概率论第四章 习题解答.doc

第四章 随机变量的数字特征I 教学基本要求1、理解随机变量的数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算，会求随机变量函数的数学期望；2、掌握两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布的数学期望与方差；3、了解切比雪夫不等式及应用；4、掌握协方差、相关系数的概念与性质，了解矩和协方差矩阵的概念；5、了解伯努利大数定理、切比雪夫大数定律、辛钦大数定理；6、了解林德伯格列维中心极限定理、棣莫弗拉普拉斯中心极限定理，掌握它们在实际问题中的应用.II 习题解答A组1、离散型随机变量的概率分布为-2020.400.300.30求、？解：；.2、某产品表面瑕疵点数服从参数的泊松分布，规定若瑕疵点数不超过1个为一等品，每个价值10元，多于4个为废品，不值钱，其它情况为二等品，每个价值8元.求产品的平均价值？解：设为产品价格，则、.通过查泊松分布表可知其相应概率分布为08100.00140.80880.1898则(元).3、设随机变量的分布函数为.求？解：由分布函数知的密度函数为则.4、设随机变量服从几何分布，即，其中是常数.求？解：由级数，知.5、若随机变量服从参数为的泊松分布，即 求、？解：；.6、某工程队完成某项工程的时间(单位:月)服从下述分布101112130.40.30.20.1(1) 求该工程队完成此项工程的平均时间；(2) 设该工程队获利(万元).求平均利润？解：(1) (月)；(2) (万元).7、若随机变量服从区间上的均匀分布，即求、？解：；.8、若随机变量服从参数为的指数分布，即求、？解：；.9、离散型随机变量的概率分布为0263/124/125/12求、？解：；.10、设，求？解：令，由偶函数性质有.11、设某商品需求量，销售商进货量在(10，30)之间，是一个整数.每销售一件商品获利500(元)，若供小于求，每件产品亏损100(元).若供大于求，则从外地调运，每件商品可获利300(元).为使利润期望值不少于9280(元)，进货量最少应为多少?解：按题意利润与、的关系为则利润平均值为由题意知解得，则最少进货量为21.12、某保险公司规定，如果一年内顾客投保事件发生，则赔偿顾客元.以往资料表明事件发生的概率为.为使公司收益期望值为，则应向顾客收取都少保费?解：设应向顾客收取元保费，公司的收益为元.则按题意解得.13、设随机变量的密度函数为.对进行独立重复观测4次，表示观测值大于的次数，求的数学期望？解：显然，其中是的概率，故所以 则有.14、设随机变量、相互独立，且都服从标准正态分布.求的数学期望？解：由题意知、的联合密度函数为于是令、得.15、已知的分布如下，令，求？05101500.020.060.020.1050.040.150.200.10100.010.150.140.01解：由题设可得的分布为0510150.020.250.520.21.16、设的联合密度函数为求、？解：；.17、设随机变量的密度函数为求？解：.18、甲乙二人相约在之间会面，设、分别表示甲乙到达时间，且相互独立.已知、的密度函数为、求先到达者需要等待时间的数学期望？解：等待时间可以表示为，由于、的联合密度函数为.19、设二维随机变量在曲线、所围区域内服从均匀分布，求数学期望、？解：设的联合密度函数为，由密度函数性质解出.下面分别求出边沿密度函数当时，有，故此当时，有当时，有，所以从而；.20、离散型随机变量的概率分布为-2020.400.300.30求？解：由题意易知、，所以.21、设随机变量的分布函数为.求？解：由题意易知的密度函数为，且，则.22、若随机变量服从参数为的泊松分布，求？解：由题意易知、，故.23、设随机变量的密度函数为求？解：由题意易知，故.24、设二维随机变量在曲线、所围区域内服从均匀分布，求方差、？解：由题意易知、；.25、设10只同种元件中由2只是坏的，装配仪器时，从中任取1只，如果是不合格品，则扔掉后重取1只，求取出合格品前取出次品数的方差？解：设表示取出合格品前已取出次品的数目，则0128/1016/902/90故、所以.26、设随机变量的密度函数为.求、？解：；.27、设为随机变量，证明:对任意常数，有，当时等号成立.证明：由于非负，从而有，且当时.28、设服从(-2，2)上的均匀分布，定义、如下、求？解：先求的分布所以，从而.29、已知、.请估计概率？解：由切比雪夫不等式有.30、设、，利用由切比雪夫不等式估计概率的上限？解：因为、，所以.31、设、，求？解：.32、设的联合密度函数为求？