概率论第七章习题解答.doc

概率论第七章习题解答　
1、随机地取8只活塞，测得它们的直径为（以mm计）
　74.001　74.005　74.003　74.001　74.000　73.998　74.006　74.002
试求总体均值及方差的矩估计值，并求样本方差。
解　

解得　，

又　　
　　令　　（一阶矩估计量）
　　　（二阶矩估计量）
代入样本值，

，（一阶矩估计值）

即　　（二阶矩估计值）　
　因为样本方差　当时，
　所以　　
2、设为总体的样本，为一相应的样本值，求下列总体的概率密度或分布律中的未知参数的矩估计量和矩估计值。　

（1），其中为已知，为未知参数。
（2），其中，为未知参数。
（3），，其中，为未知参数。
解　（1）

　　　　　　　，
　　而　　
　　故　，解出，得　，，
　　　　　。
矩估计值为
（2）（1）

　　　　　　　，
　　由
　　故　，解出，得　，，
　　　　　。

（3）因为，所以　，解得

3、求下列各概率密度或分布律
　　　（1），其中为已知，为未知参数。
（2），其中，为未知参数。
（3），，其中，为未知参数
各未知参数的极大似然估计和估计量。
解（1）

　　令　，即

解得　

是未知参数的极大似然估计值

是未知参数的极大似然估计量。

（2）

　　令　，即

解得　，

是未知参数的极大似然估计值

是未知参数的极大似然估计量。
（3）

　　令　
则有　，即　
解得　

这是未知参数的极大似然估计值。

这是未知参数的极大似然估计量
4、（1）设总体具有分布律

　　1　　　　2　　　　3

其中（）为未知，已取得了样本的值，，，试求矩估计值和最大似然估计值。
（2）设是来自参数为的泊松分布，试求的最大似然估计量及矩估计量。
（3）设随机变量服从以，为参数的二项分布，其分布律为
　　　　，
其中已知，为未知，试求的最大似然估计值。
解　（1），
　　　　，而，
　　故　
　矩估计量为　　。
　又因为　
矩估计值为　　。
已知　，，，
构造的概率函数
　因为，当，，时，取值为1,2，3，而
，当，，时，取值为，，
所以　，
　似然函数为

　　（注）
，即
是的最大似然估计量。
把样本的值，，代入，得，
　 是的矩估计估计值。
解法二　

解得　　，即的矩估计估计值为　。
（备注：求矩估计值用此方法比较简明，但如果要求矩估计量，就不是太好的。）
（2）（ⅰ）设是相应于的样本值，则似然函数为
　由于泊松分布是离散型随机变量，故只要把中的变量换成，则），故

，
解得　，即
的最大似然估计值为　。
的最大似然估计量为　。
（ⅱ）求的矩估计量
因为，而，故的矩估计量也是。
　（3）

即　，

　得的最大似然估计值为　

　的最大似然估计量为　
5、设某种电子器件的寿命（以h计）T服从双参数的指数分布，其概率密度为

其中，（）为未知参数。自一批这种电子器件中随机地取n件作寿命试验，设它们的失效时间依次为，
（1）求与的最大似然估计值。
（2）求与的矩估计值量。
解　（1）作似然函数

　若要取最大值，则要求c尽是大，而当
　　　时，单调增加，一霎时，当c取最大值时，取最大值；
　　而，（概率密度中要求，取值为，）
　　且　，故取

　又　

　　　，
因为，所以　　

取　，此即为的最大似然估计量。
（2）求求与的矩估计值量

　　　　　　（分部积分法）
　　　　　；　　　①
　（为了求）

　　　　（由上一个积分得。）

故　　　②
联合①与②解得
　　，

又　（一阶中心矩）
所以　

6、一地质学家为研究密歇根湖滩地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子，记录每个样品中属于石灰石的石子数，假设这100次观察相互独立，并且由过去的经验知，它们都是服从，的二项分布。是这地区一块石子是石灰石的概率，求的最大似然估计值。该地质学家所得的数据如下：
一样品中属石灰石的石子数i
0　1　2　3　4　　5　6　　7　8　9　10
100个样品中有i块石灰石的样品个数
0　1　6　7　23　26　21　12　3　1　0

