概率论课后习题.doc

第一章 概率论的基本概念
（一）

1、多选题:
⑴ 以下命题正确的是（ ）。
; ;
; .

⑵ 某学生做了三道题，表示第题做对了的事件，则至少做对了两道题的事件可表示为（ ）.

2、、、为三个事件，说明下述运算关系的含义：

3、个工人生产了三个零件，与分别表示他生产的第个零件为正、次品的事件。试用与表示以下事件：⑴ 全是正品；⑵ 至少有一个零件是次品；⑶ 恰有一个零件是次品；⑷ 至少有两个零件是次品。

4、 下列命题中哪些成立，哪些不成立：
⑴；⑵ ；
⑶ ；⑷ ；
⑸ ；⑹ 。

（二）

1、选择题：
⑴ 若事件与相容，则有（ ）
； ；
；

⑵ 事件与互相对立的充要条件是（ ）

2、袋中有12个球，其中红球5个，白球4个，黑球3个。从中任取9个，求此9球恰好有4个红球，3个白球，2个黑球的概率。

3、

4、在扑克牌游戏(共52张牌，“”最大)中，求以下事件的概率：⑴以“”为头的同花顺次五张牌；⑵其它的同花顺次五张牌；⑶有四张牌同点数；⑷有三张牌同点数且另两张牌也同点数；⑸五张同花；⑹异花顺次五张牌；⑺三张同点数且另两张牌不同点数；⑻五张中有两对；⑼ 五张中有一对。

（三）

1、选择题：
⑴ 已知且，则（ ）成立。
； ; ; 。

⑵ 若且，则（ ）成立。
； ；
相容； 不相容。

2、 知，求。

3、 种灯泡能用到3000小时的概率为0.8，能用到3500小时的概率为
0.7。求一个已用到了3000小时的灯泡还可以再用500小时的概率。

4、某市男性色盲发病率为7%,女性色盲发病率为0.5%。今有一人到医院求治色盲求此人为女性的概率。(设该市性别结构为男 : 女=0.502 : 0.498)

5、有两箱同类型的零件。第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱装30只，其中18只一等品。今从两箱中任意挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，做不放回抽样。求⑴ 第一次取到的零件是一等品的概率，⑵ 第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。

（四）
1、选择题（可能不止一个选项）：
⑴ 对于事件与，以下命题正确的是( )，
若互不相容，则也互不相容; 若相容，则也相容;
若独立，则也独立; 若对立，则也对立;

⑵ 若事件与独立，且，则（ ）成立，； ；
相容； 不相容。

2、 知互相独立，证明也互相独立。

3、设为互相独立的事件，求证都与独立。

4、一射手对同一目标进行四次独立的射击，若至少射中一次的概率为，求此射手每次射击的命中率。

5、甲、乙、丙三人同时各用一发子弹对目标进行射击，三人各自击中目标的概率分别是0.4、0.5、0.7。目标被击中一发而冒烟的概率为0.2，被击中两发而冒烟的概率为0.6，被击中一发则必定冒烟，求目标冒烟的概率。

6、袋中有个黑球，个白球，甲、乙、丙三人依次从袋中取出一个球(取后不放回)，分别求出他们各自取到白球的概率。

7、甲、乙、丙三个炮兵阵地向目标发射的炮弹数之比为1∶7∶2，而各地每发炮弹命目标的概率分别为0.05、0.1、0.2。现在目标已被击毁，试求目标是被甲阵地击毁的概率。

第二章 随机变量及其分布
（一）
1、填空题：
⑴. 当 时,是随机变量的概率分布，
当 时, 是随机变量的概率分布；

⑵. 当 时, 是随机变量的概率分布；

⑶ 设某射手对某一目标进行独立射击,每次射击的命中率均为,若以表示射击进行到击中目标为止时所需的射击次数,则的分布律为 ；

⑷ 进行重复独立试验，设每次试验成功的概率均为3/4。用表示直到试验获得成功所需的试验次数，则的分布律为 ；

⑸ 把一枚质量均匀的硬币独立地抛掷次，以表示此次抛掷中落地后正面朝上的次数，则的分布律为 。

2、１５只同类型的零件中有２只次品，现在从中取３次，每次取１只，取后不放回。以表记取出的３只中的次品数，求的分布律与分布函数。

3、袋中有6个球，其中三个球上各印有1个点，两个球上各印有2个点，一个球上印有3个点。从此袋中随机地取出3个球，并以表记取出的三个球上点数之和，试求随机变量的分布律与分布函数及以下概率：
。

