概率论练习题解析.doc

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十、概率论与数理统计
一、填空题
1、设在一次试验中，事件A发生的概率为p。现进行n次独立试验，则A至少发生一次的概率为；而事件A至多发生一次的概率为。
2、 三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子有3个黑球5个白球。现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于 。已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 。
解：用代表“取第i只箱子”，=1，2，3，用B代表“取出的球是白球”。由全概率公式

由贝叶斯公式

3、 设三次独立试验中，事件A出现的概率相等。若已知A至少出现一次的概率等于19/27，则事件A在一次试验中出现的概率为 。
解：设事件A在一次试验中出现的概率为，则有，从而解得
4、已知随机事件A的概率，随机事件B的概率及条件概率，则和事件的概率= 。

5、 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5。现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 。
用A代表事件“甲命中目标”，B代表事件“乙命中目标”，则代表事件“目标被命中”，且

所求概率为

6、 设随机事件A，B及其和事件的概率分别是0.4，0.3和0.6。若表示B的对立事件，那么积事件的概率 。
，
因为，
故
7、 已知，，，则事件A、B、C全不发生的概概率为 。
由，得，所求事件概率为

8、 一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 。
用代表事件“第i次抽次品”，i=1，2。则所求概率为

9、已知A、B两个事件满足条件，且，则 。
由
得
10、设工厂A和工厂B的次品率分别为1%和2%，现从由A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属A生产的概率是 。
用A和B分别代表产品是工厂A和工厂B生产的，C代表产品是次品，则所求概率为

11、在区间(0，1)中随机地取两个数，则事件“两数之和小于”的概率为 。
用X和Y分别表示随机抽取的两个数，则，.
X，Y取值的所有可能结果(即样本点全体)对应的集合为以1为边长的正方形W，
其面积为1，事件“”对应图中阴影部分A，A的面积为

12、 随机地向半圆(a为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于的概率为 。
半圆也即样本空间W的面积为，所求事件对图中阴影部分即区域A的面积为，故得所求事件概率为

13、 若随机变量在(1，6)上服从均匀分布，则方程有实根的概率是 。

14、已知连续随机变量X的概率密度函数为，则X的数学期望为 ；X的方差为 。
将改写为
可见X服从正态分布，所以，.
15、设随机变量X服从均值为10，均方差为0.02的正态分布。已知，，则X落在区间(9.95，10.05)内的概率为 。

16、已知随要变量X的概率密度函数，，则X的概率分布函数。

17、 已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松 (Poisson)分布，即，，1，2，…，则随机变量的数学期望 。

18、设随机变量X服从参数为1的指数分布，则数学期望= 。

19、设随机变量X服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量在(0，4)内概率分布密度= 。
，的反函数，.
，
即 ，.
20、 设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则的数学期望= 。
，，，

21、 设相互独立的两个随机变量X，Y具有同一分布律，且X的分布律为：则随机变量的分布律为： 。
，

22、设X和Y为两个随机变量，且
，，
则= 。
记，.则
，，
从而
23、设，是两个相互独立且均服从正态分布的随机变量，则随机变量的数学期望 。
记。则Z~N(0,1)。从而

24、 若随机变量X服从均值为2，方差为的正态分布，且，则= 。
由于X的密度函数关于X=2为轴对称。 故 ，， 从而
.
25、袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球。今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 。
令B={第一人取得黄球}，则={第一人取得白球}；A={第二人取得黄球}. 据全概率公式

26、 设平面区域D由曲线及直线，，所围成，二维随机变量(X，Y)在区域D上服从均匀分布，则关于X的边缘概率密度在x=2处的值为 。
区域D的的面积为，故(X, Y)的联合概率密度为(X,Y)关于X的边缘概率密度为
故
27、 假设，，那么
(1) 若A与B互不相容，则 ；
(2) 若A与B相互独立，则 。
(1)
(2) 由
得
28、 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为，则该射手的命中率为 。
设命中率为，则至少命中一次概率为，由，解得。
29、 设A，B为随机事件，，，则 。
由，得
，故
30、 将C，C，E，E，I，N，S第七个字母随机地排成一行，那么，恰好排成英文单词SCIENCE的概率为 。
31、设对于事件A，B，C有，，，则A，B，C三个事件至少出现一个的概率为 。
32、 假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中随意取出一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为 。
记事件“取出的产品为第i等品”，i=1，2，3。则A1，A2，A3互不相容，所求概率为

