概率论与数理统计课后习题及答案全案.doc

53

概率论与数理统计课后习题及答案
第1章
三、解答题
1．设P(AB) = 0，则下列说法哪些是正确的？
(1) A和B不相容；
(2) A和B相容；
(3) AB是不可能事件；
(4) AB不一定是不可能事件；
(5) P(A) = 0或P(B) = 0
(6) P(A – B) = P(A)
解：(4) (6)正确.
2．设A，B是两事件，且P(A) = 0.6，P(B) = 0.7，问：
(1) 在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？
(2) 在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？
解：因为，
又因为即 所以
(1) 当时P(AB)取到最大值，最大值是=0.6.
(2) 时P(AB)取到最小值，最小值是P(AB)=0.6+0.7-1=0.3.
3．已知事件A，B满足，记P(A) = p，试求P(B)．
解：因为，
即，
所以
4．已知P(A) = 0.7，P(A – B) = 0.3，试求．
解：因为P(A – B) = 0.3，所以P(A )– P(AB) = 0.3, P(AB) = P(A )– 0.3,
又因为P(A) = 0.7，所以P(AB) =0.7– 0.3=0.4，.
5． 从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？
解：显然总取法有种，以下求至少有两只配成一双的取法：
法一：分两种情况考虑：+
其中：为恰有1双配对的方法数
法二：分两种情况考虑：+
其中：为恰有1双配对的方法数
法三：分两种情况考虑：+
其中：为恰有1双配对的方法数
法四：先满足有1双配对再除去重复部分：-
法五：考虑对立事件：-
其中：为没有一双配对的方法数
法六：考虑对立事件：
其中：为没有一双配对的方法数
所求概率为
6．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任取3人记录其纪念章的号码．求：
(1) 求最小号码为5的概率；
(2) 求最大号码为5的概率．
解：(1) 法一：，法二：
(2) 法二：，法二：
7．将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率．
解：设M1, M2, M3表示杯子中球的最大个数分别为1，2，3的事件，则
, ,
8．设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？
解：设M2, M1, M0分别事件表示取出的2个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则
,,

9．口袋中有5个白球，3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率．
解：设M1=“取到两个球颜色相同”，M1=“取到两个球均为白球”，M2=“取到两个球均为黑球”，则.
所以
10． 若在区间(0，1)内任取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率．
解：这是一个几何概型问题．以x和y表示任取两个数，在平面上建立xOy直角坐标系，如图.
任取两个数的所有结果构成样本空间W = {(x，y)：0 £ x，y £ 1}
事件A =“两数之和小于6/5”= {(x，y) Î W ： x + y £ 6/5}
因此
．
图？

11．随机地向半圆（为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点和该点的连线与轴的夹角小于的概率．
解：这是一个几何概型问题．以x和y表示随机地向半圆内掷一点的坐标，q表示原点和该点的连线与轴的夹角，在平面上建立xOy直角坐标系，如图.
随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间
W={(x，y)：}
事件A =“原点和该点的连线与轴的夹角小于”
={(x，y)：}
因此
．
12．已知，求．
解：

13．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少？
解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。
设A=“所取两件产品中至少有一件是不合格品”，B=“两件均为不合格品”；
，，

14．有两个箱子，第1箱子有3个白球2个红球，第2个箱子有4个白球4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少？已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第1个箱子中取出的球是白球的概率是多少？
解：设A=“从第1个箱子中取出的1个球是白球”，B=“从第2个箱子中取出的1个球是白球”，则，由全概率公式得

由贝叶斯公式得

15．将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01，信息A与信息B传送的频繁程度为2：1，若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？
解：设M=“原发信息是A”，N=“接收到的信息是A”，
已知

所以

由贝叶斯公式得

16．三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？
解：设Ai=“第i个人能破译密码”，i=1,2,3.
已知所以
至少有一人能将此密码译出的概率为

17．设事件A与B相互独立，已知P(A) = 0.4，P(A∪B) = 0.7，求.
解：由于A与B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B),且
P(A∪B)=P(A)+ P(B) - P(AB)= P(A)+ P(B) - P(A)P(B)
将P(A) = 0.4，P(A∪B) = 0.7代入上式解得 P(B) = 0.5，所以