解：由题意易知、，故.33、设二维随机变量在曲线、所围区域内服从均匀分布，求协方差与相关系数？解：由题意易知、所以；.34、设二维随机变量的联合分布为-10100.070.180.15100.080.320.20求？解：先求、的分布、所以、，由此得.35、随机变量的密度函数为求？解：当时，有；当时，有，故、由于，即与不独立.所以.36、将1枚硬币抛次，以、分别表示正面向上与反面向上的次数，求、？解：由于，即，于是；又因、，所以，故.37、设与独立，且都服从参数为的泊松分布，令、求与的相关系数？解：由于所以由此得.38、设二维随机变量的联合密度函数为判断与之间的相关性与独立性.解：由于、，则故与之间不相关；又因当时，有，即同理可以求出由于，故与之间不独立.39、设为区间上一定点，随机变量，是到的距离.问为何值时与是不相关？解：由题设知、，所以令，可得方程在内解得，即时，与不相关.40、设计算器进行加法计算时，所有舍入误差相互独立且在上服从均匀分布.(1) 将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少；(2) 最多可以有几个数相加，其误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90?解：设第个数的舍入误差为，故、 记(1) 由林德伯格列维中心极限定理有；(2) 由林德伯格列维中心极限定理有即，由于，则因此，再由为整数得满足题意的个数为443.41、一批木材中有80%的长度不小于3m，从中任取100根，求其中至少有30根长度短于3m的概率？解：以表示100根木材中长度短于3m的数目，则，于是，.由于较大，则由中心极限定理，近似有，由此有.42、某商店出售价格分别为1(元)、1.2(元)、1.5(元)的3种蛋糕，每种蛋糕被购买的概率分别为0.3、0.2、0.5.若某天售出300只蛋糕，(1) 求这天收入为400(元)的概率；(2) 求这天售出价格为1.2(元)蛋糕多于60只的概率？解：(1) 设第只蛋糕价格为.则的分布为11.21.50.30.20.5于是可得、令表示总收入，则由林德伯格列维中心极限定理有；(2) 记为300只蛋糕中售价为1.2(元)的蛋糕数目，则，于是、，由中心极限定理，近似有，由此有.43、进行独立重复试验，每次试验中事件发生的概率为0.25.问能以95%的把握保证1000次试验中事件发生的频率与概率相差多少?此时发生的次数在什么范围内?解：设为1000次试验中事件发生的次数，则，由二项分布的性质知、，而事件发生的频率为.根据题意，可得如下不等式即，由棣莫弗拉普拉斯定理有即解得，这表明1000次试验中事件发生的频率与概率相差不超过0.026，相应的有1000次试验中事件发生的次数在224到276之间.44、某车间有同型号车床150台，在1小时内每台车床约有60%的时间在工作.假定各车床工作相互独立，工作时每台车床要消耗电能15kw.问至少要多少电能，才可以有99.5%的可能性保证此车间正常工作？解：以表示同时工作的车床数，则，于是、，由题意知应使得下式成立由中心极限定理，近似有，故有查标准正态分布表得，即，取整得.故要保证车间有99.5%的可能性正常工作，需供电能.B组1、将只球(号)随机的装入只盒子(号)，一只盒子装一只球.若一只球装入的盒子与球同号，称为一个配对.记为配对数，求？解：引入随机变量，表示第号配对，表示第号不配对，则，且 即 于是因为之间不独立，所以下面考虑的分布，由于的取值只能是0、1，且所以，因此.2、设随机变量的分布函数为，其数学期望存在，证明.证明：由于改变积分次序有同理有.3、设随机变量的分布函数为求？解：由上一题结论有.4、设连续随机变量的密度函数为.若对任意常数有 且存在.证明.证明：令则有由密度函数性质有令，有故所以.5、证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过0.25.证明：设表示事件在一次试验中发生的次数，则，其中是事件发生的概率，则由均值不等式得，当时，有最大值0.25.6、设随机变量服从几何分布，即，其中是常数.求？解：由级数，知又将的展开式两端求导得.7、一只昆虫所生虫卵服从参数为的泊松分布，而每个虫卵发育成幼虫的概率为，且每个虫卵是否发育成幼虫相互独立，求一只昆虫所生幼虫数的期望与方差？解：由题意知，而个虫卵发育成个幼虫的概率为 由全概率公式，对任意有即服从参数为的泊松分布所以.8、设随机变量的密度函数是偶函数，且，证明与不相关，但不独立.证明：因是偶函数，所以、是奇函数，故此因而，与不相关；选取使得，考察如下特定事件概率即故与不独立.9、设、中任意两个的相关系数都是，试证:.证明：因为.20