概率论第四章 习题解答.doc

第四章 随机变量的数字特征

I 教学基本要求
1、理解随机变量的数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算，会求随机变量函数的数学期望；
2、掌握两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布的数学期望与方差；
3、了解切比雪夫不等式及应用；
4、掌握协方差、相关系数的概念与性质，了解矩和协方差矩阵的概念；
5、了解伯努利大数定理、切比雪夫大数定律、辛钦大数定理；
6、了解林德伯格－列维中心极限定理、棣莫弗―拉普拉斯中心极限定理，掌握它们在实际问题中的应用.

II 习题解答
A组
1、离散型随机变量的概率分布为

-2
0
2

0.40
0.30
0.30
求、、？
解：；
；
.
2、某产品表面瑕疵点数服从参数的泊松分布，规定若瑕疵点数不超过1个为一等品，每个价值10元，多于4个为废品，不值钱，其它情况为二等品，每个价值8元.求产品的平均价值？
解：设为产品价格，则、、.通过查泊松分布表可知其相应概率分布为

0
8
10

0.0014
0.8088
0.1898
则(元).
3、设随机变量的分布函数为.求？
解：由分布函数知的密度函数为

则.
4、设随机变量服从几何分布，即，其中是常数.求？
解：
由级数，知
.
5、若随机变量服从参数为的泊松分布，即

求、？
解：；

.
6、某工程队完成某项工程的时间(单位:月)服从下述分布

10
11
12
13

0.4
0.3
0.2
0.1
(1) 求该工程队完成此项工程的平均时间；
(2) 设该工程队获利(万元).求平均利润？
解：(1) (月)；
(2) (万元).
7、若随机变量服从区间上的均匀分布，即

求、？
解：；
.
8、若随机变量服从参数为的指数分布，即

求、？
解：
；
.
9、离散型随机变量的概率分布为

0
2
6

3/12
4/12
5/12
求、？
解：；
.
10、设，求？
解：
令，由偶函数性质有
.
11、设某商品需求量，销售商进货量在(10，30)之间，是一个整数.每销售一件商品获利500(元)，若供小于求，每件产品亏损100(元).若供大于求，则从外地调运，每件商品可获利300(元).为使利润期望值不少于9280(元)，进货量最少应为多少?
解：按题意利润与、的关系为

则利润平均值为

由题意知

解得，则最少进货量为21.
12、某保险公司规定，如果一年内顾客投保事件发生，则赔偿顾客元.以往资料表明事件发生的概率为.为使公司收益期望值为，则应向顾客收取都少保费?
解：设应向顾客收取元保费，公司的收益为元.则

按题意
解得.
13、设随机变量的密度函数为.对进行独立重复观测4次，表示观测值大于的次数，求的数学期望？
解：显然，其中是的概率，故

所以

则有
.
14、设随机变量、相互独立，且都服从标准正态分布.求的数学期望？
解：由题意知、的联合密度函数为

于是

令、得
.
15、已知的分布如下，令，求？

0
5
10
15
0
0.02
0.06
0.02
0.10
5
0.04
0.15
0.20
0.10
10
0.01
0.15
0.14
0.01
解：由题设可得的分布为

0
5
10
15

0.02
0.25
0.52
0.21
.
16、设的联合密度函数为

求、、、？
解：；
；
；
.
17、设随机变量的密度函数为

求？
解：.
18、甲乙二人相约在之间会面，设、分别表示甲乙到达时间，且相互独立.已知、的密度函数为
、
求先到达者需要等待时间的数学期望？
解：等待时间可以表示为，由于、的联合密度函数为

.
19、设二维随机变量在曲线、所围区域内服从均匀分布，求数学期望、？
解：设的联合密度函数为，由密度函数性质解出.下面分别求出边沿密度函数
当时，有，故此

当时，有
当时，有，所以

从而；
.
20、离散型随机变量的概率分布为

-2
0
2

0.40
0.30
0.30
求？
解：由题意易知、，所以
.
21、设随机变量的分布函数为.求？
解：由题意易知的密度函数为，且，则
.
22、若随机变量服从参数为的泊松分布，求？
解：由题意易知、，故
.
23、设随机变量的密度函数为

求？
解：由题意易知，故
.
24、设二维随机变量在曲线、所围区域内服从均匀分布，求方差、？
解：由题意易知
、
、

；
.
25、设10只同种元件中由2只是坏的，装配仪器时，从中任取1只，如果是不合格品，则扔掉后重取1只，求取出合格品前取出次品数的方差？
解：设表示取出合格品前已取出次品的数目，则

0
1
2

8/10
16/90
2/90
故
、
所以
.
26、设随机变量的密度函数为.求、？
解：；
.
27、设为随机变量，证明:对任意常数，有，当时等号成立.
证明：

由于非负，从而有，且当时.
28、设服从(-2，2)上的均匀分布，定义、如下
、
求？
解：先求的分布

所以，从而
.
29、已知、.请估计概率？
解：由切比雪夫不等式有
.
30、设、、、、，利用由切比雪夫不等式估计概率的上限？
解：因为、，所以
.
31、设、、，求？
解：
.
32、设的联合密度函数为

