资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．一元二次方程的一次项系数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，D是等边△ABC边AD上的一点，且AD：DB=1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC、BC上，则CE：CF=（ ）
A． B． C． D．
3．己知⊙的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离.则直线与⊙的位置关系是
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
4．如图的中，，且为上一点．今打算在上找一点，在上找一点，使得与全等，以下是甲、乙两人的作法：
（甲）连接，作的中垂线分别交、于点、点，则、两点即为所求
（乙）过作与平行的直线交于点，过作与平行的直线交于点，则、两点即为所求
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（ ）
A．两人皆正确 B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
5．下列图形中是中心对称图形的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．关于抛物线的说法中，正确的是（ ）
A．开口向下 B．与轴的交点在轴的下方
C．与轴没有交点 D．随的增大而减小
7．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B． C． D．
8．已知如图，直线，相交于点，且，添加一个条件后，仍不能判定的是（ ）．
A． B． C． D．
9．已知，当﹣1≤x≤2时，二次函数y=m(x﹣1)2﹣5m+1(m≠0，m为常数)有最小值6，则m的值为( )
A．﹣5 B．﹣1 C．﹣1.25 D．1
10．等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长是（ ）
A．17 B．22 C．17或22 D．13
11．下列多边形一定相似的是（ ）
A．两个平行四边形 B．两个矩形
C．两个菱形 D．两个正方形
12．已知m，n是关于x的一元二次方程的两个解，若，则a的值为（ ）
A．﹣10 B．4 C．﹣4 D．10
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知扇形的面积为3πcm2，半径为3cm，则此扇形的圆心角为_____度．
14．若质量抽检时任抽一件西服成品为合格品的概率为0.9，则200件西服中大约有_____件合格品．
15．矩形的一条对角线长为26，这条对角线与矩形一边夹角的正弦值为，那么该矩形的面积为___.
16．如图，在中，，，，是上一点，，过点的直线将分成两部分，使其所分成的三角形与相似，若直线与另一边的交点为点，则__________．
17．如图，为了测量河宽AB(假设河的两岸平行)，测得∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，CD＝60m，则河宽AB为 m(结果保留根号)．
18．的半径为4，圆心到直线的距离为2，则直线与的位置关系是______.
三、解答题（共78分）
19．（8分）平面直角坐标系中有点和某一函数图象，过点作轴的垂线，交图象于点，设点，的纵坐标分别为，．如果，那么称点为图象的上位点；如果，那么称点为图象的图上点；如果，那么称点为图象的下位点．
（1）已知抛物线.
① 在点A(-1，0)，B(0，-2)，C(2，3)中，是抛物线的上位点的是 ；
② 如果点是直线的图上点，且为抛物线的上位点，求点的横坐标的取值范围；
（2）将直线在直线下方的部分沿直线翻折，直线的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记作图象．⊙的圆心在轴上，半径为．如果在图象和⊙上分别存在点和点F，使得线段EF上同时存在图象的上位点，图上点和下位点，求圆心的横坐标的取值范围．
20．（8分）（1016内蒙古包头市）一幅长10cm、宽11cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：1．设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm1．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（1）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．
求一次函数和反比例函数的表达式；
请直接写出时，x的取值范围；
过点B作轴，于点D，点C是直线BE上一点，若，求点C的坐标．
22．（10分）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，将直线绕着点顺时针旋转的度数后与该抛物线交于两点（点在点的左侧），点是该抛物线上一点
（1）若，求直线的函数表达式
（2）若点将线段分成的两部分，求点的坐标
（3）如图②，在（1）的条件下，若点在轴左侧，过点作直线轴，点是直线上一点，且位于轴左侧，当以，，为顶点的三角形与相似时，求的坐标
23．（10分）如图，在中，，是外接圆，点是圆上一点，点，分别在两侧，且，连接，延长到点，使．
（1）求证：为的切线；
（2）若的半径为1，当是直角三角形时，求的面积．
24．（10分）如图1，在中，是的直径，交于点，过点的直线交于点，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，试求的长；
（3）如图2，点是弧的中点，连结，交于点，若，求的值．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点B，C，正方形AOCD的顶点D在第二象限内，E是BC中点，OF⊥DE于点F，连结OE，动点P在AO上从点A向终点O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某点Q1向终点Q2匀速运动，它们同时到达终点．
（1）求点B的坐标和OE的长；
（2）设点Q2为(m，n)，当tan∠EOF时，求点Q2的坐标；
（3）根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合．
①延长AD交直线BC于点Q3，当点Q在线段Q2Q3上时，设Q3Q＝s，AP＝t，求s关于t的函数表达式．
②当PQ与△OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长．
26．在中，AB=6，BC=4，B为锐角且cosB.
