= =

（9）几何概型
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A，
。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。
（10）加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)
（11）减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B)
当A=Ω时，P()=1- P(B)
（12）条件概率
定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为。
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如P(Ω/B)=1P(/A)=1-P(B/A)
（13）乘法公式
乘法公式：
更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有
…………。
（14）独立性
①两个事件的独立性
设事件、满足，则称事件、是相互独立的。
若事件、相互独立，且，则有

若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。
必然事件和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。
与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么A、B、C相互独立。
对于n个事件类似。
（15）全概公式
设事件满足
1°两两互不相容，，
2°，
则有
。
（16）贝叶斯公式
设事件，，…，及满足
1° ，，…，两两互不相容，，i=1，2，…，，
2° ，则
，i=1，2，…n。
此公式即为贝叶斯公式。
，（，，…，），通常叫先验概率。，（，，…，），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。
（17）伯努利概型
我们作了次试验，且满足
u 每次试验只有两种可能结果，发生或不发生；
u 次试验是重复进行的，即发生的概率每次均一样；
u 每次试验是独立的，即每次试验发生与否与其他次试验发生与否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。
用表示每次试验发生的概率，则发生的概率为，用表示重伯努利试验中出现k次的概率，
，。