求？
解：由题意易知、、，故
.
33、设二维随机变量在曲线、所围区域内服从均匀分布，求协方差与相关系数？
解：由题意易知
、、、

所以
；
.
34、设二维随机变量的联合分布为

-1
0
1
0
0.07
0.18
0.15
10
0.08
0.32
0.20
求？
解：先求、、的分布
、
、
、
所以、、，由此得
.
35、随机变量的密度函数为

求？
解：当时，有；当时，有，故、
由于，即与不独立.所以

.
36、将1枚硬币抛次，以、分别表示正面向上与反面向上的次数，求、？
解：由于，即，于是；
又因、，所以，故
.
37、设与独立，且都服从参数为的泊松分布，令
、
求与的相关系数？
解：由于

所以

由此得
.
38、设二维随机变量的联合密度函数为

判断与之间的相关性与独立性.
解：由于
、、，则

故与之间不相关；
又因当时，有，即

同理可以求出

由于，故与之间不独立.
39、设为区间上一定点，随机变量，是到的距离.问为何值时与是不相关？
解：由题设知、，所以

令，可得方程

在内解得，即时，与不相关.
40、设计算器进行加法计算时，所有舍入误差相互独立且在上服从均匀分布.
(1) 将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少；
(2) 最多可以有几个数相加，其误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90?
解：设第个数的舍入误差为，故
、
记
(1) 由林德伯格－列维中心极限定理有

；
(2) 由林德伯格－列维中心极限定理有

即，由于，则
因此，再由为整数得满足题意的个数为443.
41、一批木材中有80%的长度不小于3m，从中任取100根，求其中至少有30根长度短于3m的概率？
解：以表示100根木材中长度短于3m的数目，则，于是，.由于较大，则由中心极限定理，近似有，由此有
.
42、某商店出售价格分别为1(元)、1.2(元)、1.5(元)的3种蛋糕，每种蛋糕被购买的概率分别为0.3、0.2、0.5.若某天售出300只蛋糕，(1) 求这天收入为400(元)的概率；(2) 求这天售出价格为1.2(元)蛋糕多于60只的概率？
解：(1) 设第只蛋糕价格为.则的分布为

1
1.2
1.5

0.3
0.2
0.5
于是可得、、
令表示总收入，则由林德伯格－列维中心极限定理有
；
(2) 记为300只蛋糕中售价为1.2(元)的蛋糕数目，则，于是、，由中心极限定理，近似有，由此有
.
43、进行独立重复试验，每次试验中事件发生的概率为0.25.问能以95%的把握保证1000次试验中事件发生的频率与概率相差多少?此时发生的次数在什么范围内?
解：设为1000次试验中事件发生的次数，则，由二项分布的性质知、，而事件发生的频率为.根据题意，可得如下不等式

即，由棣莫弗―拉普拉斯定理有

即
解得，这表明1000次试验中事件发生的频率与概率相差不超过0.026，相应的有1000次试验中事件发生的次数在224到276之间.
44、某车间有同型号车床150台，在1小时内每台车床约有60%的时间在工作.假定各车床工作相互独立，工作时每台车床要消耗电能15kw.问至少要多少电能，才可以有99.5%的可能性保证此车间正常工作？
解：以表示同时工作的车床数，则，于是、，由题意知应使得下式成立

由中心极限定理，近似有，故有

查标准正态分布表得，即，取整得.故要保证车间有99.5%的可能性正常工作，需供电能.
B组
1、将只球(号)随机的装入只盒子(号)，一只盒子装一只球.若一只球装入的盒子与球同号，称为一个配对.记为配对数，求？
解：引入随机变量，表示第号配对，表示第号不配对，则，且

即
于是

因为之间不独立，所以

下面考虑的分布，由于的取值只能是0、1，且

所以，因此

.
2、设随机变量的分布函数为，其数学期望存在，证明
.
证明：
由于

改变积分次序有

同理有

.
3、设随机变量的分布函数为

求？
解：由上一题结论有

.
4、设连续随机变量的密度函数为.若对任意常数有

且存在.证明.
证明：令则有

由密度函数性质有
令，有

故
所以.
5、证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过0.25.
证明：设表示事件在一次试验中发生的次数，则，其中是事件发生的概率，则

由均值不等式得，当时，有最大值0.25.
6、设随机变量服从几何分布，即，其中是常数.求？
解：
由级数，知

又
将的展开式两端求导得

.
7、一只昆虫所生虫卵服从参数为的泊松分布，而每个虫卵发育成幼虫的概率为，且每个虫卵是否发育成幼虫相互独立，求一只昆虫所生幼虫数的期望与方差？
解：由题意知，而个虫卵发育成个幼虫的概率为

由全概率公式，对任意有

即服从参数为的泊松分布
所以.
8、设随机变量的密度函数是偶函数，且，证明与不相关，但不独立.
证明：因是偶函数，所以、是奇函数，故此

因而，与不相关；
选取使得，考察如下特定事件概率

即
故与不独立.
9、设、…、中任意两个的相关系数都是，试证:.
证明：因为

.
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