(1)求∠B的度数.
(2)求的面积.
(3)求tanC．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】根据一元二次方程的一般式判断即可.
【详解】解：该方程的一次项系数为.
故选：
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的项的系数，不是一般式的先化成一般式再判断.
2、B
【详解】解：由折叠的性质可得，∠EDF=∠C=60º,CE=DE,CF=DF
再由∠BDF+∠ADE=∠BDF+∠BFD=120º
可得∠ADE=∠BFD，又因∠A=∠B=60º，
根据两角对应相等的两三角形相似可得△AED∽△BDF
所以，
设AD=a，BD=2a，AB=BC=CA=3a，
再设CE==DE=x，CF==DF=y，则AE=3a-x，BF=3a-y，
所以
整理可得ay=3ax-xy，2ax=3ay-xy，即xy=3ax-ay①，xy=3ay-2ax②；
把①代入②可得3ax-ay=3ay-2ax，所以5ax=4ay，，
即
故选B．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定及性质．
3、A
【分析】在判断直线与圆的位置关系时，通常要得到圆心到直线的距离，然后再利用d与r的大小关系进行判断；在直线与圆的问题中,充分利用构造的直角三角形来解决问题，直线与圆的位置关系：①当d＞r时，直线与圆相离；②当d=r时，直线与圆相切；③当d＜r时，直线与圆相交.
【详解】∵的解为x=4或x=-1，
∴r=4，
∵4＜6，即r＜d，
∴直线和⊙O的位置关系是相离.
故选A.
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系，一元二次方程的定义及一般形式，掌握直线与圆的位置关系，一元二次方程的定义及一般形式是解题的关键.
4、A
【分析】如图1，根据线段垂直平分线的性质得到，，则根据“”可判断，则可对甲进行判断；
如图2，根据平行四边形的判定方法先证明四边形为平行四边形，则根据平行四边形的性质得到，，则根据“”可判断，则可对乙进行判断．
【详解】解：如图1，垂直平分，
，，
而，
，所以甲正确；
如图2，，，
∴四边形为平行四边形，
，，
而，
，所以乙正确．
故选：A．
【点睛】
本题考查作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质和三角形全等的判定．
5、B
【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，进行判断．
【详解】从左起第2、4个图形是中心对称图形，
故选B．
【点睛】
本题考查了中心对称图形的概念，注意掌握图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合．
6、C
【分析】根据题意利用二次函数的性质，对选项逐一判断后即可得到答案．
【详解】解：A. ，开口向上，此选项错误；
B. 与轴的交点为（0，21），在轴的上方，此选项错误；
C. 与轴没有交点，此选项正确；
D. 开口向上，对称轴为x=6，时随的增大而减小，此选项错误.
故选：C.
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，熟练掌握并利用二次函数的性质解答．
7、B
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则即可得答案．
【详解】解：，
解不等式2x−1≤5，得：x≤3，
解不等式8−4x＜0，得：x＞2，
故不等式组的解集为：2＜x≤3，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟悉在数轴上表示不等式解集的原则“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”是解题的关键．
8、C
【分析】根据全等三角形判定，添加或或可根据SAS或ASA或AAS得到.
【详解】添加或或可根据SAS或ASA或AAS得到，添加属SSA，不能证.
故选：C
【点睛】
考核知识点：全等三角形判定选择.熟记全等三角形的全部判定是关键.
