第四章_级数(习题四)解答.doc

第四章　级数（习题四）解答
１．设已给复数序列｛｝，如果，其中是一有限复数，那么
．
（复数列极限的算术平均法则）
证明　（方法１）记，，则
．
由复数列收敛与实数列收敛的关系以及实数列极限的算术平均法则得
，，，
于是再由复数列收敛与实数列收敛的关系得
．
（方法２）由得，对任意，存在正整数，当时，．
于是，当时，

又，所以存在正整数，当时

从而取，当时，
．
即．
注意：此题中，当时，结论不一定成立．例如，取

显然，从而，但
当时，
（），
当时，
（），
所以

不存在．这表明关于复数列的算术平均法则对无穷大量的情形不一定成立，这一点与实数列的算术平均法则有所不同．

２．证明：任何有界的复数序列一定有一个收敛的子列．（复数域上的致密性定理）
证明　记有界的复数序列为｛｝，，由，知，实数列
｛｝和｛｝也有界．由实数域上的致密性定理得｛｝有收敛的子列｛｝，同理
｛｝的子列｛｝也有收敛的子列，我们把它仍记为｛｝，于是由复数列收敛与实数列收敛的关系得｛｝的子列也收敛．

３．证明在两相乘级数中，一个收敛，一个绝对收敛时，它们的柯西乘积一定收敛，且和为这两个级数的和的乘积．
证明　记级数收敛，级数绝对收敛，其和分别为，．
（方法１）记，，由复级数收敛与实级数收敛的关系得
和都收敛，和都绝对收敛．
又

由数学分析中柯西乘积的收敛性得

都收敛．所以再由复级数收敛与实级数收敛的关系得收敛，且　　

（方法２）由级数收敛，级数绝对收敛知，存在正数，使得对任何正整数，有
，　　　　　　①
又由柯西准则，对任意，存在正整数，当时，对任意自然数，有
，　　②
再注意到，记为的部分和，
当为奇数时，

当为偶数时，

于是当充分大时（如时），有，由①②易得
．
所以
．
注意：课本上Ｐ61面顺数第13行的等式有误，应分两种情况改为
当为奇数时，

当为偶数时，

（方法３）设级数收敛，级数绝对收敛，并记
，，，，
，
由题设，，．因为

因此要证

成立，只须证明

成立即可．下面我们证明这一事实．
事实上，由和绝对收敛，并注意到收敛数列的有界性和数列收敛的定义以及级数收敛的柯西准则可得，存在正数，使得
，
且对任意，存在正整数，当时，
，
于是，当时，

即
．
所以
．

4．证明定理2.1（考虑内闭一致收敛的情形，课本上一致收敛的情形是此情形的特殊情况）和定理2.2．
证明　任取，并取，使得，
注意到在上一致收敛于，且在连续，以及

易得在点连续，从而在上连续．
由于在简单曲线上一致收敛于，且在简单曲线上连续，由定理2.1，在简单曲线上也连续，再注意到

由积分的估值性易得
．

５．试求下列幂级数的收敛半径：
（１）（）；（２）；（３），其中是一正整数；
（４）；（５）；
（６），
其中，和是复常数，但不是零或负整数．
解　（１）由知，收敛半径为，此时收敛圆为．
（２）由于，，所以收敛半径为，此时收敛圆为．
（３）由知，收敛半径为，此时收敛圆为．
（４）由于，，所以收敛半径为，此时收敛圆为．
（５）由知，收敛半径为，此时收敛圆为．
（６）当是零或负整数或当是零或负整数时，易得收敛半径为，此时收敛圆为．当不是零或负整数且当也不是零或负整数时，由

知，收敛半径为，此时收敛圆为．
６．设在内解析的函数有泰勒展式
，
试证：（１）令，我们有
（关于幂级数展式的系数的柯西不等式），
在这里；．
（２）由（１）再证刘维尔定理．
（３）当时，
．
证明（１）由幂级数的系数与和函数的关系（或泰勒定理及幂级数展式的惟一性）得，
，
再注意到第３章的柯西不等式即得
．
（２）设为整函数且有界，即在复平面上解析，且存在，使得在复平面上，．由泰勒定理，在复平面（）上，