33、 一实习生用同一台机器接连独立地制造3个同种零件，第i个零件是不合格品的概率，以X表示3个零件中合格品的个数，则= 。
用表示事件“第i个零件是合格品”，则，，所求概率

34、 设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 。
用A，B分别代表取出的第1和第2件为正品，则所求概率为

35、 设随机变量的分布函数为则A= ， 。
右连续，由得出

36、 设随机变量，，相互独立，其中在[0，6上服从均匀分布，服从正态分布，服从参数为的泊松分布。记，则DY= 。

37、设随机变量X的数学期望，方差，则由切比雪夫(Chebyshev)不等式，有。
38、 已知随机变量(–3，1)，Y~N (2，1)，且X，Y相互独立，设随机变量，则Z~。
Z为正态随机变量的线性组合，仍然服从正态分布，且

，故Z~N(0,5)。
39、设随机变量X的分布函数为
则X的概率分布为
由公式算出
，，。
40、设随要变量X的概率密度为

以Y表示对X的三次独立重复观察中事件出现的次数，则 。
Y~B(3,p)，其中，故。
41、设X是一个随机变量，其概率密度为

则方差 。
42、设总体X的的方差为1，根据来自X的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5，则X的数学期望的置信度近似等于0.95的置信区间为 。

43、设，…，是来自正态总体的简单随机样本，其中参数和未知，记，，则假设的t检验使用统计量 。
44、设由来自正态总体容量为9的简单随机样本得样本均值，则未知参数的置信度为 0.95的置信区间是 。
45、设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布，而和，…，分别是来自总体X和Y的简单随机样本，则统计量服从 分布，参数为 。
由于，故
。
再，据t分布的定义，有

46、 设A，B是任意两个随机事件，则P}=0。

47、 设随机变量X服从参数为(2，p)的二项分布，随机变量Y服从参数为(3，p)的二项分布。若，则= 。
由于，故由，得。从而
48、 设X1，X2，X3，X4是来自正态总体N (0，22)的简单样本，，则当 ，= 时，统计量X服从分布，其自由度为 。
服从正态分布的随机变量的线性组合仍服从正态分布，因为，，故。同理，。因为

49、设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p= 时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为 。
二项分布的标准差为，已知，又，其中等号当且仅当时成立，故当时试验成功次数的标准差最大，其最大值为5。
50、从1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从中任取一个数，记为Y，则

二、选择题

1、 设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2，则随机变量3X–2Y的方差是
(A) 8. (B) 16. (C) 28. (D) 44.

2、 设A、B是两个随机事件，且，，，则必有
(A) (B)
(C) (D)
由题设知
，，故不能判与之间的关系，因此不选(A)或(B)。
由，及知
，
故，即应选(C)。

3、 若二事件A和B同时出现的概率 ，则 （C）
(A) A 和B不相容 (相斥). (B) AB是不可能事件.
(C) AB未必是不可能事件 (D) P(A)=0或P(B)=0.
4、 对于任意二事件A和B，有P(A–B)= （C）
(A). (B).
(C) (D).
5、以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件为 （D）
(A) “甲种产品滞销，乙种产品畅销”. (B) “甲、乙两种产品均畅销”.
(C) “甲种产品滞销”. (D) “甲种产品滞销或乙种产品畅销”
用表示甲产品畅销，表示乙产品畅销，则，从而。
6、 设A，B为两随机事件，且，则不列式子正确的是
(A) . (B).
(C) (D).
若，则，。
7、 设随机变量X和Y相互独立，其概率分布为

则下列式子正确的是
(A) X=Y. (B). (C) . (D).

8、 已知随机变量X服从二项分布，且，，则二项分布的参数n，p的值为
(A) n=4，p=0.6. (B) n=6，p=0.4. (C) n=8，p=0.3. (D) n=24，p=0.1
由，得方程组
，。
解方程组即得n=6，p=0.4。
9、设A和B是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是
(A) 与不相容. (B) 与相容.
(C) (D)
因为A与B不相容(即)，所以
10、 对于任意两个随机变量X和Y，若，则
(A) (B)
(C) X和Y独立 (D) X和Y不独立.
X与Y独立可推出X与Y互不相关；
X与Y互不相关
11、设当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则
(A) . (B)
(C) (D)