9、A
【分析】根据题意，分情况讨论：当二次函数开口向上时，在对称轴上取得最小值，列出关于m的一次方程求解即可；当二次函数开口向下时，在x=-1时取得最小值，求解关于m的一次方程即可，最后结合条件得出m的值．
【详解】解：∵当﹣1≤x≤2时，二次函数y=m(x﹣1)2﹣5m+1(m≠0，m为常数)有最小值6，
∴m＞0，当x=1时，该函数取得最小值，即﹣5m+1=6，得m=﹣1(舍去)，
m＜0时，当x=﹣1时，取得最小值，即m(﹣1﹣1)2﹣5m+1=6，得m=﹣5，
由上可得，m的值是﹣5，
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值问题，注意根据开口方向分情况讨论，一次方程的列式求解，分情况讨论是解题的关键．
10、B
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：分两种情况：
当腰为4时，4＋4＜9，不能构成三角形；
当腰为9时，4＋9＞9，所以能构成三角形，周长是：9＋9＋4＝1．
故选B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这点非常重要，也是解题的关键．
11、D
【分析】利用相似多边形的定义：对应边成比例，对应角相等的两个多边形相似，逐一分析各选项可得答案．
【详解】解：两个平行四边形，既不满足对应边成比例，也不满足对应角相等，所以A错误，
两个矩形，满足对应角相等，但不满足对应边成比例，所以B错误，
两个菱形，满足对应边成比例，但不满足对应角相等，所以C错误，
两个正方形，既满足对应边成比例，也满足对应角相等，所以D正确，
故选D．
【点睛】
本题考查的是相似多边形的定义与判定，掌握定义法判定多边形相似是解题的关键．
12、C
【详解】解：∵m，n是关于x的一元二次方程的两个解，∴m+n=3，mn=a．
∵，即，
∴，解得：a=﹣1．
故选C．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、120
【分析】利用扇形的面积公式：S＝计算即可．
【详解】设扇形的圆心角为n°．
则有3π＝，
解得n＝120，
故答案为120
【点睛】
此题主要考查扇形的面积公式，解题的关键是熟知扇形的面积公式的运用.
14、1．
【分析】用总数×抽检时任抽一件西服成品为合格品的概率即可得出答案.
【详解】200×0.9＝1，
答：200件西服中大约有1件合格品
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查合格率问题，掌握合格产品数=总数×合格率是解题的关键.
15、240
【分析】由矩形的性质和三角函数求出AB，由勾股定理求出AD，即可得出矩形的面积．
【详解】解：如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AC=BD=26，
∵，
∴，
∴，
∴该矩形的面积为：；
故答案为：240.
【点睛】
本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角函数；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理求出AB和AD是解决问题的关键．
16、1，，
【分析】根据P的不同位置，分三种情况讨论，即可解答．
【详解】解：如图：当DP∥AB时
∴△DCP∽△BCA
∴即，解得DP=1
如图：当P在AB上，即DP∥AC
∴△DCP∽△BCA
∴即，解得DP=
如图，当∠CPD=∠B，且∠C=∠C时,
∴△DCP∽△ACB
∴即，解得DP=
故答案为1，，．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握分类讨论思想并全部找到不同位置的P点是解答本题的关键．
17、
【详解】解：∵∠ACB=30°，∠ADB=60°，
∴∠CAD=30°，
∴AD=CD=60m，
在Rt△ABD中，
AB=AD•sin∠ADB=60×=(m).
故答案是：.
18、相交
【分析】由圆的半径为4，圆心O到直线l的距离为2，利用直线和圆的位置关系，圆的半径大于直线到圆距离，则直线l与O的位置关系是相交．
【详解】解：∵⊙O的半径为4，圆心O到直线L的距离为2，
∵4＞2，即：d＜r，
∴直线L与⊙O的位置关系是相交．
故答案为：相交.
【点睛】
本题考查知道知识点是圆与直线的位置关系，若d＜r，则直线与圆相交；若d>r，则直线与圆相离；若d=r，则直线与圆相切.
三、解答题（共78分）
19、（1）①A，C.②；（2）或.
【分析】（1）①分别将A,B,C三个点的横坐标代入抛物线的解析式中，然后比较求出的函数值与各自点的纵坐标，最后依据上位点的定义判断即可得出答案；
②找到直线与抛物线的两个交点，即可确定点的横坐标的取值范围
（2）当圆与两条直线的反向延长线相切时，为临界点，临界点的两边都满足要求,数形结合求出临界点时圆心的横坐标，即可得出答案.