取为任意大的正数，显然，由（１）得，当时，
，即时，
所以在复平面上，．
（３）因圆周为闭集，由幂级数的收敛性，

在上一致收敛且绝对收敛，从而也在上一致收敛且绝对收敛（这是因为
），
于是，由绝对收敛级数的乘积性得，在圆周上

绝对收敛且一致收敛（注意上式变形中用到了）．令，则

在上绝对收敛且一致收敛．由一致收敛级数的逐项积分性并注意到

即得
，即．

７．证明：如果在及内，我们分别有
，
其中，而且在上连续，那么在内
．
证明　（方法１）对任意，当时，有，所以由幂级数的内闭一致收敛性

在上一致收敛．又由题设易知在上有界，所以

在上也一致收敛．于是由逐项积分性并注意到即得
．
（方法２）由题设和幂级数的内闭一致收敛性及绝对收敛性易得

在圆周上一致收敛，于是，由逐项积分性并注意到，当时，
；
当时，
．
可得
，
即
．

８．设是任一复数，证明．
证明　因对任意复数，，所以

而

所以．

９．求下列解析函数或多值函数的解析分支在的泰勒展式：
（１）；（２）；（３）；（４）；（５）（计算到的系数）．其中是满足的主值支，是满足的主值支．
解（１），（）
（２）因时，
，
，
所以时，

（３）记在解析，且在内，

（注意：上式计算过程中用到了柯西乘积）
所以，逐项积分得
．

４），，
其中．
（５）在内解析，令，则
，即
再由待定系数法得
（）．

１０．设是一整函数，并且假定存在着一个正整数，以及两个正数及，使得当时，
，
证明是一个至多次的多项式或常数．
证明　因为整函数，即在复平面上解析，由泰勒定理，在复平面（）上，

任取，由题设，由第6题（１）得，当时，
，即时，
所以在复平面上，即是一个至多次的多项式或常数．

１１．求下列解析函数或多值函数的解析分支在指定区域内的洛郎展式：
（１）在内；（２）在内；
（３）在内；（４）在内；
（５）在内，其中，；
（６）在及内， ．
解（１）显然在内解析，且在内
，
（注意：第２个展式用到了把缺的奇数项补齐），所以

．
（２）显然在内解析，且用待定系数法可将分解为

且在内

所以在内
．
（３）显然在内解析，且

而在内

所以在内

（４）显然在内解析，且，所以利用基本展式及两次求和的可交换性，在内

其中．

（５）由于的支点，所以在内解析，而在内，

其中由已知初值求终值的公式得，所以在内

其中

（６）易知在及内都解析，且，而在内
，

所以在内

同理可得，在内

注意：在计算过程中用到，以及对数函数主值支的展式
，，
，．

１２．问下列各函数有哪些孤立奇点？各属于哪一类？
（１）；（２）；（３），其中是一常数；（４）；
（５）．
解（１）易知的孤立奇点为，和，且是的一阶零点，是的二阶零点，且，所以是的一阶极点，是二阶极点，是可去奇点．
（２）显然的孤立奇点为，，它们都是一阶极点．由于
，所以是非孤立奇点．
（３）易知的孤立奇点为，，为整数，当时，它们是二阶极点（因为此时它们是的二阶零点）；当时，它们是一阶极点因为此时它们是的一阶零点）．是非孤立奇点（因为它们以为聚点）．
（４）易知，为整数，都是一阶极点，而是非孤立奇点．由第15题(3)知是本性奇点．
（５）由孤立奇点分类的定义知，是本性奇点．又，所以是可去奇点．

１３．证明：在扩充复平面上只有一个一阶极点的解析函数必有下面形式：
，．
证明　设是在扩充平面上惟一的一个一阶极点，当时，记在的主要部分为，则为整函数且以为可去奇点，所以，即
，结论成立；当时，记在的主要部分为，则
为整函数且仍以为可去奇点，所以，即
，显然结论也成立．综上所述，在扩充复平面上只有一个一阶极点的解析函数必有形式：
，；反之，若函数有形式：，，易知它在扩充平面上只有一个一阶极点．

１４．设函数在解析，并且它不恒等于一常数，试证是的阶零点的充分必要条件是为的阶极点．
证明　
是的阶零点
在的某邻域内，，其中在点解析且
在的某去心邻域内，其中在点解析且
为的阶极点．

１５．设函数及满足下列条件之一：
（１）及在分别有阶及阶零点；
（２）及在分别有阶及阶极点；
（３）在解析或有极点，不恒等于零，在有孤立本性奇点．试问，及在具有什么性质？
解（１）由题设及解析函数零点阶数的判定法，
，其中在点解析，，
，其中在点解析，．
于是
，

所以，当时，点为的阶零点；
当时，点为的阶零点；
当时，点为的至少阶零点或者恒为零．
由于
，
所以，点为的阶零点．
由于

所以，当时，点为的阶零点；
当时，点不为的零点，实际上它是的阶极点；
当时，点为的可去奇点．此时补充，可成为的解析点．
（２）由题设及解析函数极点的特征
，其中在解析, 且，
，其中在解析, 且．
于是