或者,由于A与B相互独立,所以A与相互独立，所以

18．甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是多少？
解：设A=“甲射击目标”，B=“乙射击目标”，M=“命中目标”，
已知P(A)=P(B)=1,所以

由于甲乙两人是独立射击目标，所以

19．某零件用两种工艺加工，第一种工艺有三道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，0.1；第二种工艺有两道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，试问：
(1) 用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些？
(2) 第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是0.3时，情况又如何？
解：设Ai=“第1种工艺的第i道工序出现合格品”，i=1,2,3； Bi=“第2种工艺的第i道工序出现合格品”，i=1,2.
（1）根据题意，P(A1)=0.7，P(A2)=0.8，P(A3)=0.9，P(B1)=0.7,P(B2)=0.8,
第一种工艺加工得到合格品的概率为
P(A1A2A3)= P(A1)P(A2)P(A3)=
第二种工艺加工得到合格品的概率为
P(B1B2)= P(B1)P(B2)=
可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。
（2）根据题意，第一种工艺加工得到合格品的概率仍为0.504，而P(B1)=P(B2)=0.7,
第二种工艺加工得到合格品的概率为
P(B1B2)= P(B1)P(B2)=
可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。
1．设两两相互独立的三事件A，B和C满足条件ABC = Æ，且已知，求P(A)．
解：因为ABC = Æ，所以P(ABC) =0,
因为A，B，C两两相互独立，所以

由加法公式得
即
考虑到得
2．设事件A，B，C的概率都是，且，证明：
．
证明：因为，所以
将代入上式得到

整理得

3．设0 < P(A) < 1，0 < P(B) < 1，P(A|B) +，试证A与B独立．
证明：因为P(A|B) +，所以

将代入上式得

两边同乘非零的P(B)[1-P(B)]并整理得到

所以A与B独立.
4．设A，B是任意两事件，其中A的概率不等于0和1，证明是事件A与B独立的充分必要条件．
证明：充分性，由于，所以即

两边同乘非零的P(A)[1-P(A)]并整理得到所以A与B独立.
必要性：由于A与B独立，即且所以
一方面

另一方面

所以
5．一学生接连参加同一课程的两次考试．第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为.
(1) 若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率．
(2) 若已知他第二次及格了，求他第第一次及格的概率．
解：设Ai=“第i次及格”，i=1，2.已知
由全概率公式得

(1) 他取得该资格的概率为

(2) 若已知他第二次及格了，他第一次及格的概率为

6．每箱产品有10件，其中次品从0到2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品为不合格而拒收．由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为2%，一件次品被误判为正品的概率为10%．求检验一箱产品能通过验收的概率．
解：设Ai=“一箱产品有i件次品”，i=0，1，2.设M=“一件产品为正品”，N=“一件产品被检验为正品”.
已知
由全概率公式

又
由全概率公式得一箱产品能通过验收的概率为

7．用一种检验法检验产品中是否含有某种杂质的效果如下．若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8；若真含不有杂质检验结果为不含有的概率为0.9；据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4和0.6．今独立地对一产品进行三次检验，结果是两次检验认为含有杂质，而有一次认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率．
解：A=“一产品真含有杂质”，Bi=“对一产品进行第i次检验认为含有杂质”，i=1,2,3.
已知独立进行的三次检验中两次认为含有杂质，一次认为不含有杂质，不妨假设前两次检验认为含有杂质，第三次认为检验不含有杂质，即B1，B2发生了，而B3未发生.
又知所以

所求概率为
由于三次检验是独立进行的，所以

8．火炮与坦克对战，假设坦克与火炮依次发射，且由火炮先射击，并允许火炮与坦克各发射2发，已知火炮与坦克每次发射的命中概率不变，它们分别等于0.3和0.35.我们规定只要命中就被击毁．试问
(1) 火炮与坦克被击毁的概率各等于多少？
(2) 都不被击毁的概率等于多少？
解：设Ai=“第i次射击目标被击毁”，i=1,2,3,4.
已知所以