（二）

1、以下函数能否成为某随机变量的概率密度：
⑴ ；

⑵ ；

⑶ ,
⑴ （ 　）； 　 ⑵ （ 　）；　　　⑶　（　　）

2、设连续型随机变量的概率密度为：

试求：（1）常数；（2）的分布函数；（3）概率。

3、设随机变量的概率密度为：

试求：（1）常数；（2）的分布函数；（3）概率。

4、设连续型随机变量的分布函数为

试求：⑴ 常数，⑵概率密度，⑶ 。

（三）

０
１
２

0.4
0.3
0.2
0.1

1、设随机变量的分布律如右。求：⑴　；⑵　；⑶　的分布律。

2、已知随机变量的概率密度为

求的函数的概率密度。

3、设顾客在某银行的窗口等待服务的时间(以分计)服从参数为的指数分布, 某顾客在窗口等待服务，若超过１０分钟，他就离开。他一个月要到银行５次。以表示一个月内他未等到服务而离开的次数，写出的分布律，并求。

第三章 多维随机变量及其分布
(一)

1、若随机变量独立，分布函数分别为则()的联合分布函数为( )。
a. b. c. d.

2、设二维随机变量取数组(,-1)、(0,)、()、(0,-1)的概率分别为a、b、、．试求：
① 的联合分布律；
② 确定常数a和b，使和相互独立；
③ 分别关于和的边缘分布律。

3、甲、乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5；以X、Y分别表示甲、乙的命中次数，试求X、Y的联合分布律。

(二)

1、设(X，Y)为二维随机变量，其联合概率密度为：

试求：(1)常数c；
(2)P{X<0.5；Y<0.7}；P{X<0.5}；P{Y<1.5}；
(3)(X，Y)的边缘概率密度。

2、设二维随机变量（X，Y）在D={（x,y）∣x2+y2≤1,x≥0}上服从均匀分布，试求（X，Y）分别关于X、Y的边缘概率密度函数，并讨论X、Y的相互独立性。

2、设随机变量X和Y独立，且都在区间[1，3]上服从均匀分布，引进事件
A={X|≤a},B={Y>a},已知P（A∪B）=7/9，求常数a.

3、设某班车起点站上车人数X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0<p<1)，乘客中途下车与否相互独立。以Y表示在中途下车的人数，求：
(1) 在发时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；
(2) 二维随机变量(X,Y)的概率分布。

4、设随机变量X、Y相互独立，X具有概率密度

Y服从[0，1]内的均匀分布，试求Z=X+Y的概率密度函数。

5、设随机变量X与Y相互独立，其概率密度分别为：
，
试求随机变量Z=X+Y的概率密度。

6、已知随机向量（X，Y）服从正方形G={(x,y): 1≤x≤3, 1≤y≤3}上的均匀分布，试求随机变量U=|X-Y|的概率密度p(u)。

第四章 随机变量的数字特征
（一）

1、选择题（每小题只有一个正确答案，把正确的题号写的括号内）:
（1）掷一个均匀的骰子，所得点数的数学期望为（ ）。
a . 1， b . , c . , d . 6

（2）已知100个产品中有10个次品，从中任意取出5个产品其中次品数的期望为（ ）.
a .0.5 , b .0.25, c .1 , d .–1

2、填空题:
（1） 连续型随机变量X具有概率密度
，
则 。

（2） 设随机变量与相互独立，且都服从参数为的两点分布,并记=,
则与的联合分布为 ,的期望 .