12、 假设事件A和B满足则
(A) A是必然事件. (B) . (C) . (D)
此题中4个答案均不对，现举例说明如下：设随机变量服从上的均匀分布，记，易计算
.
显然答案(A)，(C)，(D)都不成立。下面再说明(B)也不成立，事实上由，易计算
。
故(B)也不成立。
13、设随机变量X的密度函数为，且，是X的分布函数，则对任意实数a，有
(A) . (B)
(C) . (D) .
由。有
和
所以 。
14、设随机变量X与Y均服从正态分布，X~N，Y~N ()，记，，则
(A) 对任何实数，都有. (B) 对任何实数，都有.
(C) 只对的个别值，才是. (D) 对任何实数，都有
用代表标准正态分布N(0，1)的分布函数，有，，由于，
所以。
15、设0<P(A)<1，0<P(B)<1，，则
(A) 事件A和B互不相容. (B) 事件A和B互相对立.
(C) 事件A和B互不独立. (D) 事件A和B相互独立.
16、 设随机变量X服从正态分布，则随的增大，概率
(A) 单调增大 (B) 单调减小. (C) 保持不变. (D) 增减不定
，其中表示N (0, 1)的分布函数。
17、设随机变量X和Y独立同分布，记，，则随机变量与必然
(A) 不独立 (B) 独立 (C) 相关系数不为零 (D) 相关系数为零
由于
所以U与V互不相关，(D)必然成立。当X与Y为正态随机变量时，U与V也为正态随机变量，U与V独立。但若取，，则由
，，
而知U与V不独立，说明(A)与(B)都不一定成立，
故只有(D)必然成立。
18、已知且，则下选项成立的是
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .
将两边同乘以P(B)即得(B)式。
19、 设A，B为任意两个事件且，，则下列选项必然成立的是
(A) . (B) .
(C) . .

20、 设n个随机变量X1，X2，…，Xn独立同分布，
，，
则
(A) S是的无偏估计量. (B) S是的最大似然估计量.
(C) S是的相合估计量 (即一致估计量). (D) S与相互独立.
21、 设X1，X2…Xn是来自正态总体的简单随机样本，是样本均值，记
，，
，，
则服从自由度为n—1的t分布的随机变量是
(A) . (B) . (C) . (D) .
22、 设X是一随机变量，，(,常数)，则对任意常数C，必有
(A) . (B) .
(C) . (D)
对于任意常数C，有

是C的二次函数，而函数的最小值为，即，故。
23、设与分别为随机变量与的分布函数。为使是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取
(A) ，. (B) ，.
(C) ，. (D) ，.
由题设，应有。又，故a-b=1。
经检验知应选(A)。
24、 设A，B，C是三个相互独立的随机事件，且，则在下列给定的四对事件中不相相互独立的是
(A) . (B) . (C) . (D) 与
因为A，B，C相互独立，所以，，相互独立，故与C相互独立。类似分析可知与C，与C相互独立。从而(A)，(C)，(D)均不正确。
本题似应附加条件才能得到与不相互独立这一结论。这是因为时，，，此时与也相互独立。
当时，由知，所以。此时，故与不相互独立。

三、解答题与证明题

1、 设随机变量X，Y相互独立，其概率密度函数分别为

求随机变量的概率密度函数。
解法一 由于X与Y相互独立，所以(X,Y)的概率密度函数为

因此，Z的分布函数为

所以，Z的概率密度函数为

解法二 由于X与Y相互独立，所以Z的概率密度函数为

2、设随要变量X的概率密度函数为，求随机变量的概率密度函数。
解 Y的分布函数

因此，Y的概率密度函数为

3、设随机变量X与Y独立，且X服从均值为1、标准差(均方差)为的正态分布，而Y服从标准正态分布。试求随机变量的概率密度函数。
解 由于Z为独立正态随机变量X与Y的线性组合，Z仍然服从正态分布，故只需确定Z的均值和方差,
,。
所以Z服从正态分布N(5,9)，从而得Z的概率密度函数为
，
4、 设二维随机变量(X，Y)在区域，内服从均匀分布，求关于X的边缘概率密度函数及随机变量Z=2X+1的方差
解 (X,Y)的联合概率密度函数是

X的边缘概率密度是

，
，
，
.
5、设二维随机变量(X，Y)的概率密度为

求随机变量的分布函数。
解 .
当z≤0时，。
当z>0时，
所以Z=X+2Y的分布函数为

6、 设随机变量X与Y独立，X服从正态分布，Y服从上均匀分布，求的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数表示，其中)。
解 X和Y的概率密度分别为
，；
由于X与Y独立，可用卷积公式求Z=X+Y的概率密度，注意到仅在上才取非零值，所以Z的概率密度函数为