(1) 火炮被击毁的概率为

坦克被击毁的概率为

(2) 都不被击毁的概率为

9．甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜两次为止，此人即为冠军，而每次比赛双方取胜的概率都是，现假定甲乙两人先比，试求各人得冠军的概率．
解：Ai=“甲第i局获胜”， Bi=“乙第i局获胜”，Bi=“丙第i局获胜”，i=1,2,….，
已知，由于各局比赛具有独立性，所以
在甲乙先比赛，且甲先胜第一局时，丙获胜的概率为
同样，在甲乙先比赛，且乙先胜第一局时，丙获胜的概率也为
丙得冠军的概率为甲、乙得冠军的概率均为
第二章
2
一、填空题：
1. ，
2. ，k = 0，1，…，n
3. 为参数，k = 0，1，…
4.
5.
6.
7.
8.
9.
X
-1
1
2
pi
0.4
0.4
0.2
分析：由题意，该随机变量为离散型随机变量，根据离散型随机变量的分布函数求法，可观察出随机变量的取值及概率。
10.
分析：每次观察下基本结果“X≤1/2”出现的概率为，而本题对随机变量X取值的观察可看作是3重伯努利实验，所以

11. ,

同理，P{| X | £ 3.5} =0.8822.
12. .
13. ，利用全概率公式来求解：

二、单项选择题：
1. B，由概率密度是偶函数即关于纵轴对称，容易推导
F(-a)=
2. B，只有B的结果满足
3. C，根据分布函数和概率密度的性质容易验证
4. D，，可以看出不超过2，所以
，
可以看出，分布函数只有一个间断点.
5. C, 事件的概率可看作为事件A（前三次独立重复射击命中一次）与事件B（第四次命中）同时发生的概率，即
.
三、解答题
（A）
1．(1)

X
1
2
3
4
5
6
pi

分析：这里的概率均为古典概型下的概率，所有可能性结果共36种，如果X=1，则表明两次中至少有一点数为1，其余一个1至6点均可，共有（这里指任选某次点数为1，6为另一次有6种结果均可取，减1即减去两次均为1的情形，因为多算了一次）或种，故,其他结果类似可得.
(2)

2．
X
-1
99
pi

注意，这里X指的是赢钱数，X取0-1或100-1，显然.
3．，所以.
4．(1) ，
(2) 、 、
；
5．(1) ，
(2) ，
(3) .
6．(1) .
(2) .
7．解：设射击的次数为X，由题意知
，其中8=400×0.02.
8．解：设X为事件A在5次独立重复实验中出现的次数，
则指示灯发出信号的概率

；
9. 解：因为X服从参数为5的指数分布，则，，
则

10. (1)、由归一性知：，所以.
(2)、.
11. 解 （1）由F(x)在x=1的连续性可得，即A=1.
（2）.
（3）X的概率密度.
12. 解 因为X服从（0，5）上的均匀分布，所以
若方程有实根，则，即
，所以有实根的概率为

13. 解: (1) 因为 所以

(2) ，则，经查表得
，即，得；由概率密度关于x=3对称也容易看出。
(3) ，
则，即，经查表知，
故，即；
14. 解：

所以 ，；由对称性更容易解出；
15. 解 则

上面结果与无关，即无论怎样改变，都不会改变；
16. 解：由X的分布律知
p

x
-2
-1
0
1
3

4
1
0
1
9

2
1
0
1
3
所以 Y的分布律是
Y
0
1
4
9
p

Y
0
1
2
3
p

Z的分布律为

17. 解 因为服从正态分布，所以，
则，，
当时，，则
当时，

所以Y的概率密度为；
18. 解，，
，
所以
19. 解：，则

当时，，
当时，
，

20. 解: (1)

因为
所以
(2) ，

因为，
所以
（3）
当时，，
当时，，

所以 ，
因为，
所以
四．应用题
1．解：设X为同时打电话的用户数，由题意知
设至少要有k条电话线路才能使用户再用电话时能接通的概率为0.99，则
，其中
查表得k=5.
2．解：该问题可以看作为10重伯努利试验，每次试验下经过5个小时后组件不能正常工作这一基本结果的概率为1-，记X为10块组件中不能正常工作的个数，则
，
5小时后系统不能正常工作，即，其概率为