3、游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的5分钟，25分钟和55分钟从底层起行。假设一游客在早八点第分钟到达底层候梯，且，求该游客等候时间的数学期望。

4、某工厂生产的某种设备的寿命（以年计）服从指数分布，其概率密度为:
。
工厂规定，出售的设备在售出一年之内可以调换，若工厂售出一台设备赢利100元,调换一台设备厂方需花费300元,试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。

5、设随机变量互相独立，且其概率密度分别为:
, .
试求：（1），（2）.

6、设在上服从均匀分布，其中由轴，轴及直线围成，求，，。

7、设随机变量相互独立，且， 试求随机变量的概率密度函数。（二）
1、选择题
（1） 掷一对均匀的骰子，其点数之和的方差为

（2）概率密度为的随机变量的方差为

（3）设与的相关系数ρ=0，则
a. 与相互独立。 b. 与不一定相关。
c. 与必不相关。 d. 与必相关。
（4）设随机变量与的期望和方差存在，且，则下列说法哪个是不正确的 。
a. b. ，
c. 与不相关， d. 与独立；

2、填空题：
（1） 设随机变量X的分布函数为，
则 ， 。

（2） 设随机变量与相互独立，并且，
则 。
(3) 设随机变量取的概率都是0.5，那么关于原点的前四阶矩
μ1= ，μ2= ，μ3= ，μ4= 。
（4）设随机变量的数学期望，方差，则由契比雪夫不等式有 。
3、设随机变量的概率密度为求。

4、一门大炮不断地对目标进行轰击，假定目标被击中3次才能摧毁，且各次轰击相互独立，在每次轰击中击中目标的概率是2/3，规定在5次以内轰击到摧毁目标为止，而轰击5次后必停止，求总共轰击次数的期望与方差。

5、在每次试验中，事件发生的概率为0.5，利用契比雪夫不等式估计：在1000试验中，事件发生的次数X在400～600之间的概率。

6、设是二维随机变量，已知：
试求

7、已知随机变量与都服从二项分布B(20，0.1)，并且与的相关系数ρxy=0.5，试求X+Y的方差及与的协方差。

8、设连续型随机变量的概率密度是偶函数，且，试证与不相关。

第五章 大数定律与中心极限定理
1、 每次射击中，命中目标的炮弹数的均值为2，方差为，求在100次
射击中有180到达220发炮弹命中目标的概率．

2、由100个相互独立起作用的部件组成的一个系统在运行过程中，每个部件能正常工作的概率为90% ．为了使整个系统能正常运行，至少必须有85%的部件正常工作，求整个系统能正常运行的概率．

3、设有30个同类型的某电子器件，若的寿命服从参数为的指数分布，令为30个器件正常使用的总计时间，求．

4、在天平上重复称量一重为a的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布，若以表示次称量结果的平均值，问至少取多大，使得 ．

5、某单位设置一电话总机，共有200门电话分机，每门电话分机有5%的时间要用外线通话，假设各门分机是否使用外线通话是相互独立的，问总机至少要配置多少条外线，才能以90%的概率保证每门分机要使用外线时，有外线可供使用．

第六章 样本及抽样分布
1、设总体， 是来自的样本，求
．

2、设总体， 是来自的样本，求
⑴ 样本均值与总体值之差的绝对值大于1的概率；
⑵ ；．

3、设总体， 是来自的样本，求

证明统计量服从自由度为2的分布．

第七章 参数估计

1、设总体服从负指数分布，其概率密度函数为

其中，试求的矩估计量。

2、使用同一测量仪器对同一值进行了12次独立测量，其结果如下：
232.50，232.48，232.15，232.53，232.45，232.30
232.48，232.05，232.45，232.60，232.47，232.30
试用矩估计法估计测量值的真值和方差（设仪器无系统误差）。