（表中数据的含义：第一行中说明的是每一个样品中所含有的石灰石的个数每次观察的结果

，第二行中说明观察对100个样品作观察时其中含有上述各个石灰石数的观察次数即的频数，以为例，说明4　100次观察（100个样品）中有6个样品是含有2块石灰石的，同样则说明在100个样品中有26个样品所含的石灰石的个数为5，如此等等。于是100次观察得到的总的石灰石的块数为上下两行对应之数乘积之和：共499，即在100个样本中，总共有石灰石块499块。）
解　设第i次试验观察到石灰石的石子数为，即是相应于样本
的样本值，（这里有多个的取同个值）的分布律为
　　　　　（）
故其最大似然函数为

即　

　所以的最大似然估计值为

又　

所以　所以的最大似然估计值为

解法二：由第三题（3）的结论知，二项分布的矩估计量为，此处，
所以。
7、（1）设是来自总体的一个样本，且，求的最大似然估计值。
（2）某铁路局证实一个扳道员在五年内所引起严重事故的次数服从泊松分布，求一个扳道员在五年未引起严重事故的概率的最大似然估计，使用下面122个观察值。下表中表示一个扳道员五年中引起严重事故的次数，表示观察到的扳道员的人数。

　　0　　　1　　　2　　　3　　　　4　　　　5

　　44　　42　　　21　　 9　　　　4　　　　2
解　（1）设是相应于样本的样本值，本小题需求　

　　　的最大似然估计。
由第四题知泊松分布的参数的最大似然估计值，又由于函数是具有单值反函数，根据最大似然估计的不变性知的最大似然估计值为
　　。
（2）由所给数据得

扳道员在5年内未引起严重事故，相当于

由（1）的结论知，

8、（1）设是来自概率密度为

的总体的样本，未知，求的最大似然估计值。
（2）设是来自总体的一个样本，未知，求的最大似然估计值
（3）设是来自总体的样本值，又，求的最大似然估计值。
解　（1）先求的最大似然估计，其似然函数为

　　令　　

则的最大似然估计为　　　（＊1）
具有单调反函数，由最大似然估计的不变性知U的最大似然估计为
　　　。（其中由（＊1）确定）
（2）已知正态分布的未知参数的最大似然估计值为，
由　　　　

而具有单调反函数。由最大似然估计的不变性得

的最大似然估计为
　　　。
（3）因为总体是服从二项分布，由本章习题第3题知二项分布的参数的最大似然估计为
　　。
由得反函数，根据由最大似然估计的不变性，
　　的最大似然估计值为
　　　。
9、（1）验证教材第六章§3定理四的统计量

是两个总体公共方差的无偏估计。
　（2）设总体的的数学期望为，是来自总体的样本，是任意常数，验证（）是的无偏估计。
解　由第六章3定理四（教材P143）知，当时，才有

即是公共方差　　
于是　
　　　　　　。
故　是两个总体公共方差的无偏估计。
（2）　因为是来自总体的样本，而的数学期望为，

　　　所以　。

即　　是的无偏估计。
10、设是来自总体的样本。设，。
（1）确定常数，使为的无偏估计。
（2）确定常数，使是的无偏估计（是样本均值，是样本方差）。
解　（1）　

令　　　得　。
（2）　　因为，

令　　　　，解得　　。
11、设总体的概率密度为

　　　　　，，
是来自总体的样本，
　　（1）验证的最大似然估计量是；
（2）验证是的无偏估计量。
解　

令　，　
解得　　，
所以　　。
（2）验证是的无偏估计量。　　　　

故　　
　　即是的无偏估计量。
12、设是来自均值为的指数分布总体的样本，其中为未知参数。设有估计量　　　

（1）指出中哪几个是无偏估计量。　
（2）在上述的无偏估计中指出哪一个较有效。
解　因为是来自均值为的指数分布总体的样本，
所以　，

故　是无偏估计量。
（2）因为

　由于　　
　故较有效。
13、（1）设是参数的无偏估计，且有，试证
不是的无偏估计。
（2）试证明均匀分布

中未知参数的最大似然估计量不是无偏的。
解　（1）因为是参数的无偏估计，即

而　，　所以　，

即　不是的无偏估计。
（2），，

　　，此时方程无解，这表明通过求驻点的方法找到极大似然估计量的方法失效。
但我们注意到，极大似然函数是未知参数的单调减函数。
由于每个，所以

　所以的取值从而增大，当时，达到最大。
即　　是的极大似然估计。

由独立同分布的随机变量的分布函数为知

即　未知参数的最大似然估计量不是无偏的。
14、设从均值为，方差为的总体中分别抽取容量为和的两个独立样本，和是这两个样本的均值。试证：对于任意常数，（），都是的无偏估计，并确定常数，使达到最小。
解　因为　和都是估计值，且满足，，