3．解：因为，所以

设Y表示三次测量中误差绝对值不超过30米的次数，则，
(1) .
(2) .
4．解：
当时，是不可能事件，知，
当时，Y和X同分布,服从参数为5的指数分布，知，
当时，为必然事件,知，
因此，Y的分布函数为
；
5．解：(1) 挑选成功的概率；
(2) 设10随机挑选成功的次数为X，则该，
设10随机挑选成功三次的概率为：
，
以上概率为随机挑选下的概率，远远小于该人成功的概率3/10=0.3，因此，可以断定他确有区分能力。
（B）
1. 解：由概率密度可得分布函数
，即，易知；
2. 解： X服从的均匀分布，，又
则，

-1
1
P

所以Y的分布律为

3. 解：，
；
4. 证明：因是偶函数，故，
所以.
5. 解：随机变量X的分布函数为
，显然，
，
当时，是不可能事件，知，
当时，，
当时，是必然事件，知，
即 。
6. （1）
当时，即时，，
当时，即y>1时，，
所以
；
（2），
当时，为不可能事件，则，
当时，，则，
当时，，则，
根据得
；
（3），
当时，，
当时，，
所以 ；
7. (1) 证明：由题意知。
，
当时，即，
当时，，
当时，，
故有，可以看出服从区间（0，1）均匀分布；
（2）
当时，，
当时，
，
当时，，
由以上结果，易知，可以看出服从区间（0，1）均匀分布。

第三章
1解：(X,Y)取到的所有可能值为(1,1),(1,2),(2,1)由乘法公式：
P{X=1,Y=1}=P{X=1}P{Y=1|X=1|=2/3´1/2=/3
同理可求得P{X=1,Y=1}=1/3; P{X=2,Y=1}=1/3
(X,Y)的分布律用表格表示如下：
Y
X
1
2
1
1/3
1/3
2
1/3
0
2 解：X，Y所有可能取到的值是0, 1, 2
(1) P{X=i, Y=j}=P{X=i}P{Y=j|X=i|= , i,j=0,1,2, i+j£2
或者用表格表示如下：
Y
X
0
1
2
0
3/28
6/28
1/28
1
9/28
6/28
0
2
3/28
0
0
(2)P{(X,Y)ÎA}=P{X+Y£1}=P{X=0, Y=0}+P{X=1,Y=0}+P{X=0,Y=0}=9/14
3 解：P(A)=1/4, 由P(B|A)=得P(AB)=1/8
由P(A|B)=得P(B)=1/4
(X,Y)取到的所有可能数对为(0,0),(1,0),(0,1),(1,1),则
P{X=0,Y=0}=)=P(
(A)-P(B)+P(AB)=5/8
P{X=0,Y=1}=P(B)=P(B-A)=P(B)-P(AB)=1/8
P{X=1,Y=0}=P(A)=P(A-B)=P(A)-P(AB)=1/8
P{X=1,Y=1}=P(AB)=1/8
4.解：(1)由归一性知：
1=, 故A=4
(2)P{X=Y}=0
(3)P{X<Y}=
(4)
F(x,y)=
即F(x,y)=
5.解：P{X+Y³1}=

6 解：X的所有可能取值为0,1,2,Y的所有可能取值为0,1,2, 3.
P{X=0,Y=0}=0.53=0.125; 、P{X=0,Y=1}=0.53=0.125
P{X=1,Y=1}=, P{X=1,Y=2}=
P{X=2,Y=2}=0.53=0.125, P{X=2,Y=3}==0.53=0.125
X,Y 的分布律可用表格表示如下：

Y
X
0
1
2
3
Pi.
0
0.125
0.125
0
0
0.25
1
0
0.25
0.25
0
0.5
2
0
0
0.125
0.125
0.25
P.j
0.125
0.375
0.375
0.125
1
7. 解：

8. 解：
(1)
所以 c=21/4
(2)