【详解】解：（1）①当时，，所以A点是抛物线的上位点；
当时，，所以B点不是抛物线的上位点；
当时，，所以C点是抛物线的上位点；
故答案为，.
②∵点是直线的图上点，∴点在上.
又∵点是的上位点，
∴点在与的交点，之间运动.
∵
∴
∴点(，)，(，).
∴.
（2）如图，当圆与两条直线的反向延长线相切时，为临界点，临界点的两边都满足要求.
将沿直线翻折后的直线的解析式为
当时，，∴A(-3,0),OA=3
当时，∴C(0,3),OC=3
∴
∵
∴
∴
∵A(-3,0)
∴
同理可得
∴线段EF上同时存在图象的上位点，图上点和下位点，圆心的横坐标的取值范围为或.
【点睛】
本题主要考查二次函数与一次函数的综合，掌握上位点，图上点和下位点的概念是解题的关键.
20、（1）；（1）横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为1cm．
【分析】（1）由横、竖彩条的宽度比为3：1知横彩条的宽度为xcm，根据“三条彩条面积=横彩条面积+1条竖彩条面积﹣横竖彩条重叠矩形的面积”，列出函数关系式化简即可；（1）根据“三条彩条所占面积是图案面积的”，可列出关于x的一元二次方程，整理后求解即可．
【详解】（1）根据题意可知，横彩条的宽度为xcm，
∴y=10×x+1×11•x﹣1×x•x=﹣3x1+54x，
即y与x之间的函数关系式为y=﹣3x1+54x；
（1）根据题意，得：﹣3x1+54x=×10×11，
整理，得：x1﹣18x+31=0，
解得：x1=1，x1=16（舍），
∴x=3，
答：横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为1cm．
考点：根据实际问题列二次函数关系式；一元二次方程的应用．
21、反比例函数的解析式为，一次函数解析式为：；当或时，；当点C的坐标为或时，．
【分析】(1)利用待定系数法求出k，求出点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式；
(2)利用数形结合思想，观察直线在双曲线上方的情况即可进行解答；
(3)根据直角三角形的性质得到∠DAC=30°，根据正切的定义求出CD，分点C在点D的左侧、点C在点D的右侧两种情况解答．
【详解】点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为，
点在反比例函数的图象上，
，
则点B的坐标为，
由题意得，，
解得，，
则一次函数解析式为：；
由函数图象可知，当或时，；
，，
，
由题意得，，
在中，，即，
解得，，
当点C在点D的左侧时，点C的坐标为，
当点C在点D的右侧时，点C的坐标为，
当点C的坐标为或时，．
【点睛】
本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、灵活运用分类讨论思想、数形结合思想是解题的关键．
22、（1）；（2）或；（3），，，
【分析】（1）根据题意易得点M、P的坐标，利用待定系数法来求直线AB的解析式；
（2）分和两种情况根据点A、点B在直线y=x+2上列式求解即可；
（3）分和两种情况，利用相似三角形的性质列式求解即可.
【详解】（1）如图①，设直线AB与x轴的交点为M．
∵∠OPA=45°，
∴OM=OP=2，即M（-2，0）．
设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将M（-2，0），P（0，2）两点坐标代入，得
，
解得，．
故直线AB的解析式为y=x+2；
（2）①
设（a＞0）
∵点A、点B在直线y=x+2上和抛物线y=x2的图象上，
∴，
∴，
∴
解得，，（舍去）
②
设（a＞0）
∵点A、点B在直线y=x+2上和抛物线y=x2的图象上，
∴，
∴，
∴
解得：，（舍去）
综上或
（3），
，
①
此时，关于轴对称，为等腰直角三角形
②
此时满足，左侧还有也满足
，，，四点共圆，易得圆心为中点
设，
∵
且不与重合
，
为正三角形，
过作，则，
∵
∴
∴
解得，
∴
∵
∴
∴
解得，
∴
综上所述，满足条件的点M的坐标为：，，，.