3、设总体服从几何分布，它的分布律为

是来自总体的样本，求的极大似然估计量和矩估计量。

4、设总体的概率密度为

是来自总体的样本，求分别用矩估计法和极大似然估计法求的估计量。

5、设总体服从正态分布，是从此总体中抽取的一个样本。试验证下面三个估计量：
（1）
（2）
（3）
都是的无偏估计，并指出哪一个估计量有效。

6、设和分别为来自正态总体和的样本，其中，已知，试求常数使为的无偏估计量，并使其方差最小。

7、设参数的无偏估计量为，其方差依赖于样本容量。若，试证是的相合估计量。

8、设总体为其样本的观测值，试求参数的置信度为0.95的置信区间(其中)。

9、随机地取某种炮弹9发作试验，测得炮口速度的样本标准差
（米/秒）。设炮口速度服从，求这种炮弹的炮口速度的标准差和方差的95%的置信区间。

10、设两总体，，相互独立，从中抽取的样本，=82，从中抽取的样本，，试求的95%的置信区间。

11、设两总体，，相互独立，从中抽取的样本，从中抽取的样本，算得，，试求两总体方差比的90%的置信区间。

12、假定每次试验时，出现事件的概率相同但未知。如果在60次独立试验中，事件出现15次，试求的置信度为95%的置信区间。

13、从一批某种型号电子管中抽出容量为10的样本，计算的标准差。设整批电子管寿命服从正态分布。试求出这批电子管寿命的标准差的置信度为95%的单侧置信上限。

第 八 章 假设检验
1、某工作人员在某一个星期里,曾经接见访问者12次,所有这12次的访问恰巧都是在星期二或星期四.试求该事件的概率.是否可断定他只在星期二或星期四接见访问者?若12次访问没有一次是在星期日,是否可以断言星期日他根本不会客?

2、 已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N(4.55,0.1082).现在测定了9炉铁水,其平均含碳量为4.484,如果估计方差没有变化,可否认为现在生产之铁水平均含碳量仍为4.55()?

3、有一批枪弹,出厂时,其初速,其中,
,经过较长时间储存,取9发进行测试,得样本值(单位:米/秒)如下: 914,920,910,934,953,945,912,924,940。
据检验,枪弹经储存,其初速仍服从正态分布,且可认为不变,问是否可认为这批枪弹的初速显著降低?

4、设在木材中抽出100根,测其小头直径,得到样本平均数为,已知标准差.问该批木料小头的平均直径能否认为是在12cm以上?

5、从一批灯泡中抽取50个灯泡的随机样本,算得样本平均数小时,样本标准差小时,以的水平,检验整批灯泡的平均使用寿命是否为2000小时？

6、某种导线的电阻服从正态分布,今从新生产的一批导线中抽取9根,测其电阻,得欧姆,对于,能否认为这批导线电阻的标准差仍为0.005？

7、两厂生产同一产品，其质量指标假定都服从正态分布，标准规格的为均值等于120，现从甲厂抽出5件产品，测得其指标值为
119，120，119.2，119.7，119.6
从乙厂抽出5件产品，测得其指标值为
110.5，106.3，122.2，113.8，117.2
试根据这些数据判断该两厂产品是否符合规定的规格120（显著性水平）。

8、从某锌矿的东、西两支矿脉中,各抽取样本容量分别为9与8的样本进行测试,得样本含锌平均值及样本方差如下：东支：;西支：.若东、西两支矿脉的含锌量都服从正态分布,问东、西两支矿脉含锌量的平均值是否可以看作一样?

9、两台车床生产同一种滚珠(滚珠直径服从正态分布).从中分别抽取8个和9个产品，比较两台车床生产的滚珠直径的方差是否有明显差异()?
甲车床：15.0,14.5,15.2,15.5,14.8,15.1,15.2,14.8；
乙车床：15.2,15.0,14.8,15.2,15.0,15.0,14.8,15.1,14.8。

10、甲、乙两个铸造厂生产同一种铸件.假设两厂铸件的重量都服从正态分布,测得重量如下(单位:公斤):
甲厂:93.3,92.1,94.7,90.1,95.6,90.0,94.7,
乙厂:95.6,94.9,96.2,95.1,95.8,96.3。
问乙厂铸件重量的方差是否比甲厂的小?

11、从总体中抽取容量为80的样本，频数分布如下表

区间

频数
6 18 20 36
试在显著性水平下检验：总体的概率密度为

是否可信？

4、 设是来自正态总体的样本，，， ， ，
证明统计量服从自由度为2的分布．