9 解：
(X,Y)在区域D上服从均匀分布，故f(x,y)的概率密度为

10 解：

当0<x£1时，

即，
11解：

当y£0时，
当y>0时，
所以，
12 解：由得

13解：Z=max(X,Y),W=min(X,Y)的所有可能取值如下表

pi
0.05
0.15
0.2
0.07
0.11
0.22
0.04
0.07
0.09
(X,Y)
(0,-1)
(0,0)
(0,1)
(1,-1)
(1,0)
(1,1)
(2,-1)
(2,0)
(2,1)
max(X,Y)
0
0
1
1
1
1
2
2
2
Min(X,Y)
-1
0
0
-1
0
1
-1
0
1
Z=max(X,Y),W=min(X,Y)的分布律为
Z
0
1
2
Pk
0.2
0.6
0.2

W
-1
0
1
Pj
0.16
0.53
0.31
14 解：
由独立性得X，Y的联合概率密度为

则P{Z=1}=P{X£Y}=
P{Z=0}=1-P{Z=1}=0.5
故Z的分布律为
Z
0
1
Pk
0.5
0.5
15 解：

同理，
显然，，所以X与Y不相互独立.
16 解：(1)
利用卷积公式：求fZ(z)
=

(2)
利用卷积公式：

17 解：由定理3.1（p75）知，X+Y~N(1,2)
故
18解：(1) (x>0)
同理， y>0
显然，，所以X与Y不相互独立
(2).利用公式

19解：并联时，系统L的使用寿命Z=max{X,Y}
因X~E(a),Y~E(b),故

串联时，系统L的使用寿命Z=min{X,Y}

(B)组
1 解：P{X=0}=a+0.4, P{X+Y=1}=P{X=1,Y=0}+P{X=0,Y=1}=a+b
P{X=0,X+Y=1}=P{X=0,Y=1}=a
由于{X=0|与{X+Y=1}相互独立, 所以
P{X=0, X+Y=1}=P{X=0} P{X+Y=1}
即 a=(a+0.4)(a+b) (1)
再由归一性知：
0.4+a+b+0.1=1 (2)
解(1),(2)得 a=0.4, b=0.1
2 解: (1)
(2) 利用公式计算

3.解：(1) FY(y)=P{Y£y}=P{X2£y}
当y<0时，fY(y)=0
当y³0时，
从而，
(2) F(-1/2,4)=P{X£-1/2,Y£4}= P{X£-1/2,X2£4}
=P{-2£X£-1/2}=
4.解：P{XY¹0}=1-P{XY=0}=0
即 P{X=-1,Y=1}+P{X=1,Y=1}=0
由概率的非负性知，P{X=-1,Y=1}=0，P{X=1,Y=1}=0
由边缘分布律的定义，P{X=-1}= P{X=-1,Y=0}+ P{X=-1,Y=1}=1/4
得P{X=-1,Y=0}=1/4
再由P{X=1}= P{X=1,Y=0}+ P{X=1,Y=1}=1/4
得P{X=1,Y=0}=1/4
再由P{Y=1}=P{X=-1,Y=1}+ P{X=0,Y=1}+ P{X=1,Y=1}= P{X=0,Y=1}
知P{X=0,Y=1}=1/2
最后由归一性得：P{X=0,Y=0}=0
(X,Y)的分布律用表格表示如下：

Y
X
0
1
P{X=i}
-1
1/4
0
1/4
0
0
1/2
1/2
1
1/4
0
1/4
P{Y=j}
1/2
1/2
1
(2) 显然，X和Y不相互独立，因为P{X=-1,Y=0}¹ P{X=-1}P{Y=0}
5 解：X与Y相互独立，利用卷积公式计算

6.解：(X,Y)～Ｕ(G)

设F(x)和f(s)分别表示S=XY的分布函数和密度函数
F(s)=P{XY<s}
s<0时，Fs(s)=0
s³0时，
所以，
于是，S=ＸY概率密度为

7.解：由全概率公式：
FU(u)=P{U£u}={X+Y£u}
=P{X=1}P{X+Y£u|X=1}+ P{X=2}P{X+Y£u|X=2}
= P{X=1}P{1+Y£u}+ P{X=2}P{2+Y£u}
=0.3´FY(u-1)+0.7´FY(u-2)
所以，fU(u) =0.3´fY(u-1)+0.7´fY(u-2)
8. 解：(1)