令，则有

7、 设随机变量x的概率分布密度为，。
(1) 求X的数学期望EX和方差DX；
(2) 求X与的协方差，并问与是否不相关？
(3) 问X与是否相互独立？为什么？
解 (1) ，

(2) ，所以X与互不相关。
(3) 对于任意给定的，事件包含在事件内，故有
，
从而
。
因此，X与不独立。
8、 已知随机变量服从二维正态分布，并且X和Y分别服从正态分布和，X与Y的相关系数，设
(1) 求Z的数学期望EZ和方差； (2) 求X与Z的相关系数；
(3) 问X与Z是否相互独立？为什么？
解 (1) 。
注意 ，，，有

(2)
注意 ，有
，
所以

(3) 因为Z是正态随机变量X与Y的线性组合，故Z也是正态随机变量，又因为，所以X与Z相互独立。
9、 设随机变量X的概率密度为

求随机变量的概率密度。
解 .
当y<1时，，当时，.
因此Y的概率密度为

[注] 分布函数也可定义为
10、 设，是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知的分布律为，，又设，。
(1) 写出二维随机变量(X，Y)的分布律：
X
Y
1
2
3
1

2

3

(2) 求随机变量X的数学期望：
解(1)
X
Y
1
2
3
1
1/9
2/9
3/9
2
0
1/9
2/9
3
0
0
1/9

[注] 由于总有Y≤X，故
① ，当时。
②
③
X
1
2
3
Pi
1/9
3/9
5/9
(2) X的布律为

.
11、从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是。设为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律、分布函数和数学期望。
解 显然X服从二项分布，X的可能取值为0，1，2，3；其概率分别为
，
.
即X的分布律为

据上，可得X的分布函数为

X的数学期望为
.
(或：)。
12、 设两个随机变量X，Y相互独立，且都服从均值为0、方差为的正态分布，求随机变量的方差。
解 令。由于，，且X和Y相互独立，故。
因为 ，而，
，
所以 。
13、 设总体X的概率密度为

其中是未知参数，，，…，是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求的估计量。
解 ① 的矩估计量。
由于总体X的数学期望为
，
令其等于样本均值，即，解得未知参数的矩估计量为

② 的极大似然估计量。
设(，，……，)是来自样本的一个观测值，则参数的似然函数为
。
因此，似然方程为
。
解之，得的极大似然估计值为，从而得的极大似然估计量为
。
当(1=1，2，…，n)时，恒有，故
。
因此，似然方程为
。
解之，得的极大似然估计值为，从而得的极大似然估计量为
。
14、从正态总体中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间(1.4，5.4)内的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多大？
附表：标准正态分布表

z
1.28
1.645
1.96
2.33

0.900
0.950
0.975
0.990
解 以表示样本均值，则，从而有

故，由此得，即，所以n至少应取35。
15、 设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分。问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程。
附表：t分布表
p

n
0.95
0.975
35
1.6896
2.0301
36
1.6883
2.0281
解 设该次考试的考生成绩为X，则。把从X中抽取的容量为n的样本均值记为，样本标准差记为S，本题是在显著性水平a=0.05下检验假设
；，
拒绝域为 。
由，=66.5，s=15，，算得
，
所以接受假设，即在显著性水平0.05下，可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分。
16、设某设备的寿命T（ 单位：千时）服从三段模型
（1） 在（0，6）上服从解的指数分布，有
（2） 在（6，60）服从（0，360）上的均匀分布
（3） 在服从
（A）求的概率，（B）求寿命超过50（千时）的概率
(1)

(2)

17、设分子的速度总体服从马克斯威尔分布
为简单样本
（1） 求出的矩估计量和极大似然估计量
（2） 指出无偏估计量（说明理由）
解 (1) ①求矩估计量：

， 为矩估计量
② 求极大似然估计量

所以为极大似然估计量
(2) 矩估计量为无偏估计量，因为

18、设总体X服从瑞利分布为参数
为简单随机样本，求
（1） 求的极大似然估计量
（2） 该估计量是否为无偏估计量？说明理由。
解
(1)

解方程
求出
所以为极大似然估计量为
(2)

为的无偏估计量.
19、某工厂生产的螺钉长度，现从一批螺钉中随机地抽取6件，测得长度的平均值标准差，问是否可以认为该批螺钉的平均长度为
方差小于

解 (1) ，
未知，选统计量
的拒绝城为

即，不在拒绝城内，所以接受，可以认为这批螺钉的平均长度为5.50.
(2) ，
未知，选统计量，
的拒绝城为

即，不在拒绝城内。接受，这批螺钉长度的方差不小于。
19、对某圆柱的直径进行次独立测量，测得的数据为：设（），，欲使P（<）不小于0.95，问至少需要进行多少次测量？若进行100次测量，上述概率可达多少？
解 ，

