第四章习题解答.doc

习题四解答1、设已给复数序列，如果，其中是一有限复数，那么证明：由条件知，使得当时，有 所以 因此存在自然数N1，当时，上式第一项小于，由此解得 故： 2、证明：任何有界的复数序列一定有一收敛的子序列证明：设复数序列，令，只要证各有一收敛子列即可，下证，有界实数列有收敛子列。 若数列有无限多项相等，设，显然，常数数列是收敛的子数列。 若数列没有无限多项相等，则有有界无限点集 由聚点定理，E至少有一个聚点，F证：存在子数列收敛于，由聚点定义：取取取如此无限下去，构造子数列，有 当，有，所以 同理有 所以复数列有收敛子列且5、试求下列幂级数的收敛半径（1），其中 （2）（3），p为一正整数 （4） （5）（6） 其中为复数，不是零或负整数解：（1）由于，所以收敛半径 （2）幂级数各项系数为1，所以R=1 （3）由于 所以R=1 （4）由于 所以收敛半径（5）因为 所以（6）因为 所以 故6、设在内解析是函数有Taylor展式 试证：（1）令，我们有 （柯西不等式）这里 （2）由（1）证明刘维尔定理 （3）当时， 证明：（1）由于在内有展式，所以在内由不等式有： （2）设的上界为，则（1）中无论什么均有 当时，让即知，所以有 为一常数（3） 7、证明：如果在上及内，分别有 其中及，而且在连续，那么在内 证明：当时有，所以 故原式得证8、设是任一复数，证明证明：由的展式有 于是有 显然有9、求下列解析函数或多值函数的解析分支在的展式：（1） （2） （3） （4）（5）（计算到的系数）解：（1）因为 而 所以 （2）考虑两式相加除2得 （3）显然（4）由在点的泰勒展式：可得 （5）因为，的零点中最接近于的是，所以在展开为级数时，收敛半径为，因为是奇函数，可以设 因而有 比较系数得：所以 10、设是一整函数，并且假定存在一个正整数，以及两个正数及，使得当时 证明：是一个至多n次的多项式或一常数证明：因为是一整函数，所以有，令 则也是整函数，且 又当时有 所以 其中由刘维尔定理有为一常数，由，所以，故 即是一个至多n次多项式11、求下列解析函数或多值函数的解析分支在指定区域内的罗朗展式：（1）在内 （2）在内（3）在内 （4）在内（5）在内，其中（6）在及内，解、（1）对分解成部分分式有 比较两边系数有 所以 （2）当时有所以 （3）因为 所以 （4）令，则有 且在点解析，所以 于是 由此得 所以 （6） 所以当时 当 时12、问下列各函数有哪些孤立奇点？各属于哪一种类型？（1） （2） （3）为一常数（4） （5）解：（1）孤立奇点有 一级极点； 二级极点，为可去奇点（2）因为所以孤立奇点有为一级极点（3）由得为一级极点（4）为本性奇点，为一级极点（5）为本性奇点14、设函数在解析，并且它不恒等于一常数，试证是的阶零点的充要条件是是的阶极点证明：“”设 其中且在解析，则 由定义显然为的级极点 “”设 其中且在解析，则 由定义显然为的m级零点15、设函数满足下列条件之一：（1）及在分别有级；级零点（2）及在分别有级；级极点（3）在解析或有极点，不恒为0，在有孤立本性奇点试问：在具有什么性质？解：（1）设则即 为的阶零点，为的级零点若，则为的级零点，若，则为的级极点。（3）为，的本性奇点。16、设函数在区域D内解析，证明：如果对某一点有 ，n=1，2 那么，在D内为常数。 证明：同为在区域D内解析，则在的邻域内有Taylor展式 又当，2时有，即，所以 为一常数由唯一性定理知在D内恒为常数。17、问是否存在满足下列条件，并且在原点解析的函数 （1）， （2） （3） 这里n=1，2，3解：（1）由于，都以O为聚点，由定理有是在原点解析，并满足的唯一函数，但不满足，因此不存在这样函数。 （2），由定理 的满足条件的函数 （3）不存在。19、设区域D内含有一段实轴，又设函数及都在D内解析，求证在D内， 证明：取上的是则有 即在实轴上成立上式，由唯一性定理在D内上式恒成立。