【点睛】
本题考查了二次函数综合题．其中涉及到了待定系数法求一次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，方程思想，难度比较大．另外，解答（2）、（3）题时，一定要分类讨论，做到不重不漏．
23、（1）详见解析；（2）或
【分析】(1)先证，再证，得到，即可得出结论；
（2）分当时和当时两种情况分别求解即可.
【详解】（1）∵，
∴，
∵，，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线．
（2）①当时，，是等边三角形，可得，
∵，
∴，，
∴．
②当时，易知，的边上的高，
∴．
【点睛】
此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质和判定，等边三角形的判定和性质，求三角形的面积熟练掌握切线的判定与圆周角定理是解题的关键．
24、（1）证明见解析（2）（3）
【分析】（1）连接半径，根据已知条件结合圆的基本性质可推出，即，即可得证结论；
（2）设，根据已知条件列出关于的方程、解方程即可得到圆心角，再求得半径，然后利用弧长公式即可得解；
（3）由，设，然后根据已知条件利用圆的一些性质、勾股定理以及三角形的不同求法分别表示出、，再利用平行线的判定以及相似三角形的判定和性质即可求得结论．
【详解】解：（1） 连结，如图：
∵是的直径
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵在圆上
∴是的切线．
（2）设
∵
∴
∴
∵在中，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
连结，过作于点，如图：
∵点是的中点
∴
∴设
∴
∴
∴
∵在中，
∴
∵，
∴
∴
∴．
故答案是：（1）证明见解析（2）（3）
【点睛】
本题考查了圆的相关性质、切线的判定、等腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、直角三角形的相关性质、锐角三角函数、三角形的外角性质以及弧长的计算公式等，综合性较强，但难度不大属中档题型．
25、（1）（8，0），；（2）（6，1）；（3）①，②的长为或.
【分析】（1）令y＝0，可得B的坐标，利用勾股定理可得BC的长，即可得到OE；
（2）如图，作辅助线，证明△CDN∽△MEN，得CN＝MN＝1，计算EN的长，根据面积法可得OF的长，利用勾股定理得OF的长，由和，可得结论；
（3）①先设s关于t成一次函数关系，设s＝kt＋b，根据当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合，得t＝2时，CD＝4，DQ3＝2，s＝，根据Q3（−4，6），Q2（6，1），可得t＝4时，s＝，利用待定系数法可得s关于t的函数表达式；
②分三种情况：
（i）当PQ∥OE时，根据，表示BH的长，根据AB＝12，列方程可得t的值；
（ii）当PQ∥OF时，根据tan∠HPQ＝tan∠CDN＝，列方程为2t−2＝ (7−t)，可得t的值．
（iii）由图形可知PQ不可能与EF平行．
【详解】解：（1）令，则，
∴，
∴为.
∵为，
在中，.
又∵为中点，∴.
（2）如图，作于点，则，
∴，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴为.
（3）①∵动点同时作匀速直线运动，
∴关于成一次函数关系，设，
将和代入得，解得，
∴.
②（ⅰ）当时，（如图），，
作轴于点，则.
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
（ⅱ）当时（如图），过点作于点，过点作于点，由得.
∵,
∴,
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴.
（ⅲ）由图形可知不可能与平行.
综上所述，当与的一边平行时，的长为或.
【点睛】
此题是一次函数的综合题，主要考查了：用待定系数法求一次函数关系式，三角形相似的性质和判定，三角函数的定义，勾股定理，正方形的性质等知识，并注意运用分类讨论和数形结合的思想解决问题．
26、（1）60°；（2） ；（3）
【解析】(1)直接利用三角函数值，即可求出∠B的度数；(2) 过A作AD⊥BC于D，根据cosB，可求出BD的值，利用勾股定理可求出AD的值，即可求得的面积；（3）利用正切概念即可求得tanC的值；
【详解】解：
（1）∵B为锐角且cosB，
∴∠B=60°；
（2）如图，过A作AD⊥BC于D，
在Rt中，cosB，
∵AB=6，
∴BD=3，
∴，
∴，
(3)∵BD=3，BC=4，
∴CD=1，
∴在Rt中，tanC.
【点睛】
本题考查了三角函数的定义及性质，掌握三角函数的性质是解题的关键.
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