第四章习题解答.doc

习题四解答
1、设已给复数序列，如果，其中是一有限复数，那么
证明：由条件知，，使得当时，有

所以

因此存在自然数N1，当时，上式第一项小于，由此解得

故：
2、证明：任何有界的复数序列一定有一收敛的子序列
证明：设复数序列，令，只要证各有一收敛子列即可，下证，有界实数列有收敛子列。
若数列有无限多项相等，设，显然，常数数列是收敛的子数列。
若数列没有无限多项相等，则有有界无限点集

由聚点定理，E至少有一个聚点，F证：存在子数列收敛于，由聚点定义：
取
取
……
取
如此无限下去，构造子数列，有

当，有，所以
同理有
所以复数列有收敛子列且
5、试求下列幂级数的收敛半径
（1），其中 （2）
（3），p为一正整数 （4） （5）
（6）
其中为复数，不是零或负整数
解：（1）由于，所以收敛半径
（2）幂级数各项系数为1，所以R=1
（3）由于 所以R=1
（4）由于
所以收敛半径
（5）因为
所以
（6）因为

所以
故
6、设在内解析是函数有Taylor展式

试证：（1）令，我们有
（柯西不等式）
这里
（2）由（1）证明刘维尔定理
（3）当时，

证明：（1）由于在内有展式，所以在内由不等式有：

（2）设的上界为，则（1）中无论什么均有

当时，让即知，所以有

为一常数
（3）

7、证明：如果在上及内，分别有

其中及，而且在连续，那么在内

证明：当时有，所以

故原式得证
8、设是任一复数，证明
证明：由的展式有

于是有

显然有
9、求下列解析函数或多值函数的解析分支在的展式：
（1） （2） （3） （4）
（5）（计算到的系数）
解：（1）因为
而
所以
（2）考虑

两式相加除2得

（3）显然
（4）
由在点的泰勒展式：
可得
（5）因为，的零点中最接近于的是，所以在展开为级数时，收敛半径为，因为是奇函数，可以设

因而有
比较系数得：
所以
10、设是一整函数，并且假定存在一个正整数，以及两个正数及，使得当时

证明：是一个至多n次的多项式或一常数
证明：因为是一整函数，所以有，令

则也是整函数，且
又当时有
所以
其中
由刘维尔定理有为一常数，由，所以，故

即是一个至多n次多项式
11、求下列解析函数或多值函数的解析分支在指定区域内的罗朗展式：
（1）在内 （2）在内
（3）在内 （4）在内
（5）在内，其中
（6）在及内，
解、（1）对分解成部分分式有

比较两边系数有
所以

（2）当时有
所以

（3）因为

所以
（4）令，则有

且在点解析，所以

……
于是
由此得
所以
（6）

所以当时

当 时

12、问下列各函数有哪些孤立奇点？各属于哪一种类型？
（1） （2） （3）为一常数
（4） （5）
解：（1）孤立奇点有 一级极点； 二级极点，
为可去奇点
（2）因为所以孤立奇点有为一级极点
（3）由得为一级极点
（4）为本性奇点，为一级极点
（5）为本性奇点
14、设函数在解析，并且它不恒等于一常数，试证是的阶零点的充要条件是是的阶极点
证明：“”设 其中且在解析，则

由定义显然为的级极点
“”设 其中且在解析，则

由定义显然为的m级零点
15、设函数满足下列条件之一：
（1）及在分别有级；级零点
（2）及在分别有级；级极点
（3）在解析或有极点，不恒为0，在有孤立本性奇点
试问：在具有什么性质？
解：（1）设
则

即 为的阶零点，为的级零点
若，则为的级零点，若，则为的级极点。
（3）为，，的本性奇点。
16、设函数在区域D内解析，证明：如果对某一点有
，n=1，2……
那么，在D内为常数。
证明：同为在区域D内解析，则在的邻域内有Taylor展式

又当，2……时有，即，所以
为一常数
由唯一性定理知在D内恒为常数。
17、问是否存在满足下列条件，并且在原点解析的函数
（1）， （2）
（3） 这里n=1，2，3……
解：（1）由于，都以O为聚点，由定理有

是在原点解析，并满足的唯一函数，但不满足，因此不存在这样函数。
（2），由定理 的满足条件的函数
（3）不存在。
19、设区域D内含有一段实轴，又设函数及都在D内解析，求证在D内，

证明：取上的是则有

即在实轴上成立上式，由唯一性定理在D内上式恒成立。