(2)
如图所示，当z<0时，FZ(z)=0;
当z³2时，FZ(z)=1
当0£z<2时:
综上所述，

所以Z的概率密度为：
9.解：(1)

(2)
(3)
10.解：(1)P{Z£1/2|X=0}=P{X+Y£1/2|X=0}=P{Y£1/2}=1/2
(2) 由全概率公式：
FZ(z)=P{Z£z}=P{X+Y£z}=P{X=1}P{X+Y£z|X=1}
+P{X=0}P{X+Y£z|X=0}=P{X=-1}P{X+Y£z|X=-1}
= P{X=1}P{1+Y£z}+P{X=0}P{Y£z}=P{X=-1}P{-1+Y£z}
=1/3´[FY(z-1)+ FY(z)+ FY(z+1)]
从而，fZ(z) =1/3´[fY(z-1)+ fY(z)+ fY(z+1)]=
11.解：

如图，当z<0时，FZ(z)=0;
当z³1时，FZ(z)=1
当0£z<1时:
综上得：12
Z的概率密度为
12 解：

当z<0时，FZ(z)=0;
当z³0时，
所以，Z的概率密度为

第四章
4三、解答题
1. 设随机变量的分布律为
X
– 2
0
2
pi
0.4
0.3
0.3
求，，．
解：E (X ) = = +0+2= -0.2
E (X 2 ) = = 4+ 0+ 4= 2.8
E (3 X +5) =3 E (X ) +5 =3+5 = 4.4
2. 同时掷八颗骰子，求八颗骰子所掷出的点数和的数学期望．
解：记掷1颗骰子所掷出的点数为Xi，则Xi 的分布律为

记掷8颗骰子所掷出的点数为X ，同时掷8颗骰子，相当于作了8次独立重复的试验，
E (Xi ) =1/6×(1+2+3+4+5+6)=21/6
E (X ) =8×21/3=28
3. 某图书馆的读者借阅甲种图书的概率为p1，借阅乙种图书的概率为p2，设每人借阅甲乙图书的行为相互独立，读者之间的行为也是相互独立的．
(1) 某天恰有n个读者，求借阅甲种图书的人数的数学期望．
(2) 某天恰有n个读者，求甲乙两种图书至少借阅一种的人数的数学期望．
解：(1) 设借阅甲种图书的人数为X ，则X~B(n, p1),所以E (X )= n p1
(2) 设甲乙两种图书至少借阅一种的人数为Y , 则Y ~B(n, p),
记A ={借甲种图书}， B ={借乙种图书}，则p =｛A ∪ B｝= p1+ p2 - p1 p2
所以E (Y )= n (p1+ p2 - p1 p2 )
4. 将n个考生的的录取通知书分别装入n个信封，在每个信封上任意写上一个考生的姓名、地址发出，用X表示n个考生中收到自己通知书的人数，求E(X)．
解：依题意，X~B(n，1/n)，所以E (X ) =1.
5. 设，且，求E(X)．
解：由题意知X～P（），则X的分布律P =，k = 1,2,...
又P=P, 所以
解得 ，所以E(X) = 6.
6. 设随机变量X的分布律为问X的数学期望是否存在？
解：因为级数， 而
发散，所以X的数学期望不存在.
7. 某城市一天的用电量X（十万度计）是一个随机变量，其概率密度为

求一天的平均耗电量．
解：E(X) ==6.
8. 设某种家电的寿命X（以年计）是一个随机变量，其分布函数为

求这种家电的平均寿命E(X)．
解：由题意知，随机变量X的概率密度为
当>5时， ，当£5时，0.
E(X) =
所以这种家电的平均寿命E(X)=10年.
9. 在制作某种食品时，面粉所占的比例X的概率密度为

