现代控制理论习题解答(第四章).doc

第三部分 现代控制理论习题详解 第四章 控制系统的稳定性
第四章 控制系统的稳定性
3-4-1 试确定下列二次型是否正定。
(1)
(2)
(3)
【解】：
（1）

二次型函数不定。
(2)

二次型函数为负定。
(3)

二次型函数正定。

3-4-2 试确定下列二次型为正定时，待定常数的取值范围。

【解】：

满足正定的条件为：

3-4-3 试用李亚普诺夫第二法判断下列线性系统的稳定性。

【解】：
（1）
设

为半负定。
又因为时，有,
则，代入状态方程得：.
所以系统在时，不恒为零。
则系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。
（2）
设

负定，系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。

（3）
设

负定，系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。
（4）
两个状态变量相互独立，所以可以单独分析各变量的稳定性。

所以系统不稳定。

3-4-4 试确定下列系统平衡状态的稳定性。

【解】：
方法一：
采用第一方法，确定特征多项式对应的特征值是否在单位圆内。

特征多项式对应的特征值均在单位圆外，所以系统不稳定。
方法二：
采用第二方法，
。
设

因为1>0，，，所以正定。
正定。

因为8>0，，，所以正定。
为正定，所以系统在原点不稳定。

3-4-5 设离散系统状态方程为 ，求平衡点渐近稳定时值范围。
【解】：
方法一：
采用第一方法，确定特征多项式对应的特征值是否在单位圆内。

时平衡点渐近稳定。
方法二：
正定。

令

，设

所以

为正定，则时系统渐近稳定。

3-4-6 设系统的状态方程为，试求这个系统的李亚普诺夫函数，然后再求从封闭曲线边界上的一点到封闭曲线内一点的响应时间上限。
【解】：
令

求矩阵，即

所以李氏函数为：

则
，

3-4-7 试确定下列非线性系统在原点处的稳定性。

【解】：
（1）采用非线性系统线性化的方法，在平衡点原点处线性化得：

系统的两个特征值均在右半平面，则系统在平衡点附近不稳定。

（2）采用非线性系统线性化的方法，在平衡点原点处线性化得：

系统的两个特征值都在左半平面，则系统在平衡点附近渐近稳定。

3-4-8 试确定下列非线性系统在原点处稳定时的参数、的取值范围（其中二者均大于或等于零，但二者不同时为零）。

【解】：

结论：系统在原点渐近稳定的充要条件是大于0, 任意（同时还需满足题目要求）。

3-4-9 试证明系统在时是全局渐近稳定的。
【解】：
求平衡点:

设

结论，正定；，负定，系统渐近稳定。
因为时，，所以系统又是大范围渐近稳定。

3-4-10 试用克拉索夫斯基法确定非线性系统在原点处为大范围渐近稳定时，参数和的取值范围。

【解】：

令

系统在处渐近稳定的条件是负定。而负定的条件为：

大范围渐近稳定的条件是：
时
而时，
所以系统大范围渐近稳定的条件是：

3-4-11 试用变量-梯度法构成下述非线性系统的李氏函数。

【解】：
求平衡点:

设

若选

满足旋度方程条件
。当时，负定
而为正定。
当时，系统在平衡点渐近稳定。

3-4-12设非线性系统方程为
式中
试求系统原点稳定的充分条件。
【解】：
由第一法，

稳定条件为：
，
由克拉索夫斯基法
设
为正定。

当时渐近稳定。
当时稳定。

3-4-13 试用阿依捷尔曼法分析下列非线性系统在原点处的稳定性。结构如题3-4-13图所示。

题3-4-13图
【解】：
当输入为零时，非线性系统方程可以写成

若取状态变量：，那么系统的状态方程为：

(1)在处将非，线性环节输入-输出特性用一直线近似，取
则线性化状态方程为：

(2)取二次型函数作为系统的李氏函数，则有
，
取

得到为正定。
(3)

当，时为负定，从而求得时系统稳定，即只要非线性环节的曲线在和范围内变化，原非线性控制系统就是大范围渐近稳定的。

☆3-4-14 下列是描述两种生物个数的瓦尔特拉（bolterea）方程

式中，分别表示两种生物的个数。为非零实数。，，，。
（1）确定系统的平衡点。
（2）在平衡点附近线性化，并讨论平衡点的稳定性。
【解】：
（1）

得到平衡状态：
，
（2）线性化
对于平衡点：
，
特征值为：

因为，所以，由第一法，系统不稳定。
对于平衡点：
，

特征值为：

因为，，，为纯虚数，由第一法，无法确定系统的稳定性。
，

或
其轨迹图如图题3-4-14图所示

题3-4-14图
可见为不稳定的平衡点。
为稳定的平衡点。

☆3-4-15试求下列非线性微分方程
的平衡点，然后对各平衡点进行线性化，并判断平衡点是否稳定。
【解】：
求平衡点:

线性化方程

对于平衡点

则

特征方程为，特征根都在左半平面，所以系统为渐近稳定。
对于平衡点

特征方程为，有一个特征根在右半平面，所以系统不稳定。

☆3-4-16非线性系统状态方程为
试确定平衡状态的稳定性。
【解】：
求平衡点:

线性化方程为:

特征方程为
时特征根都在左半平面，所以系统为渐近稳定。

☆3-4-17非线性系统状态方程为
试用克拉索夫斯基法确定系统原点的稳定性。
【解】：

设
，

令，则为负定。

因为，
而
，P正定，所以系统在原点处渐近稳定。
时，

所以在原点大范围渐近稳定。

☆3-4-18试用变量梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数。
。
【解】：
设

若选

则
满足旋度方程条件
。
当时，为半负定。
而。
则当时为正定。且当时，
所以当时，系统在原点大范围渐近稳定。

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