欲使，只要，，，，取，至少要进行62次独立测量。若进行100次测量，，
20、设X，，相互独立
（1） 写出（X+Y），X-Y）的分布；
（2） 求出（X-Y），（X+Y）的相关系数
（3） 讨论（X-Y），（X+Y）的相关性，独立性；
（4） 写出（X-Y），（X+Y）的联合密度函数。
解(1) 设，

(2)

(3) ，U，V不相关，因为U，V都服从正态分布，不相关与独立是等价的，所以U，V相互独立。
(4)
21、已知离散型随机变量X的概率分布为：
，，
(1) 写出X的分布函数. (2) 求X的数学期望和方差.
解：(1)
或

(2) ，，
。
22、已知随机变量Y的概率密度为

求随机变量的数学期望EZ
解：

23、假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件，其中18件一等品，现众两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取两个零件(取出的零件均不放回).试求：
(1) 先取出的零件是一等品的概率p；
(2) 在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的条件概率q。
引进下列事件：
解： ={被挑出的是第i箱}，i=1，2；={第j次取出的零件是一等品}，j=1，2，那么，由题设知
；，。
(1) 由全概率公式
。
(2) 由条件概率的定义和全概率公式

24、玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0，1，2只残次品的概率相应为0.8，0.1和0.1。一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只：若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：
(1) 顾客买下该箱的概率；(2) 在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率。
解：引进下列事件：A={顾客买下所察看的一箱}，={箱中恰好有i件残次品}(i=0，1，2)。由题设知，，；
=1，，。
(1) 由全概率公式
。
(2) 由贝叶斯公式
。
25、假设随机变量X在区间(1，2)上服从均匀分布，试求随机变量的概率密度
解：的密度函数为

记为Y的分布函数，则有

因此
(补充规定，)，得

26、假设有十只同种电器元件，其中有两只废品。装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是废品，则仍掉重新任取一只；如仍是废品，则扔掉再取一只。试求在取到正品之前，已取出的废品只数的分布、数学期望和方差。
解：用X代表在取到正品之前已取出的废品数，X只可能取三个值：0，1，2：
1) 分布
，，。
2) 数学期望
。
3) 方差
，。
27、已知随机变量X和Y的联合密度为

试求：(1) ；(2)
(1)
(2)
28、 设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布，现在对X进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率。
X的密度的函数为

记 ，则
。
用表示三次独立观测中观测值大于3的次数，则服从参数为，的二项分布，故所求概率为

29、 某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命(单位：小时)都服从同一指数分布，分布密度为

试求：在仪器使用的最初200小时内，至少有一只电子元件损坏的概率。
解：表示第i只元件寿命，以表示事件“在仪器使用最初200小时内，第i只元件损坏”，则
。
所求概率为

30、已知随机变量X和Y的联合概率分布为；
(x, y)
(0，0)
(0，1)
(1，0)
(1，1)
(2，0)
（2，1）

0.10
0.15
0.25
0.20
0.15
0.15
试求：(1) X的概率分布；(2) X+Y的概率分布；(3) 的数学期望。
解：(1) X的概率分布为

(2) X+Y的概率分布为

(3)
31、 从0，1，2，…，9等十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率：
；；
。
解： ，，
或
32、 一电子仪器由两个部件构成，以X和Y分别表示两个部件的寿命(单位：知小时)，已知X和Y的联合分布函数为：

(1) 问X和Y是否独立？
(2) 求两个部件的寿命都超过100小时的概率。
解法一：(1) X和Y的分布函数分别为：

由于，知X和Y独立。
(2) .
解法二： (1) 以，和分别代表(X,Y)，X和Y的概率密度，有

由于知X和Y独立。
(2)
33、 甲、乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以X和Y分别表示甲和乙的命中次数。试求X和Y的联合概率分布。
解 X服从参数为n=2，p=0.2的二项分布，Y服从参数为n=2，p=0.5的二项分布，它们的概率分布分别为：

由X和Y的独立性知X和Y的联合概率分布为：

X
Y
0
1
2
0
0.16
0.08
0.01
1
0.32
0.16
0.02
2
0.6
0.08
0.01

34、某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。
[附表]