求X的数学期望E(X)．
解：E(X) ==1/4
10. 设随机变量X的概率密度如下，求E(X)．

解：.
11. 设，求数学期望．
解：X的分布律为， k = 0，1，2，3，4，
X取值为0，1，2，3，4时，相应的取值为0，1，0，-1，0，所以

12. 设风速V在(0，a)上服从均匀分布，飞机机翼受到的正压力W是V的函数：，（k > 0，常数），求W的数学期望．
解：V的分布律为，所以

13. 设随机变量(X, Y )的分布律为
Y X
0
1
2
0
3/28
9/28
3/28
1
3/14
3/14
0
2
1/28
0
0
求E(X)，E(Y )，E(X – Y )．
解：E(X)=0×(3/28+9/28+3/28）+1×(3/14+3/14+0)+ 2×(1/28+0+0)= 7/14=1/2
E(Y)=0×（3/28+3/14+1/28）+1×(9/28+3/14+0)+ 2×(3/28+0+0)=21/28=3/4
E(X-Y) = E(X)- E(Y)=1/2-3/4= -1/4.
14. 设随机变量(X，Y)具有概率密度，求E(X)，E(Y)，E(XY)
解：E(X)=

15. 某工厂完成某批产品生产的天数X是一个随机变量，具有分布律
X
10 11 12 13 14
pi
0.2 0.3 0.3 0.1 0.1
所得利润（以元计）为,求E(Y)，D(Y)．
解： E(Y) = E［1000(12-X)］
=1000×[(12-10)×0.2+(12-11)]×0.3+(12-12)×0.3+(12-13)×0.1+(12-14)×0.1] = 400
E(Y2) = E［10002(12-X)2］
=10002[(12-10)2×0.2+（12-11）2×0.3+（12-12）2×0.3+（12-13）2×0.1
+（12-14）2×0.1]=1.6×106
D(Y)=E(Y2)-［E(Y)］2=1.6×106- 4002=1.44×106
16. 设随机变量X服从几何分布 ，其分布律为
其中0 < p < 1是常数，求E(X)，D(X)．
解：令q=1- p ,则

D(X) = E(X2)- E(X) =2q/p2+1/p-1/p2 = (1-p)/p2
17. 设随机变量X的概率密度为，试求E(X)，D(X)．
解：E(X)=
D(X)= E(X2)=

18. 设随机变量(X，Y)具有D(X) = 9，D(Y) = 4，，求，．
解：因为，所以
=-1/6×3×2=-1,

19. 在题13中求Cov(X，Y)，rXY．
解：E(X) =1/2, E(Y) =3/4,
E(XY)=0×(3/28+9/28+3/28+3/14+1/28）+1×3/14+2×0+4×0=3/14,
E(X2)= 02×（3/28+9/28+3/28）+12×(3/14+3/14+0)+ 22×(1/28+0+0)=4/7,
E(Y2)= 02×（3/28+3/14+1/28）+12×(9/28+3/14+0)+ 22×(3/28+0+0)=27/28,
D(X)= E(X2) -［E(X)］2 = 4/7-(1/2)2= 9/28,
D(Y)= E(Y2)- ［E(Y)］2=27/28-(3/4)2= 45/112,
Cov(X，Y)= E(XY)- E(X) E(Y) =3/14- (1/2) ×(3/4)= -9/56,
rXY = Cov(X，Y) /()=-9/56 ¸ ()= -/5
20. 在题14中求Cov(X，Y)，rXY，D(X + Y)．
解：,

21. 设二维随机变量(X, Y )的概率密度为

试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的．
解：

，
所以Cov(X，Y)=0，rXY =0，即X和Y是不相关.

当x2 + y2≤1时，f ( x,y)≠fX ( x) f Y(y),所以X和Y不是相互独立的

22. 设随机变量(X, Y )的概率密度为

验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的．
解：由于f ( x,y)的非零区域为D: 0 < x < 1, | y |< 2x
,
,
,所以Cov(X，Y)=0，从而
，因此X与Y不相关 .

所以，当0<x<1, -2<y<2时，，所以X和Y不是相互独立的 .
四、应用题
.1. 某公司计划开