故　　
所以（）都是的无偏估计。
又　，，

由于，可令

要使达到最小，可对求关于的导数，由其驻点来得到结果。即

解得驻点：，
即当，时可使达到最小。
15、设有台仪器，已知用第台仪器测量时，测定值总体的标准差为，（），用这些仪器独立的对某一物理量各观察一次，分别得到，设仪器都没有系统误差，即（），问应取什么值时，方能使有估计时，是无偏的，并且最小。
解　因为仪器都没有系统误差，即，于是

要使用估计时是无偏的，则只要

　　　　。
又　
对　求在条件下的条件极值：（用拉格朗日乘数法）

，
解得　（），且
代入，即　
从而　。
16、设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以h计）分别为：6.0，5.7，5.8，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0。设干燥时间总体服从正态分布。求的置信水平为0.95的置信区间，（1）若由以往的经验知，，（2）若为未知。
解　因为干燥时间总体服从正态分布，所以，则置信度为0.95的置信区间为　　　
（1）代入相关数据：
，，，，，，，
取，于是有

（2）当未知时，由，则，则其置信度为0.95的置信区间为　
代入相关数据：
，，，，，

于是　

17、分别使用金球和铂球测定引力常数（单位为：）。
（1）用金球测定的观察值为：6.683，6.681，6.676，6.678，6.679，6.672
（2）用铂球测定的观察值为：6.661，6.661，6.667，6.667，6.661
设测定值总体为，，均未知，试就（1），（2）两种情况分别求的置信水平为0.9的置信区间，并求的置信水平为0.9的置信区间。
解　测定值总体为且，均未知，则的置信水平为0.9的置信区间为

相关数据为：（1）

又　，，，，

代入数据，得
　　即　。
的置信水平为0.9的置信区间为：

相关数据为：，，，，
代入数据得

即置信区间为　　
　　（2）用铂球测定的观察值为：6.661，6.661，6.667，6.667，6.661

又　，，，，
代入数据，得
　即　。
的置信水平为0.9的置信区间为：

相关数据为：，，，

，
代入数据得

即置信区间为　　
18、随机地取某种炮弹9发做试验，得到炮口速度的样本标准差为。设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度标准差的置信水平为0.95的置信区间。
解　由题设知随机变量，，未知，样本标准差，
又　　，
故有　
已知，，，，样本容量，
杳表知　，，于是得方差的置信区间为

所以　炮口速度标准差的置信水平为0.95的置信区间为
　　　　。
19、设是来自分布的样本，已知，未知。
　　（1）验证，利用这一结果构造的的置信水平为　的置信区间。
　　（2）设且有样本值7.5，2.0，12.1，8.8，9.4，7.3，1.9，2.8，7.0，7.3。试求的的置信水平为为0.95的置信区间。
解　因为是来自分布的样本，即

　　　，，（）
且　相互独立，由的定义知
　　　　　　。
于是由　
即　　　
所以的的置信水平为的置信区间为

（2）已知，，

＝102.69
查表知　，，
于是　的的置信水平为的置信区间为　
。
20、在第17题中，设用金球和用铂坏测定时测定值总体的方差相等，求两个测定总体均值差的置信水平为0.90的置信区间。
解　因为未知，所以两个测定总体均值差的置信水平为0.90的置信区间为

其中　，
由第17题结果知　，，
　　　　　　　　　，
于是　
　　　　　。
　　　，
故置信区间为
。
21、随机地从A批导线中抽取4根，又从B批导线中抽取5根，测得电阻（）为
　　　　A批导线：0.143，0.142，0.143，0.137
　　　　B批导线：0.140，0.142，0.136，0.138，0.140
设测定数据分别来自分布，，且两样本相互独立，又，，为未知。试求的置信水平为0.95的置信区间。
解　由两个正态总体，未知，知待估参数为的置信区间为：

，

，，
故的置信水平为0.95的置信区间为

。
22、研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率，设两者都服从正态分布，并且已知燃烧率的标准差均近似地为0.05，取样本容量为，得燃烧率的样本均值分别为，，设两样本独立。求两燃烧率总体均值差的置信水平为0.99的置信区间。
解　由两个正态总体，未知，知待估参数为的置信区间为：

已知，，
，
　，，
，，
代入以上数据，得总体均值差的置信水平为0.99的置信区间为

　＝

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