有中是标准正态分布函数。
解 设X为考生的外语成绩，由题设，其中。现在求，由条件知
，
从而 。
由的数值表，可见，因此，这样。故所求概率为：

35、一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等。以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数。
(1) 求X的概率分布；(2) 。
解(1) 的可能值为0，1，2，3。以表示事件“汽车在第i个路口首次遇到红灯”，则，i=1，2，3，且，，相互独立。
，
，
，
。
(2)
36、在电源电压不超过200伏，在200~240伏和超过240伏三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2。假设电源电压X服从正态分布N(220，252)。试求：
(1) 该电子元件损坏的概率；
(2) 该电子元件损坏时，电源电压在200~240伏的概率。
附表：

表中是标准正态分布函数
解 引进下列事件：={电压不超过200伏}，={电压在200-240伏}，={电压超过240伏}，B={电子元件损坏}。由于，因此
，
，
。
由题设知，，。
(1) 由全概率公式
。
(2) 由贝叶斯公式
。
37、 假设随机变量X和Y在圆域上服从联合均匀分布
(1) 求X和Y的相关系数；(2) 问X和Y是否独立？
解 (1) X和Y的联合密度为

X的密度为
Y的密度为
，

于是，X和Y的相关系数。
38、假设测量的随机误差(0，102)，试求在100次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率，并利用泊松分布求出近似值。(要求小数点后了两位有效数字)。
附表
解 每次测量误差的绝对值大于19.6的概率
.
设m为100次独立重复试验中事件出现的次数，m服从参数为n=100，p=0.05的二项分布，所求概率

由泊松定理，m近似服从参数为的泊松分布，从而

39、一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10，0.20和0.30。假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求X的概率分布。数学期望EX和方差DX。
解 设={部件i需要调整} (i=1，2，3)，
，，。
X可能取值0，1，2，3。由于，，相互独立，
，
，

。
于是

[注] 如果只要求和，这时也可用如下解法：考察随机变量

易见 ，，。
由于，，相互独立，从而
，

40、设二维随机变量(X，Y)的概率密度为

(1) 求X的密度；(2) 求概率。
解 (1)
(2)
41、 设随机变量X和Y同分布，X的概率密度为

(1) 已知事件和独立，且，求常数a；
(2) 求的数学期望。
解 (1) 由条件知，，
。
由此得 ，并且知。
由于 。
从而有，于是得。
(2)
42、 设随机变量X和Y独立，都在区间[1，3]上服从均匀分布；引进事件，
(1) 已知，求常数；(2) 求的数学期望。
解 (1) 设.由与同分布，知
，。
由
得，。于是a有两个值：
由得；由得。
(2)
43、假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数服从参数为的泊松分布。
(1) 求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；
(2) 求在设备已无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q。
解 (1) 解t<0时，由于T是非负随机变量.
当时，由于事件与等价，
。
于是，T服从参数为的指数分布
(2) 。
44、 假设随机变量X1，X2，X3，X4相互独立，且同分布，(i=1，2，3，4)，求行列式的概率分布。
解： ，，则，且和独立同分布：
。
随机变量有三个可能值：–1，0，1。
，
，
。
于是行列式X的概率分布为

45、假设随机变量X的概率密度为

现在对X进行n次独立重复观测，以表示观测值不大于0.1的次数。试求随机变量的概率分布。
解 事件“观测值不大于0.1”的概率为
。
服从参数为的二项分布：
，m=0,1,2,…,n。
46、假设自由动线加工的某种零件的内径X (毫米)服从正态分布，内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品。销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T(单位：元)与销售零件的内径X有如下关系：

问平均内径取何值时，销售一个零件的平均利润最大？
解 平均利润

(其中和分别为标准正态分布函数和标准正态密度函数)令上式为0得
，
即
。
解此方程得 。
由此知当毫米时，平均利润最大。
47、假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.70可以直接出厂；以概率0.30需进一步调试，经调试后以概率0.80可以出厂；以概率0.20定为不合格品不能出厂，现该厂生产了n()台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立)。求
(1) 全部能出厂的概率；
(2) 其中恰发有两件不能出厂的概率；
(3) 其中至少有两件不能出厂的概率。
解 引入事件A={仪器需进一步调试}，B={仪器可以出厂}，则任一仪器可出厂概率为

用X代表所生产的n台仪器中能出厂的台数，则X为n次独立试验(仪器出厂)的次数，服从参数为(n，0.94)的二项分布，因此
，
，

48、已知随机变量X和Y的联合概率密度为

求和Y的联合分布函数