所以，当时，为阶极点；当时，为阶极点；当时，为阶数不超过的极点或可去奇点．

所以，为阶极点．

所以，当时，为阶极点；当时，为阶零点(可去奇点要当作解析点)；当时, 为可去奇点(也可看作解析点)．
（３）由题设易知仍为，及的孤立奇点，假设不是它们的本性奇点，即必是它们的可去奇点或极点，于是由（１）和（２）知，必是的可去奇点或极点，这与题设条件矛盾．故一定是它们的本性奇点．

１６．设函数在区域内解析，证明：如果对某一点有
，，
那么在区域内为常数．
证明 由题设及泰勒定理得， 存在点的邻域，使得在内

于是由解析函数的惟一性定理得， 在区域内
，
即在区域内恒为常数．

１７．问是否存在着满足下列条件，并且在原点解析的函数？
（１），；（２）；（３），
在这里．
解（１）由于{},{} (,,) 都是收敛于0, 由惟一性定理 是在原点解析并满足的惟一函数, 但此函数不满足,故满足条件此题条件的解析函数不存在.
（２）由于{} (,,)收敛于0, 且.由惟一性定理是在原点解析且 满足条件此题条件的惟一解析函数.
（３）类似于（１）得，满足此题条件的解析函数不存在．

１８．函数的零点所成的集有聚点，但这函数不恒等于零，问这与解析函数的惟一性是否相矛盾？
解　由于在点不解析，故它与解析函数的惟一性并不矛盾．

１９．设区域内含有一段实轴，又设函数及都在内解析，求证在内
．
证明　记含于区域内的一段实轴为，显然在上，所以题设的两个函数在上相等，于是由解析函数的惟一性得，在内
．
２０．按照下列步骤，证明整函数可写成下列形式：
　　　　（＊）
其中是复常数．
（１）用表示圆周，其中，
ａ）证明：对于，，，积分

的值与无关；取极限求出它的值．同样计算
及．
ｂ）设整函数的展式（＊）在中任何紧集上一致收敛，证明对于，（＊）的系数可由下列积分给出：
，．
（２）ａ）如果及有（１）ｂ）中公式给出，那么对于，

ｂ）设表示圆心在、半径为的圆盘，证明：对任意正数，当时，在上一致趋近于零．
（３）最后证得：整函数有（＊）形的展式．这一展式是惟一的，并且在中任何紧集上一致收敛（即内闭或内紧一致收敛）．
证明（１）
ａ）对任意，由于在上解析，由柯西积分定理
，
即
．
所以与无关，于是．又

所以第3章习题三第16题得
．
同理可求得，当时，
，．
ｂ）由题设，因圆周为紧集，所以展式（＊）在上一致收敛．注意到
和
在上有界 [因为在上，
，]，
所以

都在上一致收敛．再由逐项积分性，并注意到（１）ａ）的结果即得
，．
（２）
ａ）当时，由柯西积分公式得

假设对正整数有

成立，则对正整数，也有

所以由数学归纳法知结论成立．
ｂ）对任意正数，取，并取圆周，显然．由于对任意，由积分的估值性，并注意到
，
有

其中，所以在上一致趋近于零．
（３）对中任何紧集，由于一定是有界闭集（因为在上，是紧集是有界闭集），则存在圆域，使得．由（２）ｂ）得，整函数有（＊）形的展式，且在中任何紧集上一致收敛（即内闭或内紧一致收敛）．至于（＊）形展式的惟一性由（１）ａ）立即可得．

２１．设是一复数序列，
（１）设，并且，证明级数的收敛半径，并且它的和

是在单位圆盘内确定的单射．
（２）设，证明：如果级数的收敛半径不是零，那么存在，使得级数的和是在内确定的单射．
（３）设函数在一点的邻域内解析，并且，那么是在的一个邻域内确定的单射．
证明（１）由题设知，收敛，而当时，，从而由正项级数的比较法则，在上绝对收敛，所以的收敛半径．下证其和函数是单位圆内的单射．
事实上，对任意，，因

，
则

即，所以和函数是单位圆内的单射．
（２）记的收敛半径为，其和函数为，由幂级数的逐项求导性，的收敛半径仍为．于是，在收敛圆内绝对收敛，从而对任意，收敛．注意到，由极限的局部保号性可得存在正数，使得，即．
记，，显然，，由(１)得，是单位圆内的单射．又当时，令，有
，
注意到，所以也是内的单射．
［注意：类似于数学分析中幂级数的收敛半径在求导和求积运算下的不变性，我们仍有
，和具有相同的收敛半径．
实际上，注意到即可得此结论．］
（３）由泰勒定理，在点的邻域内，
．
令，则
．
由于，由（２）得，存在，使得是内的单射，从而是内的单射．